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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Do 07.08.2014 | | Autor: | Lisa641 |
| Aufgabe | Die Gram-Matrix zur Basis B = [mm] (1,x,x^{2}) [/mm] lautet:
[mm] \phi [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & \bruch{2}{3} \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & \bruch{2}{5}} [/mm] |
Hallo ich soll mit nun die ONB berechnen.
Die Orthogonalbasis habe ich mit dem Gram-Schmidt Verfahren schon berechnet.
SIe lautet
(1, x, [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3})
[/mm]
Doch wie normiere ich diese jetzt? Mit Vektoren wäre das kein Problem, doch so verwirrt mich das etwas.
Könnte mir jemand vllt behilflich sein? Danke! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Do 07.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Gram-Matrix zur Basis B = [mm](1,x,x^{2})[/mm] lautet:
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 0 & \bruch{2}{3} \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & \bruch{2}{5}}[/mm]
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> Hallo ich soll mit nun die ONB berechnen.
> Die Orthogonalbasis habe ich mit dem Gram-Schmidt Verfahren
> schon berechnet.
> SIe lautet
> (1, x, [mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3})[/mm]
>
> Doch wie normiere ich diese jetzt? Mit Vektoren wäre das
> kein Problem, doch so verwirrt mich das etwas.
>
> Könnte mir jemand vllt behilflich sein? Danke! :)
wie habt ihr denn das Skalarprodukt [mm] $\,$ [/mm] definiert? Damit ist dann
bspw. einfach
[mm] $\|f\|:=\sqrt{}$
[/mm]
(man spricht von der "vom Skalarprodukt induzierten Norm") zu verwenden. Also
[mm] $(\tfrac{1}{\|1\|},\;\tfrac{x}{\|x\|},\tfrac{x^2-1/3}{\|x^2-1/3\|})$
[/mm]
könntest Du berechnen. Dabei ist dann
[mm] $\|x^2-1/3\|$
[/mm]
die Norm der Funktion $f [mm] \colon [/mm] x [mm] \mapsto x^2-1/3$ [/mm] (kurz: [mm] $\|f\|$), [/mm] die sich mit
dem Skalarprodukt zu [mm] $\|f\|=\sqrt{}$ [/mm] berechnet.
Ich könnte mir oben etwa vorstellen, dass ihr die Funktionen [mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1 [mm] \in \IR\,,$ $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] und
[mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^2 \in \IR$ [/mm] etwa nur auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] (mit $a > [mm] b\,$) [/mm] eingeschränkt betrachtet und für diese eingeschränkten
Funktionen (die ihr auch nur noch kurz als die Funktionen [mm] $1,\,x,\,x^2$ [/mm]
bezeichnet) dann etwa
[mm] $:=\int_a^b [/mm] (f(x)*g(x))dx$
definiert habt - eventuell habt ihr diesen Ausdruck auch mit dem Vorfaktor
[mm] $\tfrac{1}{b-a}$ [/mm] versehen.
Aber dazu steht sicher was in Deinen Unterlagen. Bei Gram-Schmidt taucht
das Skalarprodukt ja auf - übrigens auch [mm] $\|f\|^2=\,,$ [/mm] also das Quadrat der
Norm.
Gruß,
Marcel
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