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| Aufgabe | a)
Gegeben sei die interpolatorische Differentiationsformel
[mm] $\ell_0(g) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n a_i g(s_i)$ [/mm]
für $g'(0)$ zu den Stützstellen [mm] $s_0, \dotsc, s_n$. [/mm] Zeigen Sie, dass für jedes [mm] $\bar x\in \mathbb{R}$ [/mm] die Formel
[mm] $\ell(f) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n a_i f(x_i)$ [/mm]
die interpolatorische Differentiationsformel für [mm] $f'(\bar [/mm] x)$ zu den Stützstellen [mm] $x_i [/mm] = [mm] \bar{x} [/mm] + [mm] s_i, \; [/mm] i=0, [mm] \dotsc, [/mm] n$ ist.
b)
Man leite die Koeffizienten der interpolatorischen Differentiatiosformel für [mm] $f'(\bar [/mm] x)$ zu den Stützstellen [mm] $\bar{x}, \bar{x}+h, \bar{x}+2h, \bar{x}+3h$ [/mm] her.
Hinweis: Mit Teil a) kann man die Rechnung in Teil b) vereinfachen. |
Hallo zusammen,
ich glaube ich habe Teil a) der Aufgabe gezeigt, habe aber keine Ahnung, was ich in b) genau machen soll. Allgemein erschließt sich mir der Sinn der Aufgabe nicht so ganz (da ich auch die Notation ziemlich seltsam finde). Unten mal kurz mein Lösungsvorschlag für a):
Def. $g(x):= [mm] f(x+\bar{x})$, [/mm] dann gilt [mm] $g'(x)=f'(x+\bar{x})$ [/mm] und damit auch [mm] $g'(0)=f'(\bar{x})$, [/mm] sowie [mm] $g(s_i)=f(s_i+\bar{x}) [/mm] = [mm] f(x_i)$, [/mm] und damit gilt:
[mm] $\ell_0(g) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n a_i g(s_i)=\sum_{i=0}^n a_i f(x_i) [/mm] = [mm] \ell(f)$, [/mm] da $g'(0) = [mm] f'(\bar{x})$ [/mm] nach Konstruktion.
Habe ich damit jetzt das Geforderte gezeigt, oder habe ich vielleicht sogar die ganze Aufgabe missverstanden?
Zu b)
Ich versuche mal Teil a) zu nutzen: Mit [mm] $s_0 [/mm] := [mm] \bar{x}, s_1 [/mm] := [mm] \bar{x} [/mm] + h, [mm] s_2 [/mm] := [mm] \bar{x} [/mm] + 2h, [mm] s_3 [/mm] := [mm] \bar{x} [/mm] +3h$ und $g$ wie oben gilt:
[mm] $\ell(f) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^3 a_i f(x_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^3 a_i g(s_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^3 a_i g(\bar{x} [/mm] + [mm] i\cdot [/mm] h)$. Die Aufgabe wäre ja jetzt (wahrscheinlich) die [mm] $a_i$ [/mm] zu bestimmen, aber 1. habe ich keine Ahnung, was ich dazu machen soll, und 2. sehe ich nicht, wo Teil a) hier irgendeinen Nutzen haben soll.
Könntet ihr mir vielleicht helfen die Aufgabe zu verstehen, bzw. mir einen Tipp geben, wie die b) zu lösen ist (und überprüfen, ob ich in a) Quatsch gemacht habe, oder ob ich da tatsächlich irgendwas bewiesen habe  )?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 23.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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