ONB im R4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Fr 09.07.2004 | | Autor: | ripperrd |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hi, ich hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
Im euklidischen Standardraum R4 ist der unterraum U gegeben durch die Gleichung 2x1+x3=x2-2x4=0. Man bestimme die Orthonormalbasis für U und den komplementären Unterraum U'. Bestimme den Abstand des Vektors e1+e2+e3+e4 von U und U'.
Ich hab schon ein Problem mit dem Anfang, da ich nicht mal weiß, wie ich aus der Gleichung für U die Basisvektoren von U bestimme. Wenn man die hat kann man die ONB ja schon leichter bestimmen.
Ronny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Fr 09.07.2004 | | Autor: | ripperrd |
nein das gleich ist nicht zuviel:
vielleicht sollte ich die gelichung nochmal übersichtlicher aufschreiben:
2a+c = b-2d = 0 (so stehts in der Aufgabe)
Ronny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Fr 09.07.2004 | | Autor: | choosy |
ich denke du bekommst eine basis, indem du linear unabhängige lösungen der gleichungen suchst:
z.b. (-1 0 2 0)
und ( 0 2 0 1 ).
diese sind sorgar schon orthogonal.
die abstände zu berechnen bekommst du damit hin oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Fr 09.07.2004 | | Autor: | ripperrd |
Im Moment habe ich dazu noch keine Idee.
Liebe Grüße Ronny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ronny
Nachdem ja die Detailfragen geklärt sind, schlage ich vor, dass wir schrittweise vorgehen.
Etwa folgender Ablauf:
a) Bestimme von $U$ eine Orthonormalbasis
b) Ergänze diese Basis zu einer Orthonormalbasis des ganzen [mm] $\mathbb{R}^{4}$ [/mm] (Orthonormalisierungsvervahren von E. Schmidt)
Die 2 zusätzlichen Basisvektoren sind dann die Basis von $U'$
c) Berechne den Abstand des gegebenen Vektors von den 2 Unterräumen.
Zu a)
Die Gleichung, wie du sie nennst, sind in Wirklichkeit ja 2 Gleichungen:
[mm] $2x_{1}+x_{3} [/mm] = 0$
[mm] $x_{2}-2x_{4}=0$
[/mm]
Durch diese 2 Gleichungen wird also $U$ definiert.
Kannst du dieses Gleichungssystem als Erstes bitte mal auflösen? 
Mit lieben Grüssen und bis bald
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 09.07.2004 | | Autor: | ripperrd |
Hallo, hab bis jetzt die ONB's von U und U'
U= [mm] \vektor{1/\wurzel{5} \\0\\-2/\wurzel{5}\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\2/\wurzel{5}\\0\\1/\wurzel{5}}
[/mm]
U'= [mm] \vektor{2/\wurzel{5} \\0\\1/\wurzel{5}\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\-1/\wurzel{5}\\0\\2/\wurzel{5}}
[/mm]
Wie berechne ich nun die Abstände? von [mm] e=\vektor{1\\1\\1\\1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 09.07.2004 | | Autor: | ripperrd |
Wie bestimmt man die Projektion?
Hab leider keine ahnung.
Ronny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ronny
> Wie bestimmt man die Projektion?
>
> Hab leider keine ahnung.
>
> Ronny
>
Das ist ganz einfach. 
Ich zeige es am Besten mal im 3-dimensionalen Raum (Voraussetzung: die Basis des Unterraums ist orthogonal, sonst funktioniert es so nicht; aber diese Voraussetzun erfüllen wir ja bereits)
Zeichne auf dein Blatt ein x-y-Koordinatensystem und denke dir noch die z-Achse senkrecht dazu. Wenn du den Vektor [mm] $\begin{pmatrix}4\\6\\3\end{pmatrix}$ [/mm] senkrecht in die x-y-Ebene projizieren willst, musst du für die x-Koordinate des projizierten Vektors einfach das Skalarprodukt des Einheitsvektors in x-Richtung bilden. Entsprechend für die y-Koordinate das Skalarprodukt des Einheitsvektors in y-Richtung.
Die x-Koordinate ist also: [mm] $\begin{pmatrix}4\\6\\3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=4$
[/mm]
Die y-Koordinate ist also: [mm] $\begin{pmatrix}4\\6\\3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=6$
[/mm]
Der Schatten des Vektors in der x-y-Ebene ist also: [mm] $\begin{pmatrix}4\\6\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
Oder in Vektorschreibweise mit den Basisvektoren [mm] $\vec{e}_{1}$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_{2}$
[/mm]
[mm] $\vec{a} [/mm] = [mm] (\vec{p}* \vec{e}_{1})*\vec{e}_{1}+\vec{p}*\vec{e}_{2})*\vec{e}_{2}$
[/mm]
Wobei [mm] $\vec{p}$ [/mm] der zu projizierende Vektor ist, und [mm] $\vec{a}$ [/mm] sein Bild davon in der x-y-Ebene.
