ONB Polynome 2.Grades < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Do 13.01.2011 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Gegeben ist der euklidische Vektorraum [mm] \IR_{\le2} [/mm] mit dem Skalarprodukt
[mm] _{P}:=r_{2}*s_{2}+2*r_{1}*s_{1}+r_{0}*s_{0}
[/mm]
[mm] r(x)=r_{2}x^{2}+r_{1}x^+r_{0}
[/mm]
[mm] s(x)=s_{2}x^{2}+s_{1}x^+s_{0}
[/mm]
[mm] B={p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x) }
[/mm]
[mm] p_{1}=-5x^{2}-5x-5
[/mm]
[mm] p_{2}=3x^{2}+1
[/mm]
[mm] p_{3}=4
[/mm]
Geben Sie die ONB an! |
Also wie ich das mit Vektoren etc mache weiß ich ja!
Aber was mich verwirrt ist, dass ich ständig gesagt bekomme: [mm] q_{1} [/mm] ist nicht normiert!
Und ich lese auch immer so halb etwas über den Leitkoeffizienten (dass er Null sein muss), aber so richtig weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll!?
Ich nehme mal [mm] p_{1}(x)=-5x^{2}-5x-5
[/mm]
Laut der Definition aus der Aufgabenstellung würde das Skalarprodukt 100 ergeben. Dann die Wurzel ziehen, um die Norm zu bekommen: ist als Ergebnis dann 10!
Aber wenn ich jetzt [mm] p_{1}(x) [/mm] durch 10 teile, dann erhalte ich [mm] q_{1}=-\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}
[/mm]
Und das ist nicht normiert. 1. Weil mir das Programm das sagt und 2. weil ja der Leitkoeffizient nicht 1 ist. UND [mm] =1 [/mm] ist auch nicht erfüllt!
Normiere ich mein [mm] p_{1}(x) [/mm] BEVOR ich überhaupt anfange zu rechnen? Und rechne dann [mm] q_{1} [/mm] quasi mit [mm] x^{2}+x+1 [/mm] aus oder rechne ich beim Skalarprodukt [mm] (-\bruch{1}{5})*r_{2}*(-\bruch{1}{5})*s_{2}+2*r_{1}*s_{1}+r_{0}*s_{0} [/mm] ?
Wir haben zwar zig Begleitmaterialien, Skripte, Tutoriumsaufgaben und Online-Übungsapplets, aber es steht echt NIRGENDS, wie ich das rechne!
Egal was ich probiere: mein [mm] q_{1} [/mm] ist immer falsch!
Könnte mich da bitte jemand aufklären?
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> Gegeben ist der euklidische Vektorraum [mm]\IR_{\le2}[/mm] mit dem
> Skalarprodukt
> [mm]_{P}:=r_{2}*s_{2}+2*r_{1}*s_{1}+r_{0}*s_{0}[/mm]
>
> [mm]r(x)=r_{2}x^{2}+r_{1}x^+r_{0}[/mm]
> [mm]s(x)=s_{2}x^{2}+s_{1}x^+s_{0}[/mm]
>
> [mm]B={p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x) }[/mm]
>
> [mm]p_{1}=-5x^{2}-5x-5[/mm]
> [mm]p_{2}=3x^{2}+1[/mm]
> [mm]p_{3}=4[/mm]
>
> Geben Sie die ONB an!
Hallo,
dieser Arbeitsauftrag ist ja etwas wunderlich: die ONB?
Und wofür stehen die drei Polynome da? Gibt's diesbezüglich noch besondere Instruktionen?
Vielleicht hätte ich ja Lust dazu, eine ganz andere, mir genehmere Basis als Grundlage meiner Bemühungen zu nehmen...
> Also wie ich das mit Vektoren etc mache weiß ich ja!
Dann ist ja alles paletti: hier hast Du's mit Vektoren zu tun, also mit Elementen eines Vektorraumes.
> Aber was mich verwirrt ist, dass ich ständig gesagt
> bekomme: [mm]q_{1}[/mm] ist nicht normiert!
[mm] q_1 [/mm] ist ganz sicher kein normiertes Polynom in dem Sinne, daß der Leitkoeffizient =1 ist.
Aber der Vektor [mm] q_1(x) [/mm] ist ein normierter Vektor.
>
> Ich nehme mal [mm]p_{1}(x)=-5x^{2}-5x-5[/mm]
>
> Laut der Definition aus der Aufgabenstellung würde das
> Skalarprodukt 100 ergeben. Dann die Wurzel ziehen, um die
> Norm zu bekommen: ist als Ergebnis dann 10!
