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| Aufgabe | Es sei [mm] C(\IR) [/mm] := {f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR, [/mm] f stetig}
a) Überlegen Sie sich, dass [mm] (C(\IR), [/mm] + ,*) mit +,* ein kommutativer Ring mit Einselement ist, jedoch kein Integritätsring. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu obiger Aufgabe habe ich folgende Lösung mit aufgeschrieben:
Zunächst: f,g [mm] \in \IR [/mm] -> f+g und f*g [mm] \in \IR
[/mm]
das heißt:
+: [mm] C(\IR) [/mm] x [mm] C(\IR) [/mm] --> [mm] C(\IR)
[/mm]
*: [mm] C(\IR) [/mm] x [mm] C(\IR) [/mm] --> [mm] C(\IR)
[/mm]
Ringaxiome R1, R2, R3, R4 sind erfüllt.
(f=0 [mm] \in C(\IR), [/mm] -f [mm] \in C(\IR), [/mm] falls f [mm] \in C(\IR))
[/mm]
[mm] 1_{C(\IR)} [/mm] definiert durch [mm] \bruch{1}{C(\IR)} [/mm] (x) := [mm] 1_{\IR} [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] ist Einselement [mm] (\not= 0_{C( \IR)} \equiv [/mm] 0)
(C( [mm] \IR),+,*) [/mm] nicht nullteilerfrei, etwa
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x \mbox{ größer 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases} [/mm]
[mm] g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ größer 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}
[/mm]
So. Ich verstehe was kommutativer Ring mit Einselement bedeutet. Im Prinzip müsste ich ja die Ringaxiome R1, R2, R3, R4 nachweisen. Hier haben wir das garnicht gemacht, sondern irgendwo dran sieht man schon das diese eben gelten. Sieht man das daran, weil wir uns wegen
+: [mm] C(\IR) [/mm] x [mm] C(\IR) [/mm] --> [mm] C(\IR)
[/mm]
*: [mm] C(\IR) [/mm] x [mm] C(\IR) [/mm] --> [mm] C(\IR)
[/mm]
immer in [mm] C(\IR) [/mm] bewegen? Und das reicht dann oder wie?
Dann verstehe ich nicht, wieso das Einselement so zustande kommt?
Und dann noch bei der nicht nullteilerfreiheit. Wir haben ja die Stetigkeit gegeben, d.h. dass unsere Funktionen immer definiert sind. Dann haben wir bei der Lösung
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x \mbox{ größer 0} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases} [/mm]
[mm] g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ größer 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}
[/mm]
aufgeschrieben. Und das verwirrt mich etwas. Denn mal angenommen wir betrachten x=0:
Dann ist f(0) = x und g(0) =0 laut dem da oben.
Dann ist doch f(0) * g(0) = x*0 = 0 und g=0 unf f=x. Und das ist doch genau das, was besagt das dies da oben eben nullteilerfrei ist.
Habe also anscheinend etwas falsch verstanden...Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke!
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> Es sei [mm]C(\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f stetig}
>
> a) Überlegen Sie sich, dass [mm](C(\IR),[/mm] + ,*) mit +,* ein
> kommutativer Ring mit Einselement ist, jedoch kein
> Integritätsring.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> zu obiger Aufgabe habe ich folgende Lösung mit
> aufgeschrieben:
>
> Zunächst: f,g [mm]\in \IR[/mm] -> f+g und f*g [mm]\in \IR[/mm]
Dort stand sicher (oder es sollte dastehen)
"f,g [mm] $\in C(\IR)$ [/mm] -> f+g und f*g [mm] $\in C(\IR)$".
[/mm]
> das heißt:
> +: [mm]C(\IR)[/mm] x [mm]C(\IR)[/mm] --> [mm]C(\IR)[/mm]
> *: [mm]C(\IR)[/mm] x [mm]C(\IR)[/mm] --> [mm]C(\IR)[/mm]
>
> Ringaxiome R1, R2, R3, R4 sind erfüllt.
>
> (f=0 [mm]\in C(\IR),[/mm] -f [mm]\in C(\IR),[/mm] falls f [mm]\in C(\IR))[/mm]
>
> [mm]1_{C(\IR)}[/mm] definiert durch [mm]\bruch{1}{C(\IR)}[/mm] (x) := [mm]1_{\IR}[/mm]
Eher so:
[mm] $1_{C(\IR)}$ [/mm] definiert durch [mm] $1_{C(\IR)}$(x) [/mm] := [mm] $1_{\IR}$ [/mm]
für alle
> x [mm]\in \IR[/mm] ist Einselement [mm](\not= 0_{C( \IR)} \equiv[/mm] 0)
>
> (C( [mm]\IR),+,*)[/mm] nicht nullteilerfrei, etwa
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x \mbox{ größer 0} \\
x, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ größer 0} \\
0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}[/mm]
>
>
> So. Ich verstehe was kommutativer Ring mit Einselement
> bedeutet.
