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| Aufgabe | | Finden sie Konstanten A,B,C,D so dass [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x) dx} [/mm] = A f(B) + C f(D) für alle quadratischen Funktionen f! |
Hey Leute könnt ihr mir bei dieser Aufgabe etwas unter die arme greifen? Stehe total auf dem Schlauch...Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Schreib doch mal f ganz allgemein als quadratische Funktion auf!
Was kann man mit dem Integral machen?
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Hmm verstehe nicht ganz was du meinst...f als quadratische funktion wäre ja z.B f(x) = x²...Aber was meinst du jetzt genau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Dein f(x)= x² ist nur EINE quadratische Funktion, es gibt ja viel mehr, z.B. 4x²+2x oder x²+x-1 oder x²+4x usw.
Um ALLE diese quadratischen Funktionen allgemein darzustellen, muss
f(x)=ax²+bx+c gewählt werden. Jetzt kann man für a,b,c beliebige Zahlen einsetzen.
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ok ich verstehe was du meinst...aber das bringt mich jetzt irgendwie auch nicht weiter...Also man soll doch heraus bei welchen Konstanten A;B;C;D die Fläche im Intervall von -1;1 immer A f(B) + C f(D) ist oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Das Integral links ist doch das gleiche wie F(1)-F(-1)
wobei F Stammfunktion einer quadrat. Funktion f ist. Also
[mm] F(x)=\bruch{a}{3}x³+\bruch{b}{2}x²+cx
[/mm]
Damit rechne jetzt F(1)-F(-1) aus.
Die rechte Seite kannst du für f allg. schreiben.
Also Af(B) = A(aB²+bB+c) und Cf(D) überlasse ich dir!
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ok linke Seite hab ich jetzt verstanden, aber die rechte is mir immer noch ein Rätsel...!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Naja wenn f(x)=ax²+bx+c ist
was ist dann f(B) ?
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ich weiss es ehrlich gesagt gerade nicht...Is nen bisschen peinlich gerade :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Na setz einfach B statt x ein:
f(B)=aB²+bB+c
Dann ist Af(B) = ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:03 Do 06.11.2008 | | Autor: | ChrizStone |
A f(B)=aB²+bB+c ??
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also ich meine A(aB²+bB+c)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 08.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Guten Abend.
Eine weitere Möglichkeit diese Aufgabe anzugehen ist sich zu überlegen, dass eine Quadraturformel genau für alle Polynome bis Grad $n$ exakt ist, wenn sie für alle Monome bis zum Grad $n$ exakt ist. In dem Fall muss die Formel also exakt sein für $1$, $x$ und [mm] $x^2$. [/mm] Das bedeutet zum Beispiel, dass [mm] 2=\integral_{-1}^{1}{1 dx}=A*f(B)+C*f(D) [/mm] = A+C, weil ja f(B)=f(D)=1 ist(In diesem Fall ist mein f(x)=1). Das kannst du jetzt jeweils auch für $x$ und [mm] $x^2$ [/mm] machen. Das führt auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für 4 Unbekannte(A,B,C,D), welches nicht eindeutig lösbar ist.
Viele Grüße
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HAllo, ich habe es leider immer noch nicht ganz verstanden...kann jemand vielleicht nochmal versuchen mir es zu erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Also was haben wir denn jetzt dastehen, wenn du die linke und rechte Seite so schreibst, wie ich es mit dir durchgegangen bin?
Schreib das mal hin!
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F(1) - F(-1) = A(aB²+bB+c) + C(aD²+bD+c)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Di 11.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich würde dir vorschlagen, zuerst einmal mit
[mm] f(x)=a*x^2+b*x+c [/mm] das bestimmte Integral
komplett auszurechnen. Das Ergebnis ist
[mm] $\bruch{2}{3}\ a+2*c=\bruch{2}{3}\ [/mm] (a+3*c)$
Nun soll dieses Ergebnis als Linearkombination
von zwei Funktionswerten an zwei fixen Stellen
dargestellt werden. Man kann zuerst ein wenig
probieren: Zum Beispiel ist
$\ f(0)=c$
$\ f(1)=a+b+c$
$\ f(-1)=a-b+c$
$\ f(1)+f(-1)=2a+2c$ (LK von a und c, aber noch nicht genau die richtige)
$\ f(1)-f(-1)=2b$ (aber das brauchen wir gar nicht)
$\ f(2)=4a+2b+c$
$\ f(-2)=4a-2b+c$
$\ f(2)+f(-2)=8a+2c$ (auch eine LK von a und c)
Es sollte wohl eine Zahl x geben, für welche
$\ f(x)+f(-x)=a+3c$ oder ein Vielfaches davon, also
$\ f(x)+f(-x)=k*(a+3c)$ ist !
Das ist nicht mehr schwierig.
Allerdings erhält man so nur eine von vielen
Möglichkeiten, wie blascowitz schon gemeldet hat.
LG
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