ONB und Gramsche-Matrix < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 21.01.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es sei [mm] M=\pmat{ 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5}
[/mm]
a) Es sei [mm] P_2 [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 2 mit Standardbasis [mm] B_2=(1,x,x^2). [/mm] Da M pos. definit und symmetrisch ist, definiert M ein Skalarprodukt auf [mm] P_2. [/mm] Berechne eine ONB von [mm] P_2 [/mm] bezgl. <.,.>_M.
b) Für d [mm] \in [/mm] IN sei auf [mm] P_d [/mm] ein Skalarprodukt gegeben durch [mm] =\integral_{0}^{1}{f(x)g(x) dx} [/mm] für f,g [mm] \in P_2. [/mm] Berechne die Gram-matrix [mm] M_B_d [/mm] (<.,.>), wobei [mm] B_d=(1,x,x^2,...) [/mm] die Standardbasis des [mm] P_d [/mm] ist. |
Mein Problem ist, dass ich zwar ONBs und Gram-Matrizen bestimmen kann aber nur bzgl. des Standardskalarprodukts, hier klappt's i-wie nicht.
Wenn ich bei a)
Die Basis schreibe als [mm] \vektor{1 \\ x \\ x^2}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 1 } [/mm] und
[mm] v_0=b_0 [/mm] setze, also [mm] v_0=\vektor{1\\ 0 \\ 0}, [/mm] dann kann ich ja noch die Länge mit (1 0 0) * M * [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] =1 .
[mm] v_0 [/mm] soll der erste Vektor der OGB sein.
Stimmt das?
[mm] v_1 [/mm] will ich dann so berechnen:
[mm] \vektor{0 \\ x \\0}-\bruch{<\vektor{1\\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ x \\0}>_M }{<\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 0 \\0}>_M} \vektor{1\\ 0 \\0}
[/mm]
Ich mach's mal nur soweit. Stimmt das? Wenn nein: Wo stecken die Fehler?
Danke im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Sa 21.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Gibt's Ideen?
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> Es sei [mm]M=\pmat{ 1 & 1/2 & 1/3 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/3 & 1/4 & 1/5}[/mm]
>
> a) Es sei [mm]P_2[/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad
> kleiner gleich 2 mit Standardbasis [mm]B_2=(1,x,x^2).[/mm] Da M pos.
> definit und symmetrisch ist, definiert M ein Skalarprodukt
> auf [mm]P_2.[/mm] Berechne eine ONB von [mm]P_2[/mm] bezgl. <.,.>_M.
> Mein Problem ist, dass ich zwar ONBs und Gram-Matrizen
> bestimmen kann aber nur bzgl. des Standardskalarprodukts,
> hier klappt's i-wie nicht.
> Wenn ich bei a)
> Die Basis schreibe als [mm]\vektor{1 \\
x \\
x^2}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0& 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
was soll das???
Der VR [mm] P_2 [/mm] ist ein VR der Dimension 3. Seine drei Basisvektoren der Standardbasis sind 1,x und [mm] x^2. [/mm]
Die M ist die Gram-Matrix des hier auf [mm] P_2 [/mm] definerten Skalarproduktes.
Sie ist die Darstellungsmatrix des Skalarproduktes bzgl der Standardbasis des [mm] P_2.
[/mm]
Mal angenommen, ich will [mm] <3x^2+1, [/mm] x-5>_M wissen.
Ich kann das berechnen, indem ich beide Vektoren umwandle in Koordinatenvektoren bzgl. B.
Ich rechne [mm] <3x^2+1, x-5>_M=(1&0&3)M\vektor{-5\\1\\0}= [/mm] ...
Aus der Gram-Matrix kannst Du ja die Skalarprodukte der Basisvektoren ablesen, Du kannst also auch so rechnen:
[mm] <3x^2+1, x-5>_M=...=3_M-15_M+<1,x>_M-5<1,1>_M=3*\bruch{1}{4}-15*\bruch{1}{3}+...-...
[/mm]
Du machst irgenwie eine Mischform.
Du mußt Dich entscheiden: arbeitetst Du mit Koordinatenvektoren? In denen schwirrt kein x rum!
