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| Aufgabe | Eine Matrix A [mm] \in K^{n x n} [/mm] heißt obere Dreiecksmatrix, wenn alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonalen gleich null sind, d.h., wenn für alle i > j die Gleichung [mm] a_{ij} [/mm] = 0 erfüllt ist.
Für i < j und [mm] \alpha \in [/mm] K sei die obere Dreiecksmatrix
[mm] L_{ij}(\alpha) [/mm] := [mm] I_{n} [/mm] + [mm] \alphae_{i}e_{j}^{T} \in K^{n xn}
[/mm]
wobei wie üblich [mm] e_{i} \in K^{n} [/mm] der i-te Standardbasisvektor ist.
(1)
Zeigen Sie, dass [mm] \tilde L_{ij} [/mm] := { [mm] L_{ij} (\alpha) [/mm] | [mm] \alpha \in [/mm] K } eine Untergruppe von [mm] GL_{n}(K) [/mm] ist und dass [mm] \tilde L_{ij}
[/mm]
isomorph ist zu (K, +).
(2)
Zeigen Sie (am besten mittels vollständiger Induktion), dass sich jede obere Dreiecksmatrix der Form
L = [mm] \begin{bmatrix}
1 & \ & 0 \\
\ & \ddots & \ \\
& \ & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
als Produkt L = [mm] \produkt_{i |
Guten Morgen,
(1)
Wie kann ich genau zeigen, dass dieses [mm] \tilde [/mm] L eine Untergruppe der invertierbaren Matrizen (das bedeutet das doch, oder täusche ich mich bereits hier?) ist, sprich, wie kann ich mit der Definition einen Rückschluss darauf bekommen. Und muss ich unabhängig davon dann die Isomorphie beweisen? Was genau bedeutet das?
(2)
Wie wird die vollständige Induktion bei einer Matrix angewandt? Damit habe ich Schwierigkeiten.
Danke für alle Tipps und Hilfen.
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Hat nicht vielleicht jemand eine Hilfestellung zu einer der beiden Aufgaben? Ich komme einfach nicht darauf.
Danke schonal
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Das sollte eine Frage werden (sorry, hab was falsches geklickt und weiß nicht, wie ich das ändern kann)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 21.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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