Obere Grenze gesucht < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Karacho |
| Aufgabe | | Welche Zahl k erfüllt die Gleichung? |
Die Aufgabe lautet:
[mm] \integral_{-1}^{k}{(x+1) dx=2}
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht wie ich k ausrechnen kann? Und vorallen wüsste ich gerne wofü das dx=2 steht? soll man das i-wo einsetzten?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Welche Zahl k erfüllt die Gleichung?
> Die Aufgabe lautet:
> [mm]\integral_{-1}^{k}{(x+1) dx=2}[/mm]
> Und jetzt weiß ich nicht
> wie ich k ausrechnen kann? Und vorallen wüsste ich gerne
> wofü das dx=2 steht? soll man das i-wo einsetzten?
>
> Danke für eure Hilfe
Es ist
[mm]\integral_{-1}^{k}{(x+1) dx= F(k) - F(-1)}[/mm] ,
wobei F eine Stammfunktion von f(x) = x+1 ist.
Berechne also F und damit das Integral. Diese Integral soll = 2 sein. Damit erhälst Du eine quadratische Gleichung für k.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Karacho |
Die Stammfunktion von (x+1) lautet ja [mm] (\bruch{1}{2}x^{2}+x)
[/mm]
So und wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, berechne ich F so:
[mm] (\bruch{1}{2}x^{2}+x) [/mm] - [mm] [(\bruch{1}{2}*(-1)^{2}+(-1)) [/mm] ?
Und setze ich jetz in den 1.Therm für x = 2 ein?
Oder hab ich das falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Stammfunktion von (x+1) lautet ja
> [mm](\bruch{1}{2}x^{2}+x)[/mm]
>
> So und wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe,
> berechne ich F so:
> [mm](\bruch{1}{2}x^{2}+x)[/mm] - [mm][(\bruch{1}{2}*(-1)^{2}+(-1))[/mm] ?
>
> Und setze ich jetz in den 1.Therm für x = 2 ein?
Wie kommst Du auf 2 ? k mußt Du einsetzen.
FRED
> Oder hab ich das falsch verstanden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Karacho |
Ich hab das jetz ausgerechnet und dann kommt ja folgendes raus:
[mm] \bruch{1}{2} k^{2}+k+0,5
[/mm]
das hab ich dann *2 genommen um es in die p/q-Formel einzusetzen und das rausbekommen:
[mm] x_{1}= 1+\wurzel{0,5}
[/mm]
[mm] x2=1-\wurzel{0,5}
[/mm]
Und jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Moment, Moment.
Der Wert des Integrals ist [mm] \bruch{1}{2} k^{2}+k+0,5
[/mm]
und dieses Integral soll = 2 sein. Also mußt Du dei Gl
[mm] \bruch{1}{2} k^{2}+k+0,5 [/mm] = 2
lösen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Karacho |
aber dann krieg ich ja 2 Variablen, einmal [mm] k^{2} [/mm] und einmal k, also:
[mm] K^{2}+k=3,5
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> aber dann krieg ich ja 2 Variablen, einmal [mm]k^{2}[/mm] und einmal
> k, also:
> [mm]K^{2}+k=3,5[/mm]
was machst Du hier? [mm] $\frac{1}{2}k^2+k+\frac{1}{2}=2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $k^2+2k-3=0$.
[/mm]
Entweder erkennst Du nun [mm] $(k-1)*(k+3)=k^2+2k-3$ [/mm] und liest so die Werte für $k$ ab, oder Du machst das allgemein übliche Verfahren der p,q-Formel mit hier $p=2$ und $q=-3$:
[mm] $k_{1,2}=-\frac{p}{^2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}=-1\pm [/mm] 2$, also [mm] $k_1=...$ [/mm] und [mm] $k_2=...$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Karacho |
gut, dankeschön. Mir ist zwar gade noch nicht ganz wie du auf [mm] k^2+2k-3=0 [/mm] kommst, aber da werd ich auch noch gleich drauf kommen.