Oder mit den Vektoren (=Polynomen)? Die stehen nicht in Spalten.
Die Länge vom Basisvektor [mm] 1=\vektor{1\\0\\0}_{(B)} [/mm] ist in der Tat =1,
die Länge von [mm] x=\vektor{0\\1\\0}_{(B)} [/mm] ist [mm] =\bruch{1}{3}.
[/mm]
>
> [mm]v_1[/mm] will ich dann so berechnen:
>
> [mm]\vektor{0 \\
x \\
0}-\bruch{<\vektor{1\\
0 \\
0},\vektor{0 \\
x \\
0}>_M }{<\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{1 \\
0 \\
0}>_M} \vektor{1\\
0 \\
0}[/mm]
Nee.
Das muß heißen
[mm] $\vektor{0 \\ 1\\0}-\bruch{<\vektor{1\\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\0}>_M }{<\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 0 \\0}>_M} \vektor{1\\ 0 \\0}$.
[/mm]
Oder Du arbeitest eben direkt mit den Polynomen wie oben gezeigt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Danke erstmal für deine ausführlichen Erklärungen!
Wenn ich jetzt
$ [mm] \vektor{0 \\ 1\\0}-\bruch{<\vektor{1\\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\0}>_M }{<\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 0 \\0}>_M} \vektor{1\\ 0 \\0} [/mm] $
ausrechne komme ich auf:
[mm] \vektor{-1/2 \\ 1 \\0}. [/mm] Stimmt das?
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> Danke erstmal für deine ausführlichen Erklärungen!
> Wenn ich jetzt
> [mm]\vektor{0 \\
1\\
0}-\bruch{<\vektor{1\\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0}>_M }{<\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{1 \\
0 \\
0}>_M} \vektor{1\\
0 \\
0}[/mm]
>
> ausrechne komme ich auf:
> [mm]\vektor{-1/2 \\
1 \\
0}.[/mm] Stimmt das?
Hallo,
hab' ich jedenfalls auch raus. Der errechnete Vektor ist aber "bloß" der Koordinatenvektor bzgl. B.
Den normierst Du jetzt ja sicher noch, und dann mußt Du ihn aber wieder als Polynom schreiben.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also dann bekomme ich [mm] \vektor{-1/\wurzel{5} \\ 2/\wurzel{5} \\ 0}
[/mm]
und als Polynom [mm] (-1/\wurzel{5} [/mm] , [mm] 2/\wurzel [/mm] {5}x, 0).
Also habe ich bisher [mm] v_0=(1,0,0), v_1=(-1/\wurzel{5} [/mm] , [mm] 2/\wurzel{5}x, [/mm] 0)
Stimmt das soweit?
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> Also dann bekomme ich [mm]\vektor{-1/\wurzel{5} \\
2/\wurzel{5} \\
0}[/mm]
Hallo,
bitte etwas mehr Zusmmenhang, damit man nicht immer in ndere threds klicken muß.
Wofür bekomst Du das, und was hast Du dafür gerechnet?
> und als Polynom [mm](-1/\wurzel{5}[/mm] , [mm] 2/\wurzel{5}x, [/mm] 0).
Das, was Du hier schreibst, ist kein Polynom.
Das Polynom wäre [mm] -1/\wurzel{5}+2/\wurzel{5}x.
[/mm]
(Normalerweise macht man übrigens den Nenner rational.)
LG Angela
> Also habe ich bisher [mm]v_0=(1,0,0), v_1=(-1/\wurzel{5}[/mm] ,
> [mm]2/\wurzel{5}x,[/mm] 0)
> Stimmt das soweit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Nur nochmal zum Verständnis:Die ONB besteht dann also aus 3 Polynomen?
Also {1, [mm] -\wurzel{5}/5+(2\wurzel{5}/5) [/mm] x, ...}
Das 3. polynom würde ich so berechnen:
[mm] v=\vektor{0\\ 1 \\0}-\bruch{<\vektor{-0,5 \\1\\0}, \vektor{0 \\0 \\1}_M}{<\vektor{-0,5\\1\\0},\vektor{-0,5\\1\\0}>_M} \vektor{-0,5\\ 1 \\0}-\bruch{<\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\1}>_M}{<\vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 0\\0}>_M}\vektor{1 \\ 0 \\0}. [/mm]
Und dann normieren und als Polynom schreiben.
