www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - ORTHOGONALE ABBILDUNG
ORTHOGONALE ABBILDUNG < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

ORTHOGONALE ABBILDUNG: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Mo 09.05.2005
Autor: NECO

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, ich habe ein Problem.  Ist diese Aufgabe schwer, oder was, verstehe ich nicht.

Es seien U, V  [mm] \subset \IR^{n} [/mm] Untervektorräume und f:  [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] eine orthogonale Abbildung mit f(U)=W. Zeigen Sie, dass dann auch

[mm] f(U^{T}) [/mm] = [mm] W^{T} [/mm]
gilt.



        
Bezug
ORTHOGONALE ABBILDUNG: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mo 09.05.2005
Autor: Stefan

Hallo NECO!

Zu zeigen ist wohl eher:

[mm] $f(U^{\perp})=W^{\perp}$. [/mm]


[mm] "$\subset$": [/mm]

Es sei $x [mm] \in f(U^{\perp})$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $u^{\*} \in U^{\perp}$ [/mm] mit [mm] $f(u^{\*})=x$. [/mm] Sei nun $w [mm] \in [/mm] W$ beliebig gewählt. Dann gibt es ein [mm] $u'\in [/mm] U$ mit $f(u')=w$.

Wir erhalten:

[mm] $\langle [/mm] x,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$,

also:

[mm] $u^{\*} \in U^{\perp}$. [/mm]

Versuche bitte selber die Lücken zu füllen. :-)


[mm] "$\supset$": [/mm]

Es sei $y [mm] \in W^{\perp}$. [/mm] Da $f$ als orthogonale Abbildung invertierbar ist, gibt es ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit $f(x)=y$. Zu zeigen bleibt: $x [mm] \in U^{\perp}$. [/mm]

Es gilt aber für alle $u [mm] \in [/mm] U$:

[mm] $\langle [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),f(x) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$.

Versuche auch hier bitte die Lücken zu füllen.

Viele Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
ORTHOGONALE ABBILDUNG: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:29 Di 10.05.2005
Autor: NECO

"
Wir erhalten:

[mm] $\langle [/mm] x,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$,

Ich denke mal <w,x>

[mm] $\langle [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),f(x) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$.

und hier <f(x),f(u)>



Bezug
                        
Bezug
ORTHOGONALE ABBILDUNG: Beides falsch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:49 Di 10.05.2005
Autor: Stefan

Hallo NECO!

Versuche es doch bitte noch einmal. ;-)

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                        
Bezug
ORTHOGONALE ABBILDUNG: Idee 2.Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Di 10.05.2005
Autor: NECO

Wir erhalten:

[mm] $\langle [/mm] x,w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = 0$,

das kann man aber ne? für erste Lücke [mm] [/mm]

Für die zweite fählt mir jetz nichs ein. Danke dir nochmal



Bezug
                                
Bezug
ORTHOGONALE ABBILDUNG: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Mi 11.05.2005
Autor: Stefan

Hallo NECO!

> das kann man aber ne? für erste Lücke [mm][/mm]

[ok]

Genauer:

[mm] $\langle [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle f(u^{\*}),f(u') \rangle [/mm] = [mm] \langle u^{\*},u' \rangle [/mm] = 0$

wegen [mm] $u^{\*} \in U^{\perp}$, [/mm] $u' [mm] \in [/mm] U$. Bechte bitte, dass hier die Orthogonalität (Winkel-/Abstandserhaltung) von $f$ verwendet wurde.

> Für die zweite fählt mir jetz nichs ein. Danke dir nochmal

Hier muss hin:

[mm] $\langel [/mm] u,x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),f(x) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(u),y [mm] \rangle [/mm] =0$

wegen $f(u) [mm] \in [/mm] W$, $y [mm] \in W^{\perp}$. [/mm] Auch hier wurde die Orthogonalität von $f$ ausgenutzt.

Viele Grüße
Stefan


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]