Und das Ergebniss sagt uns nun, das es 2 mögliche Lösungen für k gibt, oder?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> gut, dankeschön. Mir ist zwar gade noch nicht ganz wie du
> auf [mm]k^2+2k-3=0[/mm] kommst, aber da werd ich auch noch gleich
> drauf kommen.
>
> Und das Ergebniss sagt uns nun, das es 2 mögliche Lösungen
> für k gibt, oder?!
ja, aber eine kannst Du ausschließen ! Warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Karacho |
Ich würd denken den negativen?! Also -1, da die untere Grenze schon -1 ist, kann die obere Grenze nicht auch -1 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mo 15.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
man kann den negativen ausschließen, aber nicht aus dem Grund den du genannt hast. Es kommt nämlich nicht k=-1 raus sondern [mm] k_{1}=1 [/mm] und [mm] k_{2}=-3
[/mm]
Da aber die Grenze die am Integralzeichen unten steht die unterste Grenze ist ab der integriert wird, kann also nur [mm] k_{1}=1 [/mm] richtig sein. Sonst müsste man die Grenzen vertauschen, dann kommt jedoch was anderes heraus!
Übrigens: Das Integral [mm] \integral_{-1}^{-1}{f(x) dx}=0! [/mm] Nur zur Info, weil du gesagt hast das die obere Grenze nicht -1 sein kann weil es die untere schon ist!
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Karacho |
achso gut danke.. hab das vorzeichen vergessen.
aber jetzt ist mir eig alles klar.
Danke für eure Hilfe =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mo 15.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Herzlichen Glückwunsch!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> man kann den negativen ausschließen, aber nicht aus dem
> Grund den du genannt hast. Es kommt nämlich nicht k=-1 raus
> sondern [mm]k_{1}=1[/mm] und [mm]k_{2}=-3[/mm]
>
> Da aber die Grenze die am Integralzeichen unten steht die
> unterste Grenze ist ab der integriert wird, kann also nur
> [mm]k_{1}=1[/mm] richtig sein. Sonst müsste man die Grenzen
> vertauschen, dann kommt jedoch was anderes heraus!
meinst Du? Ich denke eher, dass hier in Wahrheit in der Tat zwei mögliche Werte für [mm] $\black{k}$ [/mm] rauskommen, und zwar die genannten: $k=-3$ und $k=1$.
Was Fred wohl meint, ist, dass es eher unnatürlich ist, wenn dort [mm] $\int_{-1}^{k}$ [/mm] steht, dass die obere Grenze [mm] $\black{<}$ [/mm] der unteren wäre. Aber es steht in der Aufgabe eigentlich keineswegs explizit mit drin, dass $k [mm] \ge [/mm] -1$ sein muss/soll! Das ist nirgendwo zwingend erforderlich und auch nicht gefordert, wenngleich ich Fred hier zustimme, weil in der Schule meist angenommen wird, dass diese Zusatzinterpretation zur Aufgabe gehört (gehören sollte).
Ich rechne es auch gerne nochmal vor, dass [mm] $\int_{-1}^{-3}(x+1)\;dx=2$ [/mm] gilt:
[mm] $\int_{-1}^{-3}(x+1)\;dx=\frac{1}{2}*(-3)^2+(-3)-\left(\frac{1}{2}*(-1)^2+(-1)\right)=\frac{8}{2}-3+1=2$
[/mm]
Ebenso kann man das auch "mit Vertauschen der Integrationsgrenzen" ausrechnen, da kommt selbstverständlich nichts anderes heraus:
[mm] $\int_{-1}^{-3}(x+1)\;dx=-\int_{-3}^{-1}(x+1)\;dx=\,-\,\left(\frac{1}{2}*(-1)^2+(-1)-\left(\frac{1}{2}*(-3)^2+(-3)\right)\right)=\,-\,\left(\frac{-8}{2}-1+3\right)=2$
[/mm]
Also das einzige, wirkliche Argument hier, den Wert $k=-3$ zu verwerfen, ist in Wahrheit, dass es unnatürlich ist, [mm] $\int_{-1}^{-3}$ [/mm] zu schreiben!