Gut.
> Im Prinzip müsste ich ja die Ringaxiome R1, R2,
> R3, R4 nachweisen.
Ja - was auch immer im einzelnen mit R1 usw. bei Euch bezeichnet wird...
> Hier haben wir das garnicht gemacht,
> sondern irgendwo dran sieht man schon das diese eben
> gelten. Sieht man das daran, weil wir uns wegen
> +: [mm]C(\IR)[/mm] x [mm]C(\IR)[/mm] --> [mm]C(\IR)[/mm]
> *: [mm]C(\IR)[/mm] x [mm]C(\IR)[/mm] --> [mm]C(\IR)[/mm]
> immer in [mm]C(\IR)[/mm] bewegen? Und das reicht dann oder wie?
Letztendlich hängt es damit zusammen, daß wir uns beim Nachweis in [mm] \IR [/mm] bewegen.
Ich mache es mal für die Assoziativität bzgl. der Addition vor.
Zu zeigen ist hierfür, daß für alle f,g,h [mm] \in C(\IR) [/mm] gilt:
(f+g)+h=f+(g+h).
Man muß also zeigen, daß die Funktion links dieselbe ist wie die rechts.
Wann sind zwei Funktionen gleich? Wenn ihre Funktionswerte übereinstimmen auf dem ganzen definitionsbereich.
Wir müssen also hier untersuchen, ob es richtig ist, daß für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x).
Gucken wir mal nach:
es ist
[(f+g)+h](x)= (f+g)(x)+h(x) [mm] \qquad [/mm] nach Def. der Addition von Funktionen
=(f(x)+g(x))+h(x) [mm] \qquad [/mm] nach Def. der Addition von Funktionen
=f(x)+ (g(x)+h(x)) [mm] \qquad [/mm] denn die Addition in [mm] \IR [/mm] ist assoziativ
= f(x)+ (g+h)(x) [mm] \qquad [/mm] nach Def. der Addition von Funktionen
= [f+(g+h)](x) [mm] \qquad [/mm] nach Def. der Addition von Funktionen.
Es ist für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x),
also ist (f+g)+h=f+(g+h), und somit ist die Addition von Funktionen assoziativ.
Entsprechend dann die anderen Gesetze.
>
> Dann verstehe ich nicht, wieso das Einselement so zustande
> kommt?
Es wird behauptet, daß das neutrale Element bzgl der Multiplikation von Funktionen die oben definierte Funktion [mm] $1_{C(\IR)}$ [/mm] ist, die alles auf die 1 (in [mm] \IR) [/mm] abbildet.
Jetzt schauen wir mal nach, ob das stimmt.
Sei [mm] f\in C(\IR).
[/mm]
Wir müssen nachrechnen, ob [mm] f*$1_{C(\IR)}$ =$1_{C(\IR)}$ [/mm] *f=f richtig ist,
ob also für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt
[mm] (f*$1_{C(\IR)}$)(x) =($1_{C(\IR)}$ [/mm] *f)(x)=f(x).
Los geht's:
es ist [mm] (f*$1_{C(\IR)}$)(x)= f(x)*$1_{C(\IR)}$(x) \qquad [/mm] nach Def. der Multiplikation v. Funktionen
= [mm] $1_{C(\IR)}$(x)*f(x) \qquad [/mm] denn die Multiplikation in [mm] \IR [/mm] ist kommutativ
= [mm] 1_{\IR}*f(x) \qquad [/mm] nach Def. von [mm] $1_{C(\IR)}$(x)
[/mm]
=f(x) [mm] \qquad [/mm] denn [mm] 1_{\IR} [/mm] ist das neutrae Element der Multiplikation in [mm] \IR.
[/mm]
>
> Und dann noch bei der nicht nullteilerfreiheit. Wir haben
> ja die Stetigkeit gegeben, d.h. dass unsere Funktionen
> immer definiert sind.
???
Es gibt auch Funktionen, die auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert sind und nicht stetig, ebenso gibt es solche, die nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert sind, aber stetig.
Aber solche werden hier nicht betrachtet, sondern nur welche aus [mm] C(\IR), [/mm] also solche, die 1. stetig sind und 2. über ganz [mm] \IR [/mm] definiert.
