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Hallo ich komme bei einer aufgabe nicht weiter.
Ich hab den graphen von der funktion y=4-x hoch 2 gezeichnet
und will jetzt h bestimmen!
H=b-a / n
kann ich das jetzt in teilintervalle aufteilen oder muss ich das mit unendlich bis n machen dh . nachher in der formel zum berechnen!
Achso die aufgaben stellung lautet:
Bestimme den Flächinhalt (über bildung der ober - untersumme ) den die
funktion zwischen y -achse und dem schnittpunkt mit der x -achse (für x>0) einschließt.
Wie muss ich weiter vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo ich komme bei einer aufgabe nicht weiter.
> Ich hab den graphen von der funktion y=4-x hoch 2
> gezeichnet
> und will jetzt h bestimmen!
>
> H=b-a / n
>
> kann ich das jetzt in teilintervalle aufteilen oder muss
> ich das mit unendlich bis n machen dh . nachher in der
> formel zum berechnen!
>
> Achso die aufgaben stellung lautet:
> Bestimme den Flächinhalt (über bildung der ober -
> untersumme ) den die
> funktion zwischen y -achse und dem schnittpunkt mit der x
> -achse (für x>0) einschließt.
>
> Wie muss ich weiter vorgehen?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo Thomas,
wenn ich es richtig sehe, dann ist deine Aufgabe die Fläche mit Hilfe der Ober/Untersumme zu bestimmen.
Dafür musst du unendlich viele Rechtecke zum Nähern nehmen, da es ansonsten nur eine Näherung ist.
Wir können das ja mal mit der Obersumme probieren.
Also nehmen wir unsere Kurve, die von 0 bis 2 untersucht wird.
Diese Strecke 0 2 teilen wir nun in n gleiche Strecken auf, die auch als Grundseite für n Rechtecke dient.
Die Grundseiten haben also eine länge von $ [mm] \bruch{2}{n} [/mm] $ , die Höhen der Rechtecke sind nun die Funktionswerte an
den Grundseitenenden.
Nun haben wir also n Rechtecke, deren Grundseiten der n-te Teil des Intervalls ist und deren Höhen den Funktionswerten am
Ende der Grundseiten entspricht. Die Summe der Flächeninhalte dieser n Rechtecke entspricht der eingeschlossenen Fläche.
Vielleicht findest du ja noch ein paar Informationen in der MatheBank.
Wenn du nicht weiterkommst, dann frag einfach noch mal, aber heute abend kann ich dir leider nicht mit mehr dienen. Es wäre
sehr hilfreich, wenn du uns verraten würdest, wie weit ihr mit der Flächenberechnung schon seit, denn dann kannst du es wie Bastiante
machen. Außerdem wäre es gut, wenn du die Variablen in deiner Gleichung näher beschreibst.
Gute Nacht
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Liebe Grüße
Fugre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Desperado |
Danke für deine antwort!
Wir haben im unterricht Ober und untersumme schon mehrmals berechnet.
zb.
b-a
h=------
n
Us = h*[(f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ]
das haben wir dann mit summenformel und grenzwertbildung bis zum flächeninhalt gerechnet..
U
meine frage zu der vorigen aufgabe wie komme ich jetzt auf die höhe und auf die Funktionswerte f(x1).... f(xn)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Thomas,
> Danke für deine antwort!
> Wir haben im unterricht Ober und untersumme schon mehrmals
> berechnet.
> zb.
>
> b-a
> h=------
> n
>
> Us = h*[(f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ]
> das haben wir dann mit summenformel und grenzwertbildung
> bis zum flächeninhalt gerechnet..
> U
>
Habt ihr denn auch schon mit der Integralrechnung begonnen oder macht ihr das Ganze nur mit Ober/Untersummen?
> meine frage zu der vorigen aufgabe wie komme ich jetzt auf
> die höhe und auf die Funktionswerte f(x1).... f(xn)?
>
Die Höhen entsprechen ja den Funktionswerten. Bei der Untersumme am Beginn des Teilintervalls und bei der Obersumme
am Ende der Teilintervalle.
Auf die x Werte, also auf [mm] $x_1,x_2,...,x_n$ [/mm] kommst du wenn du dir bei der Obersumme vorstellst, dass du beginnst mit
[mm] $x_1=\bruch{x}{n}$ [/mm] von da aus gehst du dann [mm] $\bruch{x}{n}$ [/mm] Einheiten nach rechts, kommst also zu [mm] $x_2=\bruch{2x}{n}$ [/mm] .
Dies machst du solange bis du zu [mm] $x_n=\bruch{nx}{n}$ [/mm] gekommen bist, das entspricht ja auch deinem Intervallende x,
denn [mm] $\bruch{nx}{n}=x$ [/mm] .