Und bitte beachten, dass ich die Regel:
[mm] $\int_a^b=\;\blue{-}\;\int_b^a$ [/mm] benützt habe.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Mo 15.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo nochmal,
natürlich meinte ich genau das! Es ist unnatürlich von -1 bis zu -3 zu integrieren. Wenn man die Grenzen rumdreht und -1 davorsetzt kommt natürlich das Gleiche raus, ich meinte aber wenn man eben das -1 weglässt aber trotzdem von -1 bis -3 integriert, dann kommt was anderes raus.
Natürlich es nicht verboten auch andersherum zu integrieren!
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> natürlich meinte ich genau das! Es ist unnatürlich von -1
> bis zu -3 zu integrieren. Wenn man die Grenzen rumdreht und
> -1 davorsetzt kommt natürlich das Gleiche raus, ich meinte
> aber wenn man eben das -1 weglässt aber trotzdem von -1 bis
> -3 integriert, dann kommt was anderes raus.
ich dachte mir schon, dass Du das so meintest, allerdings halte ich mich lieber an das, was da steht  (Ist nicht böse gemeint.  )
Und die zugehörige Integrationsregel lautet halt (grob gesagt) [mm] $\int_a^b=\,-\,\int_b^a$ [/mm] (ich schreibe das jetzt immer nur "grob", sonst müßte man genauer anfangen: Seien $f$ .. und $a,b,c$ mit ...); der Beweis dazu ergibt sich ja gerade z.B. aus dem von Dir schon erwähnten [mm] $\int_a^a=0$ [/mm] mithilfe der Regel [mm] $\int_a^b+\int_b^c=\int_a^c$. [/mm]
> Natürlich es nicht verboten auch andersherum zu
> integrieren!
Naja, ich weiß nicht, wie es bei anderen ankommt, aber bei mir kam es so an, als wolltest Du suggerieren, dass man bei Integralen einfach die Grenzen tauschen darf, ohne, dass sich der Wert des Integrals ändert. Und ich wollte einfach darauf aufmerksam machen, dass man durchaus die Grenzen tauschen darf, wenn man danach das Integral (mit den vertauschten Grenzen) mit $-1$ multipliziert.
Denn die Regel lautet nicht
[mm] $\int_a^b=\int_b^a$, [/mm] sondern
[mm] $\int_a^b=\;\blue{-}\;\int_b^a.$
[/mm]
Einigen wir uns also darauf, dass man nach Aufgabenstellung bei dem Term [mm] $\int_{-1}^{k}$ [/mm] es in gewisser Weise als natürlich ansehen kann, dass man $k [mm] \ge [/mm] -1$ verlangen sollte. Aber wie gesagt: Das ist eine Zusatzinterpretation, die in der Schule zwar gerne gemacht wird, aber eigentlich nichts ist, was man aus der Aufgabenstellung zwingend erkennen muss/kann. Es sei denn, Integrale wurden nur so eingeführt, dass die obere Integrationsgrenze automatisch [mm] $\ge$ [/mm] der unteren sein muss. Dann wäre das per Definitionem zwingend, auch, wenn es nicht in der Aufgabe explizit stünde. Aber ich persönlich fände es, ehrlich gesagt, milde gesagt, "unnötig", dies bei der Definition von Integralen explizit zu verlangen (um nicht zu sagen "lächerlich"...).
Nun gut, wie gesagt, einigen wir uns einfach darauf, dass die Lösungen $k=-3$ und $k=1$ beide die Aufgabe erfüllen, man sich aber wahrscheinlich auf $k=1$ einigt, weil dass die natürliche Lösung ist
P.S.:
Und bitte nicht falsch verstehen. Mir geht es hier nicht darum, zu diskutieren (auch, wenn es vielleicht so aussieht), sondern eher darum, dass die Dinge so benannt werden, wie sie erscheinen. Auch, wenn die Aufgabenstellung darauf hindeutet, dass nur "ein" $k$ gefunden werden soll, wer sagt uns, dass Karachos Lehrer die Aufgabe nicht dennoch genau so wie ich interpretiert und morgen sagt, dass es zwei Lösungen für $k$ gibt und die Aufgabe einfach nur schlecht formuliert sei?!
