ONB aus Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 } \in Mat_3(\IR).
[/mm]
Berechnen Sie gemäß folgendem Algorithmus eine ONB des [mm] \IR^3, [/mm] die aus Eigenvektoren von A besteht!
Algorithmus:
Sei f : V [mm] \to [/mm] V ein selbstadjungierter Endomorphismus.
(a) Berechne [mm] X_f(x) [/mm] und eine Faktorisierung [mm] X_f(x) [/mm] = [mm] (-1)^n (x-\lambda_1)^{\mu_1} \cdots (x-\lambda_m)^{\mu_m} [/mm] mit paarweise verschiedenen [mm] \lambda_1,...,\lambda_m \in \IR [/mm] und mit [mm] \mu_i [/mm] > 0.
(b) Für i = 1,...,m berechne eine Basis [mm] B_i [/mm] von [mm] Eig(f,\lambda_i).
[/mm]
(c) Für i = 1,...,m wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf [mm] B_i [/mm] an und erhalte eine ONB [mm] C_i [/mm] von [mm] Eig(f,\lambda_i).
[/mm]
(d) Gib C = [mm] C_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup C_m [/mm] aus und stoppe. |
Hallo,
also erstmal zu dem was ich geschafft habe:
Das charakteristische Polynom ist [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] - 6x +8, die Eigenwerte sind 1, 4 und -2 und die entsprechenden Eigenvektoren sind [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1}, [/mm] das stimmt auch alles soweit.
Jetzt muss ich für Punkt (b) eine Basis für jeden Eigenraum berechnen und hier komme ich nicht weiter. Also ich habe, in meinem jugendlichen Leichtsinn, die 3 Eigenvektoren spaltenweise in eine Matrix geschrieben und davon eine Basis berechnet, aber das ist ja unsinnig wie ich befürchte.
Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte wie ich hier die Basen für die Eigenräume berechne...
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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> Jetzt muss ich für Punkt (b) eine Basis für jeden Eigenraum
> berechnen und hier komme ich nicht weiter.
> Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte wie ich hier die
> Basen für die Eigenräume berechne...
Die drei Eigenräume sind offenbar eindimensional und Du hast auch von jedem Eigenraum einen Eigenvektor bestimmt: also bilden diese drei Eigenvektoren jeweils eine Basis des zugehörigen Eigenraumes. Im Punkt b) des angegebenen "Algorithmus" hast Du daher eigentlich gar nichts zu tun...
Das Orthogonalisierungsverfahren auf eine Basis bestehend aus nur einem einzigen Vektor anzuwenden ist trivial. Du brauchst den einen Vektor, der die Basis des betreffenden Eigenraumes bildet, nur zu normalisieren: fertig. D.h. Du musst die drei Eigenvektoren, die Du gefunden hast, lediglich noch normieren. (Falls ein Eigenraum mehr als eindimensional wäre, müsstest Du natürlich bei diesem Schritt des angegebenen "Algorithmus" schon etwas mehr Arbeiten...)
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Danke erstmal für die schnelle Antwort. Also ich muss nur die Eigenvektoren normalisieren, nicht auch noch zueinander orthogonalisieren? Weil die ja eine ONB bilden sollen?
Danke
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Dies ist natürlich wichtig: der angegebene "Algorithmus" funktioniert nur bei Matrizen, deren Eigenräume ohnehin paarweise orthogonal aufeinander stehen und deren Summe den ganzen Raum aufspannt: also etwa reell symmetrische Matrizen.
In anderen Fällen gibt es eine orthonormierte Basis, bestehend aus Eigenvektoren, gar nicht... Deine Matrix ist eben reell symmetrisch: also sind ihre Eigenräume paarweise orthogonal und ihre Summe spannt den ganzen Raum auf.
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