Ist das so richtig?
Wie gehe ich denn die b) an?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Nur nochmal zum Verständnis:Die ONB besteht dann also aus
> 3 Polynomen?
> Also {1, [mm]-\wurzel{5}/5+(2\wurzel{5}/5)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x, ...}
Hallo,
ja, damit hast Du etwas Wesentliches verstanden.
Ob das zweite Polynom stimmt, da hb' ich wie gesagt meine Zweifel.
Für den Rest hab' ich gerade keine Zeit mehr.
LG Angela
> Das 3. polynom würde ich so berechnen:
>
> [mm]v=\vektor{0\\
1 \\
0}-\bruch{<\vektor{-0,5 \\
1\\
0}, \vektor{0 \\
0 \\
1}_M}{<\vektor{-0,5\\
1\\
0},\vektor{-0,5\\
1\\
0}>_M} \vektor{-0,5\\
1 \\
0}-\bruch{<\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1}>_M}{<\vektor{1\\
0 \\
0},\vektor{1 \\
0\\
0}>_M}\vektor{1 \\
0 \\
0}.[/mm]
>
> Und dann normieren und als Polynom schreiben.
>
> Ist das so richtig?
>
> Wie gehe ich denn die b) an?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, wenn du wieder zeit hast kannst du mir ja wieder weiterhelfen. ich verstehe nicht ganz, weshalb du an der Richtigkeit des 2.Plynomes zweifelst:
$ [mm] \vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0}. [/mm] $ hattest du dich auch raus als Koordinatenvektor bzg. B.
Und [mm] \wurzel{1/4+1} [/mm] = [mm] \wurzel{5}/2
[/mm]
Also [mm] 2/\wurzel{5} \vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-1/\wurzel{5}\\ 2/\wurzel{5} \\ 0}. [/mm] Und damit als Polynom: [mm] -5/\wurzel{5}+(2\wurzel{5}/5)x
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Kann mir vielleicht noch außer angela jemand helfen?
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Hallo rollroll,
> Ok, wenn du wieder zeit hast kannst du mir ja wieder
> weiterhelfen. ich verstehe nicht ganz, weshalb du an der
> Richtigkeit des 2.Plynomes zweifelst:
> [mm]\vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0}.[/mm] hattest du dich auch raus als
> Koordinatenvektor bzg. B.
> Und [mm]\wurzel{1/4+1}[/mm] = [mm]\wurzel{5}/2[/mm]
Hier darfst Du nicht das Standardskalarprodukt verwenden.
Sondern das gegebene Skalarprodukt:
[mm]<{\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}.,\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}>=\pmat{-1/2 & 1 & 0}M\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}}[/mm]
> Also [mm]2/\wurzel{5} \vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1/\wurzel{5}\\ 2/\wurzel{5} \\ 0}.[/mm] Und damit als
> Polynom: [mm]-5/\wurzel{5}+(2\wurzel{5}/5)x[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
$ [mm] <{\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}.,\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}>=\pmat{-1/2 & 1 & 0}M\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}} [/mm] $, dann erhalte ich -53/12, soll ich das jetzt mit
$ [mm] \vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0}. [/mm] $ multiplizieren und dann das polynom aufstellen?
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Hallo rollroll,
> [mm]<{\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}.,\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}>=\pmat{-1/2 & 1 & 0}M\pmat{-1/2 \\ 1 \\ 0}} [/mm],
> dann erhalte ich -53/12, soll ich das jetzt mit
Der Wert des Skalarproduktes stimmt nicht.
> [mm]\vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0}.[/mm] multiplizieren und dann das
> polynom aufstellen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, hab wieder drüber gerechnet und bekomme 1/12.
das dann mit $ [mm] \vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0}. [/mm] $ multiplizieren und dann das Polynom bestimmen?
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Hallo rollroll,
> Ok, hab wieder drüber gerechnet und bekomme 1/12.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das dann mit [mm]\vektor{-1/2 \\ 1 \\ 0}.[/mm] multiplizieren und
> dann das Polynom bestimmen?