In einer Klausur würde ich bei einer solchen Aufgabe wirklich als Antwort schreiben:
"Sowohl [mm] $\black{k=-3}$ [/mm] als auch $k=1$ lösen die Aufgabe. Es erscheint mir nur wegen [mm] $\int_{-1}^k$ [/mm] natürlich, dass $k [mm] \ge [/mm] -1$ sein sollte, so dass wir als Lösung der Aufgabe [mm] $\black{k}=1$ [/mm] angeben. "
Damit kann man sich nämlich etwas aus der Affäre ziehen, wenn man nicht weiß, was der Lehrer hier wieder hören will, da man quasi für beide Arten, ja nachdem, wie der Lehrer die Aufgabe ansieht, die zugehörige Lösung dazugeschrieben hat.
Aber ich denke, es ist hier nun wirklich alles klar, und lassen wir uns mal überraschen: Vielleicht meldet sich Karacho nochmal mit der Lösung aus dem Schulunterricht und dann wissen wir auch, ob der Lehrer gewisse natürliche Zusatzüberlegungen erwartet oder doch lieber "alles" hören will
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ergänzend:
> gut, dankeschön. Mir ist zwar gade noch nicht ganz wie du
> auf [mm]k^2+2k-3=0[/mm] kommst, aber da werd ich auch noch gleich
> drauf kommen.
die Ausgangsgleichung war [mm] $\frac{1}{2}k^2+k+\frac{1}{2}=2$. [/mm] Multiplizierst Du diese auf beiden Seiten mit $2$, so geht sie über in
[mm] $k^2+2k+1=4$. [/mm] Nun rechne auf beiden Seiten $-4$ und fertig.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mo 15.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche Zahl k erfüllt die Gleichung?
> Die Aufgabe lautet:
> [mm]\integral_{-1}^{k}{(x+1) dx=2}[/mm]
> Und jetzt weiß ich nicht
> wie ich k ausrechnen kann? Und vorallen wüsste ich gerne
> wofü das dx=2 steht? soll man das i-wo einsetzten?
>
> Danke für eure Hilfe
das $dx$ zeigt an, dass $x$ die Integrationsvariable ist. Wenn Du z.B. [mm] $\int [/mm] px$ da stehen hättest, wäre unklar, ob damit [mm] $\int px\;dp=x*\frac{1}{2}p^2$ [/mm] (hier würde man nach $p$ integrieren) oder [mm] $\int px\;dx=p*\frac{1}{2}x^2$ [/mm] (hier wird nach $x$ integriert) gemeint ist. Schau' bitte nochmal nach, wie Integrale definiert sind und was die Schreibweisen bedeuten!
(Ihr habt doch sicher die Notation [mm] $\int f(x)\;dx$ [/mm] benutzt. Setzt Du dort $f(x)=x+1$ ein, so sollte Dir klar werden, was [mm] $\int \underbrace{(x+1)}_{=f(x)}\;dx$ [/mm] bedeutet.)
Dort oben steht nicht, dass $dx=2$ ist, sondern dort steht folgendes:
Setzt Du [mm] $I(k):=\int_{-1}^{k}\,(x+1)\;dx$, [/mm] so sind diejenigen $k$ gesucht, so dass $I(k)=2$ gilt.
Und mit Hilfe des Hauptsatzes der Integralrechnung gilt:
[mm] $I(k)=\int_{-1}^{k}\,(x+1)\;dx=\frac{1}{2}k^2+k-\left(\frac{1}{2}(-1)^2+(-1)\right)$, [/mm] also gilt für jedes $k [mm] \in \IR$ [/mm] hier
[mm] $I(k)=\frac{1}{2}k^2+k+\frac{1}{2}$.
[/mm]
Die Forderung $I(k)=2$ liefert Dir dann [mm] $\frac{1}{2}k^2+k+\frac{1}{2}=2$, [/mm] und für diese Gleichung sollst Du das (oder die) passende(n) $k$ ausrechnen.
P.S.: Bitte durchlesen:
![[]](/images/popup.gif) Integralrechnung
Gruß,
Marcel
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