Genau gleich läuft es in deinem Beispiel. Die Ebene, auf die jetzt projiziert wird, ist einfach nicht mehr die x-y-Ebene, sondern der Unterraum $U$
[mm] $\vec{e}_{1}$ [/mm] entspricht dabei dem ersten, durch dich so erfolgreich berechneten Basisvektor ....
Kommst du jetzt etwas weiter?
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 13.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (\vec{p}\cdot{} \vec{e}_{1})\cdot{}\vec{e}_{1}+\vec{p}\cdot{}\vec{e}_{2})\cdot{}\vec{e}_{2} [/mm]
in der Formel fehlt leider eine Klammer, vielleicht hab ich sie ja dennoch richtig interpretiert,
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{5}} \\ 0 \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{5}} \\ 0 \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{5}} \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{5}} \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{5}}*\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{5}} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \bruch{3}{\wurzel{5}}*\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{5}} \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -0,2 \\ 0 \\ 0,4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1,2 \\ 0 \\ 0,6 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -0,2 \\ 1,2 \\ 0,4 \\ 0,6 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{a}- \vec{e} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -0,2 \\ 1,2 \\ 0,4 \\ 0,6 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{a}- \vec{e} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1,2 \\ 0,2 \\ -0,6 \\ -0,4 \end{pmatrix}
[/mm]
und der Abstand wäre: [mm] \wurzel{1,2^2+0,2^2+0,6^2+0,4^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
ist das ganze so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo!
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm](\vec{p}\cdot{} \vec{e}_{1})\cdot{}\vec{e}_{1}+\vec{p}\cdot{}\vec{e}_{2})\cdot{}\vec{e}_{2}[/mm]
>
>
> in der Formel fehlt leider eine Klammer, vielleicht hab ich
> sie ja dennoch richtig interpretiert,
>
Oh, ja, die Klammer fehlt tatsächlich!
Trotzdem hast du die Formel richtig interpretiert! Super!
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm](\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{5}} \\ 0 \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{5}} \\ 0 \end{pmatrix}+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{5}} \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{5}} \end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{\wurzel{5}}*\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{-2}{\wurzel{5}} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\bruch{3}{\wurzel{5}}*\begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{2}{\wurzel{5}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{5}} \end{pmatrix}
[/mm]
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -0,2 \\ 0 \\ 0,4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 1,2 \\ 0 \\ 0,6 \end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -0,2 \\ 1,2 \\ 0,4 \\ 0,6 \end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> [mm]\vec{a}- \vec{e}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -0,2 \\ 1,2 \\ 0,4 \\ 0,6 \end{pmatrix}[/mm]
> - [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> [mm]\vec{a}- \vec{e}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -1,2 \\ 0,2 \\ -0,6 \\ -0,4 \end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> und der Abstand wäre: [mm]\wurzel{1,2^2+0,2^2+0,6^2+0,4^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2}
[/mm]
>
> ist das ganze so richtig?
>
Da kann ich nichts dagegen sagen! Das stimmt meiner Meinung nach!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:51 Di 13.07.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo
nach was soll ich die Gleichungen denn auflösen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mausi
schön, wieder mal was von dir zu hören. Beinahe will ich dich von Neuem hier im Matheraum begrüssen!
> Hallo
> nach was soll ich die Gleichungen denn auflösen???
>
Du meinst diese hier?:
[mm] $2x_{1}+x_{3}=0$
[/mm]
[mm] $x_{2}-2x_{4}=0$
[/mm]
Hmm... nach langem Ueberlegen kemme ich hierauf: am besten löst man diese Gleichungen wohl nach [mm] $x_{1}, \, x_{2}, \, x_{3},$ [/mm] und [mm] $x_{4}$ [/mm] auf.
Dabei erwarte ich, als Lösungsmenge einen 2-dimensionalen Unterraum zu erhalten. (Weisst du, wie man darauf kommt?)
Das Auflösen funktioniert so:
[mm] $\begin{vmatrix}2&0&1&0\mid 0\\0&1&0&-2\mid 0\end{vmatrix}$
[/mm]
Diese Matrix ist bereits in einer gewünschten Form: die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Teilmatrix links aussen hat Diagonalform.
Um 2 unabhängige Vektoren zu finden, kann man jetzt einfach [mm] $x_{3}$ [/mm] den Wert $1$ zuweisen, und [mm] $x_{4}$ [/mm] den Wert $0$ und die erste Gleichung nach $x{1}$ und die 2. Gleichung nach [mm] $x_{2}$ [/mm] auflösen. Der Vektor [mm] $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\1\\0\end{pmatrix}$ [/mm] ist dann ein (unabhängiger, selbsverständlich) Vektor des Lösungsraumes.