Ich hoffe, dass dir das hilft.
Liebe Grüße
Fugre
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Bei den Funktionswerten... ist das egal was für ein graph da vorhanden ist?
Ist das immer 2x durch n 3x durch n usw ....es geht ja sowieso gegen unendlich N oder?
könntest du mir nochmal den schritt nach der bildung der funktionswert bis zur Grenzwertbildung erklären,erläutern?das hab ich noch nicht verstanden.
Wie lautet die anfangsgleichung ( h und funktionswerte ) wenn ich die untersumme aurechnen will?
muss ich die noch ausrechen wenn ich obersumme habe um flächeninhalt auszurechen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Thomas,
> Bei den Funktionswerten... ist das egal was für ein graph
> da vorhanden ist?
> Ist das immer 2x durch n 3x durch n usw ....es geht ja
> sowieso gegen unendlich N oder?
Ja, es ist immer [mm] $\bruch{2x}{n} [/mm] ...$ . Denn du fängst ja bei der Obersumme bei [mm] $\bruch{x}{n}$
[/mm]
an und gehst dann in [mm] $\bruch{x}{n}$ [/mm] Schritten weiter. Also ist [mm] $x_3=\bruch{x}{n}+\bruch{x}{n}+\bruch{x}{n}=\bruch{3x}{n}$ [/mm] .
Das n irgendwann gegen [mm] $\infty$ [/mm] läuft würde ich am Anfang außer Acht lassen, da es nur verwirrt. Sie es einfach als Variable.
Das wird erst am Ende bei der Grenzwertbetrachtung mit dem Limes interessant.
>
> könntest du mir nochmal den schritt nach der bildung der
> funktionswert bis zur Grenzwertbildung
> erklären,erläutern?das hab ich noch nicht verstanden.
Gut, ich werde es versuchen.
Als erstes muss ich feststellen, dass ich die Klammer am Ende verschlampt habe, aber ich hoffe, dass es kein Problem verursacht.
Den Begriff in der Klammer können wir etwas umformen.
Also wir kennen die Funktionsvorschrift [mm] $f(x)=4-x^2$ [/mm] und unser "erstes" [mm] $x=\bruch{x}{n}$ [/mm] usw.
$ [mm] \tilde [/mm] s [mm] =\bruch{x}{n}*(4+4+...+4-\bruch{x^2}{n^2}-\bruch{2^2*x^2}{n^2}-...-\bruch{n^2*x^2}{n^2})$
[/mm]
Nun sehen wir ja, dass dort n mal 4en addiert werden, also $4*n$ .
Können also schreiben:
$ [mm] \tilde [/mm] s [mm] =\bruch{x}{n}*(4n-\bruch{x^2}{n^2})-\bruch{2^2*x^2}{n^2})-...-\bruch{n^2*x^2}{n^2})
[/mm]
Jetzt können wir die 4n noch aus der Klammer holen und wir kommen zu unserem Term.
[mm] $\tilde s=4n*\bruch{x}{n}+\bruch{x}{n}*(-\bruch{x^2}{n^2})-\bruch{2^2*x^2}{n^2})-...-\bruch{n^2*x^2}{n^2})$
[/mm]
Nun klammern wir noch die $(-1)$ vor und erhalten dadurch:
[mm] $\tilde s=4x-\bruch{x}{n}*(\bruch{x^2}{n^2})+\bruch{2^2*x^2}{n^2})+...+\bruch{n^2*x^2}{n^2})$
[/mm]
Den Ausdruck in der Klammer können wir auch anders schreiben, nämlich:
[mm] $\tilde s=4x-\bruch{x}{n}*(\bruch{x^2}{n^2})+2^2*\bruch{x^2}{n^2})+...+n^2*\bruch{x^2}{n^2})$
[/mm]
und jetzt könnte uns auffallen, dass wir auch noch [mm] $\bruch{x^2}{n^2}$ [/mm] vorklammern können, dann folgt:
[mm] $\tilde s=4x-\bruch{x}{n}*\bruch{x^2}{n^2}*(1+2^2+...+n^2)$
[/mm]
Nun bleibt in der Klammer also noch die Summe aller Quadrate bis zum Quadrat von n. Diese Summe lässt sich auch mit der
von mir angegebenen Formel darstellen, sodass wir den Ausdruck in der Klammer durch diese Formel ersetzen können.
Den nächsten Schritt überspringe ich mal kurz, da es ja nur etwas rechnen ist.
Gut jetzt folgt die Grenzwertbetrachtung:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(4x-\bruch{1}{3}x^3-\bruch{x^3}{2n}-\bruch{x^3}{6n^2}) [/mm] $
Wir gucken also was passiert wenn n gegen [mm] $\infty$ [/mm] läuft.