> Aber wenn ich jetzt [mm]p_{1}(x)[/mm] durch 10 teile, dann erhalte
> ich [mm]q_{1}=-\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2}[/mm]
Ich auch.
> [mm]=1[/mm] ist auch nicht erfüllt!
Wenn ich rechne, ist das erfüllt.
> Normiere ich mein [mm]p_{1}(x)[/mm] BEVOR ich überhaupt anfange zu
> rechnen?
Du sagst es zwar nirgends, aber ich gehe doch davon aus, daß Du mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine (!) ONB Deines Vektorraumes bestimmen willst.
> Egal was ich probiere: mein $ [mm] q_{1} [/mm] $ ist immer falsch!
Das [mm] q_1(x), [/mm] welches Du angibst, ist ein normierter Vektor und damit uneingeschränkt tauglich dafür, das erste Element einer noch zu erstellenden ONB zu sein.
Ich glaube, bei Dir vermischen sich gerade einige Probleme:
1. Probleme mit der Mathematik,
2. möglicherweise nicht beachtete Details der Aufgabenstellung und
3. Probleme mit den Rechenmaschinen und sonstigen modernen Hilfs- und Verwirrungsmitteln, die ich nicht kenne,
wobei mir Problem 1. eher klein zu sein scheint.
Vergiß doch jetzt mal die Technik und wähle einfach den bzw. irgendeinen Fußweg.
Du könntest ohne jegliche Normierung (der Vektoren) erstmal eine Orthogonalbasis ausrechnen, und die erhaltenen Vektoren am Ende normieren.
Oder Du normierst, bestimmst den nächsten Vektor, normierst ihn, usw.
Dann mußt Du am Ende nicht normieren.
Ich selbst fände es bequemer, mit [mm] p_3(x)=4 [/mm] zu beginnen.
Es ist [mm] \parallel p_3(x)\parallel =\wurzel{4^2}=4,
[/mm]
normieren ergibt
[mm] q_1(x)=1.
[/mm]
Damit hab' ich den ersten Vektor einer nun weiter aufzubauenden ONB.
Außerdem sehe ich (aufgrund einer Eingebung), daß die Vektoren 1 und [mm] x^2+x [/mm] orthogonal zueinander sind. Da normiere doch flugs den zweiten Vektor und habe schon zwei der benötigten drei Elemente der ONB.
Wenn ich jetzt irgendeinen Vektor nehme, der die beiden zu einer Basis ergänzt, z.B. [mm] x^3, [/mm] und dann das Gram-Schmidt-Verfahren anwende, habe ich eine ONB.
Je mehr ich über die Aufgabe und Deine Probleme nachdenke, desso mehr komme ich zu der Überzeugung, daß Du Details der Aufgabenstellung übersehen hast, welche verhindern, daß Du Dein [mm] q_1 [/mm] als ersten Basisvektor nehmen kannst...
Wie lautet der Arbeitsauftrag eigentlich wortwörtlich?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 13.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo Angela,
also 1. ja! Die Probleme mit der Mathematik sind bei mir wohl eher (je nach Thematik) kleiner!
2. Aufgabenstellung ist völlig klar und deutlich! Eine (!) ONB aus genau diesen Polynomen!
und 3. ich bin kein Wolfram Alpha Kind ;) ich mache alles per Hand und selbst!
ABER: ich habe hier einen Begriff mit etwas Anderem verwechselt!
Klar: normieren heißt ja die Länge auf 1 bringen, damit er/es (das Basiselement/der Vektor/das Polynom/was auch immer) auf dem Einheitskreis liegt bzw. auf der Einheitskugel. Oder Quadrat oder Würfel. Je nach Norm! Logisch!
Und: jap! Das Gram-Schmidt-Verfahren ist es welches wir anwenden sollen!
Und leider kann ich mir die Basiselemente nicht aussuchen! Die sind vorgegeben!
Und auch die Reinfolge ist vorgegeben! Sonst hätte ich auch mit 4 angefangen ;)
Das Einzige, was mich wirklich verwirrt ist diese Sache mit dem Leitkoeffizient... irgendwo gelesen, nirgendwo beschrieben und keine Ahnung ob wir das anwenden können/sollen/müssen!
Aber wenn Du für [mm] q_{1} [/mm] das Gleiche heraus bekommen hast wie ich, dann beruhigt mich das ungemein!
ABER: die richtige Aufgabenstellung kann/will/sollte und werde ich auch nicht mehr in die Fragestellung schreiben. >>Tutor hat Winke Winke gemacht ;) <<
Vielen Dank Angela!
Wenn Du mir antwortest ist mir immer sofort alles klar. Bei manch anderen wird eine ewig lange Debatte draus!
THX for help ;) wie immer!
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