Dann macht man die gleiche Rechnung auch, indem man [mm] $x_{3}$ [/mm] den Wert $0$ zuweist und [mm] $x_{4}$ [/mm] den Wert $1$ gibt: Dann ist [mm] $\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\\1\end{pmatrix}$ [/mm] der 2. unabhängige Vektor.
Mit der Zuweisung [mm] $(x_{3},x_{4}) [/mm] = (1,0)$ erhalte ich: [mm] $x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] und [mm] $x_{2} [/mm] = 0$, also als ersten unabhängigen Vektor:
[mm] $\begin{pmatrix}-\bruch{1}{2}\\0\\1\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
Mit der Zuweisung [mm] $(x_{3},x_{4}) [/mm] = (0,1)$ erhalte ich: [mm] $x_{1} [/mm] = 0$ und [mm] $x_{2} [/mm] = 2$, also als zweiten unabhängigen Vektor:
[mm] $\begin{pmatrix}0\\2\\0\\1\end{pmatrix}$
[/mm]
Diese beiden Vektoren bilden also eine Basis des durch die Gleichungen bestimmten Unterraumes $U$.
Um den Bruch wegzubekommen, würde ich den 1. Vektor noch mit 2 multiplizieren und erhalte so die beiden Vektoren, die als Basis für $U$ dienen können:
[mm] $\vec{u}_{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}-1\\0\\2\\0\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\vec{u}_{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0\\2\\0\\1\end{pmatrix}$
[/mm]
Vermutlich sind diese Vektoren bereits orthogonal.
Kommst du damit einen Schritt weiter?
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Di 13.07.2004 | | Autor: | mausi |
Alles klar Paulus herzlichen Dank habe ich jetzt verstanden.Nun zur nächsten Frage:
Wie bestimme ich nun die Orthonormalbasen für U und U ^umgedrehtes T?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mausi
> Alles klar Paulus herzlichen Dank habe ich jetzt
> verstanden.Nun zur nächsten Frage:
> Wie bestimme ich nun die Orthonormalbasen für U und U
> ^umgedrehtes T?
>
Das umgedrehte T lässt sich so darstellen: [mm] $\perp$ ($\backslash{perp}$)
[/mm]
Weisst du, wodurch sich eine Orthogonalbasis von einer Orthonormalbasis unterscheidet?
Bei der Orthogonalbasis stehen die Basisvektoren orthogonal zueinander (das heisst, das Skalarprodukt hat den Wert $0$).
Bei der Orthonormalbasis müssen die Basisvektoren auch noch die Länge (Norm) $1$ haben. Das erreichst du dadurch, dass du von den Basisvektoren die Länge bestimmst und dann den jeweiligen Vektor durch diese Länge dividierst.
Kannst du das mal bitte für die eben berechneten Basisvektoren von $U$ machen?
Um nun $2$ Basisvektoren von [mm] $U^{\perp}$ [/mm] zu erhalten, würde die vorhandenen orthonormalen Basisvektoren von $U$ zu einer Basis des ganzen [mm] $\mathbb{R}^{4}$ [/mm] mittels Orthonormalisierungsverfahren von E. Schmidt ergänzen. (dabei sollte dein [mm] $\vec{u}_{1}$ [/mm] zuerst noch mit $-1$ multipliziert werden), mit den normierten Vektoren [mm] $-\vec{u}_{1}, \, \vec{u}_{2}, \, \vec{e}_{3}$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_{4}$ [/mm] als Ausgangsbasis.
Dabei meine ich mit [mm] $\vec{e}_{3}$: $\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$ [/mm] und mit [mm] $\vec{e}_{4}$: $\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$
[/mm]
Kommst du so einen Schritt weiter?
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Di 13.07.2004 | | Autor: | mausi |
aaahhh
U=Lin [mm] {\frac{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} ,\frac{1}{\wurzel{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -2 \end{pmatrix} }
[/mm]
[mm] U^{\perp} [/mm] = Lin [mm] {\frac{1}{\wurzel{5}} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix} ,\frac{1}{\wurzel{5}}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} }
[/mm]
stimmt das jetzt so???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Di 13.07.2004 | | Autor: | mausi |
Wie ich drauf gekommen bin ich habe noch mal durchgeblättert und meine Aufgabe von letzter Woche gefunden,da musste man ja auch die Orthonormalbasis berechnen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo sany
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, da hast du Recht.
Danke für den Hinweis! Ich korrigiere es gleich!
Mit lieben Grüssen
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Kannst du das bitte noch präzisieren? Sind das 2 Gleichungen? Ist das eine Gleichung mit einem "=" zuviel?
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
