ONB berechnen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:30 So 04.01.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Gegeben ist der euklidische Vektorraum [mm] \IR_{1}[x] [/mm] mit dem Skalarprodukt [mm] =\integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx} [/mm] und die Basis [mm] {p_{1}(x), p_{2}(x)}.
[/mm]
Sei [mm] p_{1}(x)=1 [/mm] und [mm] p_{2}(-x) [/mm] .
Berechnen Sie die ONB: [mm] {q_{1}(x), q_{2}(x)}. [/mm] |
Hallo,
ich habe die Werte für [mm] q_{1}(x)=1 [/mm] und [mm] q_{2}(x)=-x*\wurzel{3}
[/mm]
Jedoch sind die Ergebnisse nicht richtig und ich weiß nicht wo der Fehler in meiner Rechnung liegt:
1.) [mm] q_{1}(x)=\bruch{p_{1}(x)}{||p_{1}(x)||}
[/mm]
=> für [mm] ||p_{1}(x)|| [/mm] = 1 => [mm] q_{1}(x)=1
[/mm]
2.) [mm] p_{2}(x)-*q_{1}(x)
[/mm]
[mm] I_{2}(x)=-x-<-x-1>*1 [/mm] = [mm] -x*\bruch{1}{2}*1 [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2}*x
[/mm]
3.) [mm] q_{2}(x)=\bruch{I_{2}(x)}{||I_{2}(x)||}
[/mm]
[mm] ||I_{2}(x)||^2=\integral_{0}^{1}{-(\bruch{1}{2}*x)^2 dx}= \bruch{1}{12}
[/mm]
=> [mm] q_{2}(x)=-x*\wurzel(3)
[/mm]
Kann mir jemand vielleicht sagen wo der Fehler liegt und was als Ergebnis dann rauskommen müsste?
Vielen Dank schonmal im Voraus und Grüße
Nina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 So 04.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Hab den Fehler schon gefunden...
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Ich hab den Fehler leider nicht gefunden. Kann mir das bitte jemand erklären?
Wenn ich 2. berechne kommt bei l2=0 heraus und damit komme ich nicht weiter.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 So 04.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
ich hatte einen Fehler bei der Berechnung von [mm] I_{2}(x) [/mm] gemacht. Hier aber ein ausführlicher Rechenweg:
1.Normierung von [mm] p_{1}(x):
[/mm]
[mm] p_{1}(x):=\bruch{p_{1}(x)}{||p_{1}||}
[/mm]
=> [mm] ||p_{1}||^2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{(1)^2 dx} [/mm] = 1
[mm] p_{1}(x)=\bruch{1}{1}
[/mm]
2. Lot von [mm] p_{2}(x) [/mm] auf die Gerade [mm] q_{1}(x): I_{2}(x)=p_{2}-*q_{1}(x)
[/mm]
[mm] I_{2}(x)=-x-<-x,1>*1
[/mm]
wobei <-x,1> = -1/2
ergibt also [mm] I_{2}(x)=-x+1/2
[/mm]
3.) Normierung von [mm] I_{2}(x): q_{2}(x)=\bruch{I_{2}(x)}{||I_{2}(x)||}
[/mm]
[mm] ||I_{2}(x)||^2=\integral_{0}^{1}{(-x+1/2)^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{-x+1/2}{\wurzel{1/12}}
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 23:59 So 04.01.2009 | | Autor: | aliaszero |
sicher ne blöde frage aber warum ist <-x,1> = -1/2 ?
Wie berechnet man das?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Mo 05.01.2009 | | Autor: | aliaszero |
ok ich hab vergessen, dass das Skalarprodukt durch das Integral definiert ist daher gleich -0,5.
Danke für die Hilfe.
LG
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