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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] \int_{1}^{2} \bruch{dx}{\wurzel{x}} [/mm] mittels numerischer Integration.
a) Verwenden Sie die Formeln von Newton-Cotes für n = 1,2,3,4,5,6 und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem exakten Wert. Führen Sie auch eine fehlerabschätzung durch.
b) Verbessern Sie den Wert aus a) für n = 1 (Trapez-Regel) durch Zwei- und Vierteilung des Intervalls. |
Hallo Leute.
Hab in letzter Zeit einige meiner Mathe VOs verpasst und häng deshalb ein wenig hinterher. Kann mir jemand bei diesem Bsp helfen, vl mit einem guten Lösungsansatz oder ein paas Tipps?
Danke. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mo 14.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie [mm]\int_{1}^{2} \bruch{dx}{\wurzel{x}}[/mm] mittels
> numerischer Integration.
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> a) Verwenden Sie die Formeln von Newton-Cotes für n =
> 1,2,3,4,5,6 und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem
> exakten Wert. Führen Sie auch eine fehlerabschätzung
> durch.
>
> b) Verbessern Sie den Wert aus a) für n = 1 (Trapez-Regel)
> durch Zwei- und Vierteilung des Intervalls.
> Hallo Leute.
>
> Hab in letzter Zeit einige meiner Mathe VOs verpasst und
> häng deshalb ein wenig hinterher. Kann mir jemand bei
> diesem Bsp helfen, vl mit einem guten Lösungsansatz oder
> ein paas Tipps?
Hallo
Ich hatte leider von dieser Formel noch nie gehört und deshalb "Newton-Cotes" gegoogelt.
Gleich am Anfang war der Wikipedia-Link, da habe ich es sofort verstanden.
Versuchs mal. Viele Grüße
Abakus
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> Danke. :)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ich blick da eben nicht ganz durch. Was mir fehlt is sowas wie n praktisches Beispiel. Damit lern ich eigentlich am besten. Weiß nicht ob es vl möglich wär ein kurzes einfaches BSP zu geben?
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Hallo!
Vielleicht solltest du dir erstmal die Keplersche Fassregel anschaun.
Man hat eine Funktion f(x), und das Integral geht von a und b. Genau in der Mitte liegt [mm] \frac{a+b}{2}
[/mm]
Die Funktionswerte an den drei Stellen sind
[mm] $f_1=f(a)$
[/mm]
[mm] f_2=f\left(\frac{a+b}{2}\right)
[/mm]
[mm] $f_3=f(b)$
[/mm]
Der Trick besteht nun darin, daß man eine Parabel [mm] g(x)=rx^2+sx+t [/mm] bestimmt, die exakt durch diese Punkte verläuft, also
[mm] $g(a)=f_1$
[/mm]
[mm] $g\left(\frac{a+b}{2}\right)=f_2$
[/mm]
[mm] $g(b)=f_3$
[/mm]
Du kannst bereits jetzt eine lösung für die Koeffizienten r, s, t angeben, die nur von den f's abhängig sind. (mach das mal!)
Nun, die Parabel nähert die Funktion an, und du kannst die Parabel statt der Funktion integrieren:
[mm] A=\int_a^bg(x)\,dx
[/mm]
Wenn du die Koeffizienten einsetzt und die Integration ausführst, kommst du auf:
[mm] A=(b-a)\left(\blue{\frac{1}{6}}f_1+\blue{\frac{4}{6}}f_2+\blue{\frac{1}{6}}f_3\right)
[/mm]
Dies ist eine sehr einfache Formel, die etwas sehr erstaunliches leistet: Sie gibt das INtegral über f(x) näherungsweise an, indem sie eine Parabel in die Funktion einpasst und gleich integriert!
Diese blauen Brüche nennt man Newton-Cotes-Faktoren.
Statt ner Parabel kannst du zunächst nur ne Grade benutzten, dann brauchst du nur zwei Stellen f(a) und f(b), und kommst auf die Faktoren [mm] \frac{1}{2};\,\frac{1}{2}
[/mm]
Du kannst aber auch ein polynom 3. Grades in die Funktion einpassen, dafür brauchst du aber vier Stützstellen [mm] f_1 [/mm] bis [mm] f_4, [/mm] und bekommst entsprechend vier Newton-Cotes-Faktoren. Oder du nimmst ein noch höheres Polynom.
Je höher das Polynom, desto genauer die Näherung des Integrals. Du kannst die fertige Formel einem Fünftklässler vorwerfen. Oder einem Computer, der das Integral damit extrem schnell berechnen kann.
Also, ich denke, du solltest dir mal die genannten Schritte anschauen und versuchen, das durchzurechnen.
Allerdings würde ich drauf verzichten, das ganze für ein Polynom 3. Grades oder höher durchzuexerzieren. Das wird nur komplizierter und fehlerträchtiger, aber das Prinzip ändert sich nicht.
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Ich glaub das hab ich verstanden, danke.
Aber könnte mir noch jemand sagen, wie die Formel konkret für n = 3 aussehen würde?
Danke
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Hallo RadicalEdward,
> Ich glaub das hab ich verstanden, danke.
>
> Aber könnte mir noch jemand sagen, wie die Formel konkret
> für n = 3 aussehen würde?
[mm]f_{i+1}:=f\left(a+i*\bruch{b-a}{3}\right) \ i=0,1,2,3[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]A=\left(b-a\right)*\left(\blue{\bruch{1}{8}}*f_{1}+\blue{\bruch{3}{8}}*f_{2}+\blue{\bruch{3}{8}}*f_{3}+\blue{\bruch{1}{8}}*f_{4}\right)[/mm]
Diese Regel wird auch [mm]\bruch{3}{8}[/mm]-Regel ("pulcherrima") genannt.
>
> Danke
Gruß
MathePower
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