Die beiden letzten Teile laufen gegen 0 und fallen somit weg, also können wir schreiben:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(4x-\bruch{1}{3}x^3-\bruch{x^3}{2n}-\bruch{x^3}{6n^2})=4x-\bruch{1}{3}x^3$
[/mm]
>
> Wie lautet die anfangsgleichung ( h und funktionswerte )
> wenn ich die untersumme aurechnen will?
Wenn du die Untersumme errechnen willst, dann nimmst du die Funktionswerte am Anfang der Teilintervalle.
Wenn du dir nicht sicher bist, kannst du ja mal einen Vorschlag abgeben.
> muss ich die noch ausrechen wenn ich obersumme habe um
> flächeninhalt auszurechen?
>
Nein, das musst du nicht.
Die Grenzwerte der Ober- und Untersumme sind identisch.
Das wird logisch, wenn du überlegst, dass n gegen [mm] $\infty$ [/mm] läuft, denn dann werden die Teilintervalle unendlich klein und ihre Anfangs- und
Endpunkte haben einen unendlich kleinen Abstand.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
PS: Beginne bitte deine nächsten Artikel mit einer Begrüßung, dann hat der Leser das Gefühl willkommen zu sein 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Thomas,
wir können ja mal gerade die Obersumme allgemein für deine Funktion bilden.
Also das Intervall hat eine länge von x und ist in n Teile aufgeteilt, also ist $ [mm] \bruch{x}{n} [/mm] $ und
die Grundseite unserer Rechtecke. Die Höhe der Rechtecke ist gleich dem Funktionswert am Ender der Teilintervalle.
$ [mm] f(x)=4-x^2 [/mm] $
Wir können also schreiben:
$ [mm] \tilde [/mm] s = [mm] \bruch{x}{n} [/mm] * [mm] f(\bruch{x}{n})+\bruch{x}{n}*f(\bruch{2x}{n})+\bruch{x}{n}*f(\bruch{3x}{n})+...+\bruch{x}{n}*f(\bruch{nx}{n}) [/mm] $
Jetzt klammern wir [mm] $\bruch{x}{n}$ [/mm] vor.
$ [mm] \tilde [/mm] s [mm] =\bruch{x}{n}*(f(\bruch{x}{n})+f(\bruch{2x}{n}+f(\bruch{3x}{n}+...+f(\bruch{nx}{n}) [/mm] $
Jetzt ermitteln wir die Funktionswerte
$ [mm] \tilde [/mm] s = [mm] \bruch{x}{n}*(4-\bruch{x^2}{n^2}+4-\bruch{2^2*x^2}{n^2}+...+4-\bruch{n^2*x^2}{n^2} [/mm] $
Jetzt sehen wir 2 Dinge, zum einen stehen in der Klammer genau n 4ieren, die wir vor die Klammer holen können genau wie [mm] $\bruch{-x^2}{n^2}$
[/mm]
$ [mm] \tilde [/mm] s = [mm] \bruch{x*4n}{n}-\bruch{x*x^2}{n*n^2}*(1+4+9...+n^2) [/mm] $
Nach der Summenformel können wir die Quadratzahlen zusammenfassen zu [mm] $\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] $
Dann setzten wir es auch ein
$ [mm] \tilde [/mm] s = [mm] 4x-\bruch{x^3}{n^3}*\bruch{2n^3+3n^2+n}{6} [/mm] $
Weiter zusammengefasst erhalten wir:
$ [mm] \tilde [/mm] s [mm] =4x-\bruch{1}{3}x^3-\bruch{x^3}{2n}-\bruch{x^3}{6n^2} [/mm] $
So und nun lassen wir n gegen $ [mm] \infty [/mm] $ laufen und die letzten beiden Ausdrücke laufen gegen 0 und fallen somit weg.
Es bleibt uns $ [mm] \tilde [/mm] s [mm] =4x-\bruch{1}{3}x^3 [/mm] $
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Liebe Grüße
Fugre
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Desperado |
Bei mir kommt auch keine seite!
Danke für eure antwortn!
Wir haben im unterricht Ober und untersumme schon mehrmals berechnet.
zb.
b-a
h=------
n
Us = h*[(f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ]
das haben wir dann mit summenformel und grenzwertbildung bis zum flächeninhalt gerechnet..
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meine frage zu der vorigen aufgabe wie komme ich jetzt auf die höhe und auf die Funktionswerte f(x1).... f(xn)?
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Meintest du mit Tippfehler die zweite Intervallgrenze? Da habe ich die Funktion wohl falsch gelesen, ich dachte, es wäre [mm] (4-x)^2, [/mm] aber anscheinend ist es [mm] 4-x^2!? [/mm] Das kommt davon, wenn man den Formeleditor nicht benutzt! ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Obersumme![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
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stimmt, es muss heißen: 