Ober-/Untersumme bei f(x)=1/x < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:47 So 10.10.2004 | | Autor: | farnsworth |
Hallo zusammen,
ich brauche mal einen Tip: (Habe im Moment ein Brett vorm Kopf)
Ich möchte gerne den Flächeninhalt unter f(x)=1/x durch Ober- bzw. Untersummen annähern. Und zwar so, dass der Flächeninhalt genau 1 ergibt. Dazu wähle ich die linke Grenze a=1 und die rechte Grenze b=e.
Intervallbreite [mm] Delta_x=(b-a)/n, [/mm] bei n Unterteilungen.
[mm] x_0 [/mm] = 0 *(b-a)/n + a, (= a = 1)
[mm] x_1 [/mm] = 1 *(b-a)/n + a,
...
x_(n-1)=(n-1)*(b-a)/n+a
Es ist doch richtig, das die Summe für die Obersumme nur bis x_(n-1) läuft oder ?
Dann habe ich doch für die Summation:
[mm] 0*\bruch{1}{\bruch{b-a}{n}+a}*\bruch{b-a}{n}+1*\bruch{1}{\bruch{b-a}{n}+a}*\bruch{b-a}{n}+...+(n-1)*\bruch{1}{\bruch{b-a}{n}+a}*\bruch{b-a}{n}
[/mm]
Wie fasse ich denn das schön zusammen, damit ein Ausdruck herauskommt, den ich auch irgendwie mit limes bearbeiten kann ?
Oder bin ich schon völlig auf dem Holzweg ?
Viele Grüße
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Farnsworth,
Du bist, meiner Meinung nach, auf einem nur teilweise hölzernen Weg. Denn du mußt für f(xn) 1/xn einsetzen, wodurch dein Ausdruck dann so aussieht:
[mm]\bruch{1} {0*\bruch{b-a} {n}+a}*\bruch{b-a} {n}+\bruch{1} {1*\bruch{b-a} {n}+a}*\bruch{b-a} {n}+...+\bruch{1} {(n-1)*\bruch{b-a} {n}+a}*\bruch{b-a} {n}[/mm]
Als Summenformel sieht das dann so aus:
[mm]S_n=\bruch{b-a} {n}* \summe_{i=1}^{n}\bruch{1} {(i-1)*\bruch{b-a} {n}+a}[/mm]
Das nun so auf die Reihe zu bringen, daß da ein expliziter Ausdruck rauskommt, mit dem Du einfach so einen Grenzwert bilden kannst, ist etwas kompliziert...
Ich weiß nicht, wie weit Du gerade in Mathe bist, je nachdem wirst Du vielleicht bereits wissen, daß ln|x|+c eine Stammfunktion für 1/x ist.
Das heißt, daß bei dem Ausdruck oben, wie bereits bemerkt, genau 1 rauskommen müßte für n gegen unendlich.
Ich kann das jetzt nur verbal erklären, aber vielleicht kann dir ja noch irgendjemand einen Tip geben, wie Du das Problem algebraisch in den Griff bekommst.
Also:
Von der Grundstruktur her sieht das Ding ja fast aus wie die harmonische Reihe 1+1/2+1/3+...+1/n. Diese nähert sich für große n immer mehr der Folge [mm]\ln {n} + \gamma[/mm] an. Gamma ist die sogenannte Euler-Mascharoni-Konstante und beträgt ca 0.577. Ich hoffe, daß ich auf diese Art und Weise zumindest plausibel machen konnte, warum da was mit ln rauskommen muß.
Algebraisch, muß ich gestehen, hab ich da erstmal keine Idee. Überhaut ist es aber so, daß die Annäherung des Integrals und Grenzwertbildung über Ober- Unter- und Riemannsummen in den seltensten Fällen (z.B. f(x)=x²)zu praktisch verwendbaren Ergebnissen führt.
Ich hoffe, daß ich trotzdem etwas helfen konnte,
Gruß,
Christian
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Hallo Christian,
erstmal vielen Dank für Deine schnelle Antwort und Danke für die Fehlerberichtigung.
Ja, mir ist klar dass die Stammfunktion zu 1/x ln x ist. 
Ziel dieser ganzen Aufgabe ist es eigentlich e zu bestimmen, nach dem Motto: die rechte Intervallgrenze b so anzunähern, dass e herauskommt, also:
A= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} = [mm] log_{e}b-log_{e}a.
[/mm]
Mit a=1 ist dann [mm] log_{e}a=0.
[/mm]
Also gilt: für A=1: [mm] log_{e}b=1 [/mm] was bedeutet, dass b=e ist. Puh!
Kann man die Intervalle vielleicht geschickter aufsummieren, wenn man a=1 setzt ?
Viele Grüße
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 So 10.10.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Farnsworth,
> Aber mir ist ein Fehler in meiner Überlegung aufgegangen:
> Der erste Summand [mm](f(x_0)*Intervallbreite)[/mm] ist ja 0 !!!
> Müsste der nicht gleich 1*Intervallbreite sein ? (f(1)=1)
> ???
Stimmt, das liegt daran, dass Deine Zählvariable in den Nenner muss. Schau' Dir mal die Formel an, die Christian angebenen hat, die ist korrekt und dort ist der erste Term auch [mm] $1*\delta_x$, [/mm] wie Du es erwartet hast.
Mach's gut
Oliver
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