Obere Grenze von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | | (1 - [mm] \bruch{2}{k})^{\bruch{2}{k}} \ge [/mm] (1 - [mm] \bruch{2}{k})*\bruch{1}{e} [/mm] |
Ich kann es plotten und sehe, dass es stimmt, aber wie kann man das sauber mathematisch belegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mo 20.07.2009 | | Autor: | abakus |
> (1 - [mm]\bruch{2}{k})^{\bruch{2}{k}} \ge[/mm] (1 -
> [mm]\bruch{2}{k})*\bruch{1}{e}[/mm]
> Ich kann es plotten und sehe, dass es stimmt, aber wie
> kann man das sauber mathematisch belegen?
Hallo,
du kannst den Faktor [mm] 1-\bruch{2}{k} [/mm] (der für k>2 positiv ist) ausklammern und hast noch zu zeigen, dass (1 - [mm] \bruch{2}{k})^{\bruch{2}{k}-1}\ge\bruch{1}{e} [/mm] ist.
Denke daran, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=e [/mm] gilt und demzufolge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\bruch{1}{e} [/mm] ist. Wichtig ist noch der Nachweis des Monotonieverhaltens der Folge [mm] (1-\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > (1 - [mm]\bruch{2}{k})^{\bruch{2}{k}} \ge[/mm] (1 -
> > [mm]\bruch{2}{k})*\bruch{1}{e}[/mm]
> > Ich kann es plotten und sehe, dass es stimmt, aber wie
> > kann man das sauber mathematisch belegen?
> Hallo,
> du kannst den Faktor [mm]1-\bruch{2}{k}[/mm] (der für k>2 positiv
> ist) ausklammern und hast noch zu zeigen, dass (1 -
> [mm]\bruch{2}{k})^{\bruch{2}{k}-1}\ge\bruch{1}{e}[/mm] ist.
> Denke daran, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=e[/mm] gilt und
> demzufolge
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\bruch{1}{e}[/mm]
> ist. Wichtig ist noch der Nachweis des Monotonieverhaltens
> der Folge [mm](1-\bruch{1}{n})^n.[/mm]
dazu wollte ich noch (für Speyer!) ergänzend erwähnen, dass die Folge [mm] $\left(\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\right)_n$ [/mm] streng monoton wachsend ist (![[]](/images/popup.gif) Beispiel 5.13). (Den Beweis dazu findet man generell wohl in (fast?) jeder Analysis-Vorlesung.)
Wichtiger ist hier noch, dass man zeigen kann, dass die Folge [mm] $\left(\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}\right)_n$ [/mm] streng monoton fallend gegen [mm] $e\,$ [/mm] ist.
(Anders gesagt: Auch die Folge [mm] $\left(\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^{n}\right)_{n \in \IN_{\ge 2}}$ [/mm] ist streng monoton fallend gegen [mm] $e\,$.)
[/mm]
Und damit man Zusammenhänge zwischen dieser Folge und [mm] $\left(\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\right)_n$ [/mm] erkennt:
Man beachte, dass (für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$)
[mm] $$1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}=\frac{1}{\frac{n-1+1}{n-1}}=\frac{1}{1+\frac{1}{n-1}}$$
[/mm]
und demzufolge gilt (für alle $n [mm] \ge [/mm] 2$)
[mm] $$\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n=\frac{1}{\Big(1+\frac{1}{n-1}\Big)^n}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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