> Dann haben wir bei der Lösung
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für }x \mbox{ größer 0} \\
x, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]g(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ größer 0} \\
0, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner gleich 0} \end{cases}[/mm]
>
> aufgeschrieben. Und das verwirrt mich etwas. Denn mal
> angenommen wir betrachten x=0:
>
> Dann ist f(0) = x und g(0) =0 laut dem da oben.
> Dann ist doch f(0) * g(0) = x*0 = 0 und g=0 unf f=x. Und
> das ist doch genau das, was besagt das dies da oben eben
> nullteilerfrei ist.
Du mußt gut unterscheiden, ob Du über eine Funktion f redest oder über ihren Funktionswert f(x) an der Stelle x.
Es ist f ein Element von [mm] C(\IR), [/mm] f(x) hingegen eine reelle zahl.
Oben sind zwei Funktionen f und g angegeben, mit denen die Nullteilerfreiheit des Ringes ( [mm] C(\IR), [/mm] +, [mm] \*) [/mm] widerlegt wird.
Keine der beiden Funktionen f und g ist das neutrale Element in [mm] C(\IR) [/mm] bzgl. der Addition, also die Nullfunktion [mm] 0_{C(\IR)} [/mm] mit [mm] 0_{C(\IR)}(x):=0_{\IR} [/mm] für alle [mm] x\in \IR,
[/mm]
aber es ist [mm] f*g=0_{C(\IR)}, [/mm] denn es ist [mm](f*g)(x)=f(x)*g(x)\begin{cases} 0*x=0, & \mbox{fuer } x\ge 0 \\
x*0=0, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm],
also ist (f*g)(x)=0 für alle [mm] x\in \IR, [/mm] dh. f*g ist die Nullfunktion, also die Null in [mm] C(\IR).
[/mm]
Durchdenke alles in Ruhe, ich in mir sicher, daß Du dahinterkommen wirst.
Gruß v. Angela
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Achso. Das mit der Nullteilerfreiheit habe ich verstanden (glaube ich^^).
Also das heißt ja nur, dass beispielsweise f*g zwar =0 wird, aber [mm] f\not= [/mm] 0 und [mm] g\not= [/mm] 0 da diese Funktionen sind, die eben [mm] \not= [/mm] 0 sind. Aber deren Funktionswerte können 0 werden. Was aber nichts mit der Nullteilerfreiheit zu tun hat, da wir dort die Funktionen betrachten müssen.
Richtig?
Dann habe ich mal die bestimmt doofe Frage was eigentlich [mm] C(\IR) [/mm] ist? Ist das die Menge der Funktionen in [mm] \IR [/mm] oder was?
Wenn ich also irgendwas betrachte in [mm] \IR [/mm] kann ich davon ausgehen, dass die Ringaxiome gelten?
Vielen Dank,
liebe Grüße
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> Achso. Das mit der Nullteilerfreiheit habe ich verstanden
> (glaube ich^^).
>
> Also das heißt ja nur, dass beispielsweise f*g zwar =0
> wird, aber [mm]f\not=[/mm] 0 und [mm]g\not=[/mm] 0 da diese Funktionen sind,
> die eben [mm]\not=[/mm] 0 sind.
Hallo,
ja, genau.
> Aber deren Funktionswerte können 0
> werden.
Ja. Bloß nicht überall.
> Was aber nichts mit der Nullteilerfreiheit zu tun
> hat, da wir dort die Funktionen betrachten müssen.
> Richtig?
Wir müssen die Funktion in ihrer gesamtheit betrachten und nicht nur ausgewählte Funktionswerte.
>
> Dann habe ich mal die bestimmt doofe Frage was eigentlich
> [mm]C(\IR)[/mm] ist? Ist das die Menge der Funktionen in [mm]\IR[/mm] oder
> was?
Die Menge der stetigen Funktionen, würd' ich mal sagen.
Und so steht's auch in der von Dir selbst geposteten Definition:
> > > $ [mm] C(\IR) [/mm] $ := {f: $ [mm] \IR [/mm] $ --> $ [mm] \IR, [/mm] $ f stetig}
> Wenn ich also irgendwas betrachte in [mm]\IR[/mm] kann ich davon
> ausgehen, dass die Ringaxiome gelten?
[mm] \IR [/mm] ist mit der normalen Addition und Multiplikation ein Körper, also insbesondere ein Ring.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Mo 17.01.2011 | | Autor: | judithlein |
Ok. Alles klar.
Vielen Dank!
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