da sich ja ohnehin niemand dafür interessiert (jedenfalls nicht zu später Nachtstunde ), versuch ichs halt hier nochmals!
Ich setze Voraus, dass bekannt sei, dass das Geometrische Mittel von positiven reellen Zahlen kleiner-gleich dem Arithmetischen Mittel ist. (Lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen).
Stell dir vor, du hast $n_$ Zahlen, und zwar 2 mal die [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] und (n-2) mal die $1_$.
Das Geometrische Mittel ist dann [mm] $\wurzel[n]{n}$
[/mm]
Das Arithmetische Mittel ist aber [mm] $\bruch{2\wurzel{n}+n-2}{n}$
[/mm]
Der Ausdruck ganz rechts geht mit wachsendem $n_$ gegen Null, womit [mm] $\wurzel[n]{n} [/mm] -1$ zwischen Null und einer immer kleiner werdenden positiven Zahl mit wachsendem $n$ ins Sandwich genommen wird, also gegen Null strebt!
Damit ist der Beweis abgeschlossen!
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Ich wünsche dir noch viel Glück bei den heutigen Prüfungen!
> Lieber Paul!
>
> Danke für deinen Beweis - ist er dir denn jetzt von selber
> eingefallen?
Bitte sehr!
Nein, ich habe ihn wieder nachschauen müssen (Walter, Analysis 1)! Da er eigentlich so einfach ist, ist mir das schon ein wenig !
Immerhin hat er mir aber doch gezeigt, dass ja noch vage Erinnerungen da waren. Du erinnerst dich: ich hatte in Untertiefengrün etwas von Geometrischen und Arithmetischen Mitteln gesprochen. Nur die genaue Aufteilung in die n Faktoren hatte ich nicht mehr aus meinem wohl schon etwas altersschwachen Gedächtnis kramen können! C' est la vie (das ist der Wein)!
), versuch ichs halt hier nochmals!
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