Diesen Vektor dividierst Du durch die Wurzel des obigen Ergebnisses.
Daraus kannst Du dann das Polynom bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also [mm] 1/\wurzel{12}\vektor{-0,5 \\ 1 \\0}=\vektor{\wurzel{3}/12 \\ \wurzel{3}/6\\ 0}?
[/mm]
Und ist der Ansatz
$ [mm] v=\vektor{0\\ 1 \\0}-\bruch{<\vektor{-0,5 \\1\\0}, \vektor{0 \\0 \\1}_M}{<\vektor{-0,5\\1\\0},\vektor{-0,5\\1\\0}>_M} \vektor{-0,5\\ 1 \\0}-\bruch{<\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\1}>_M}{<\vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 0\\0}>_M}\vektor{1 \\ 0 \\0}. [/mm] $ richtig, um das 3.polynom zu bestimmen?
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Hallo rollroll,
> Also [mm]1/\wurzel{12}\vektor{-0,5 \\ 1 \\0}=\vektor{\wurzel{3}/12 \\ \wurzel{3}/6\\ 0}?[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Rechnen musst Du doch:
[mm]\bruch{1}{1/\wurzel{12}}*\vektor{-0,5 \\ 1 \\0}=\wurzel{12}*\vektor{-0,5 \\ 1 \\0}[/mm]
> Und ist der Ansatz
> [mm]v=\vektor{0\\ 1 \\0}-\bruch{<\vektor{-0,5 \\1\\0}, \vektor{0 \\0 \\1}_M}{<\vektor{-0,5\\1\\0},\vektor{-0,5\\1\\0}>_M} \vektor{-0,5\\ 1 \\0}-\bruch{<\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\1}>_M}{<\vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 0\\0}>_M}\vektor{1 \\ 0 \\0}.[/mm]
> richtig, um das 3.polynom zu bestimmen?
Hier muss doch stehen:
[mm]v=\vektor{0\\ \blue{0} \\ \blue{1}}-\bruch{<\vektor{-0,5 \\1\\0}, \vektor{0 \\0 \\1}_M}{<\vektor{-0,5\\1\\0},\vektor{-0,5\\1\\0}>_M} \vektor{-0,5\\ 1 \\0}-\bruch{<\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\1}>_M}{<\vektor{1\\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 0\\0}>_M}\vektor{1 \\ 0 \\0}.[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also lautet das 2. polynom: [mm] -\wurzel{3}+\wurzel{12}x?
[/mm]
und für [mm] v_2 [/mm] hätte ich raus: [mm] \vektor{1/6 \\ -1 \\0}
[/mm]
Stimmt das? Muss man dann das gleiche Verfahren anwenden wie oben, um das Polynom zu bekommen?
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Hallo rollroll,
> Also lautet das 2. polynom: [mm]-\wurzel{3}+\wurzel{12}x?[/mm]
>
Ja.
> und für [mm]v_2[/mm] hätte ich raus: [mm]\vektor{1/6 \\ -1 \\0}[/mm]
>
Hier hast etwas vergessen: [mm]\vektor{1/6 \\ -1 \\ \red{1}}[/mm]
> Stimmt das? Muss man dann das gleiche Verfahren anwenden
> wie oben, um das Polynom zu bekommen?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also lautet die ONB:
{1, [mm] -\wurzel{3}+\wurzel{12}x, \wurzel{3}/3-\wurzel{12}x+\wurzel{12}x^2 [/mm] }?
Ok, wie setzt man denn bei Aufgabenteil b) an? Also wie die Lsg bzgl. des standardskalarprodukts aussieht weiß ich, aber wie man man das bzgl. M?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo rollroll,
> Also lautet die ONB:
> {1, [mm]-\wurzel{3}+\wurzel{12}x, \wurzel{3}/3-\wurzel{12}x+\wurzel{12}x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }?
>
Das letzte Polynom stimmt nicht.
> Ok, wie setzt man denn bei Aufgabenteil b) an? Also wie die
> Lsg bzgl. des standardskalarprodukts aussieht weiß ich,
> aber wie man man das bzgl. M?
Dieses M ist doch jetzt ein anderes als das im Aufgabenteil a).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Wieso stimmt denn das 3. Polynom nicht? ich hab [mm] \vektor{1/6 \\ -1 \\ \red{1}} [/mm] doch nur mit [mm] \wurzel{12} [/mm] multipliziert , wie beim 2.polynom...
Und b) ist dann also auf das Standardskalarprodukt bezogen?
Also wenn man es nur mal auf [mm] P_2 [/mm] beziehen würde, käme ich auf die Gram-Matrix: [mm] \pmat{ 2 & 0 &2/3 \\ 0 & 2/3 & 0 \\2/3 & 0 & 2/5 }. [/mm] Kann man daraus dann die allgemeine Matrix bzgl. [mm] P_n [/mm] entwickeln?
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Hallo rollroll,
> Wieso stimmt denn das 3. Polynom nicht? ich hab [mm]\vektor{1/6 \\ -1 \\ \red{1}}[/mm]
> doch nur mit [mm]\wurzel{12}[/mm] multipliziert , wie beim
> 2.polynom...
>
Der Betrag dieses Vektors unter dem gegeben Skalarprodukt ist ein anderer.
> Und b) ist dann also auf das Standardskalarprodukt
> bezogen?
> Also wenn man es nur mal auf [mm]P_2[/mm] beziehen würde, käme
> ich auf die Gram-Matrix: [mm]\pmat{ 2 & 0 &2/3 \\ 0 & 2/3 & 0 \\2/3 & 0 & 2/5 }.[/mm]
> Kann man daraus dann die allgemeine Matrix bzgl. [mm]P_n[/mm]
> entwickeln?
Die angegebene Matrix stimmt nicht.
Der Eintrag in der i. Zeile und j. Spalte der Gram-Matrix lautet doch:
[mm]M_{i,j}=\integral_{0}^{1}{x^{i-1}*x^{j-1} \ dx}, \ 1 \le i,j < d[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also muss ich (1/6 -1 1) * M * [mm] \vektor{1/6\\ -1 \\1 }berechnen?
[/mm]
Bei Teil b) hab ich wieder drüber gerechnert,
und ich komme dann i-wie auf die schon gegebene Matrix M...
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Hallo rollroll,
> Also muss ich (1/6 -1 1) * M * [mm]\vektor{1/6\\ -1 \\1 }berechnen?[/mm]
>
Ja, und daraus musst Du noch die Wurzel ziehen.
Dann den Vektor bzw. das zugehörige Polynom durch diesen Wert teilen.
> Bei Teil b) hab ich wieder drüber gerechnert,
> und ich komme dann i-wie auf die schon gegebene Matrix
> M...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also [mm] 30/\wurzel{5}*\vektor{1/6 \\ -1 \\1}
[/mm]
und damit das Polynom: [mm] \wurzel{5}-6\wurzel{5}x+6\wurzel{5}x^2?
[/mm]
Wie kann ich denn bei b) die gefundene Gram-Matrix allgemein angeben?für [mm] P_n?
[/mm]
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Hallo rollroll,
> Also [mm]30/\wurzel{5}*\vektor{1/6 \\ -1 \\1}[/mm]
> und damit das
> Polynom: [mm]\wurzel{5}-6\wurzel{5}x+6\wurzel{5}x^2?[/mm]
>
> Wie kann ich denn bei b) die gefundene Gram-Matrix
> allgemein angeben?für [mm]P_n?[/mm]
Zum Beispiel so:
[mm]M_{Bd}=\left(\bruch{1}{i+j-1}\right)_{1 \le i \le d, \ 1 \le j \le d}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hi, hab mal eine kurze Frage zu i und j.
> [mm]M_{Bd}=\left(\bruch{1}{i+j-1}\right)_{1 \le i \le d, \ 1 \le j \le d}[/mm]
muss das hier nicht
1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] d+1, \ 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] d+1
sein?
Gruß
ConstantinJ
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> Hi, hab mal eine kurze Frage zu i und j.
>
> > [mm]M_{Bd}=\left(\bruch{1}{i+j-1}\right)_{1 \le i \le d, \ 1 \le j \le d}[/mm]
>
>
> muss das hier nicht
> 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] d+1, \ 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] d+1
> sein?
Hallo,
ja.
LG Angela
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