Oberfläche eines Torus < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen.
Folgende Aufgabe:
Berechnen Sie die Oberfläche eines Torus.
(Hinweis: Ein Torus entsteht durch Rotation eines Kreises mit dem Radius r um
eine Achse, die den Abstand R zum Mittelpunkt des Kreises hat.)
Daraufhin habe ich erstmal die Kreisgleichung: (y-R)² + x² = r² aufgestellt.
Außerdem kenne ich das allgemeine Integral für die Mantelfläche: 2*Pi*(Integral von a bis b)f(x)*(1+(f `(x) ) ² )^ 0.5 dx (nächstes mal mit formeleditor, sorry)
Ich hatte folgende Probleme:
1.Integriere ich über den gesamten Bereich also von -R-r bis R+r oder nur von -r bis r ?
2.Stelle ich die Kreisgleichung um, so kann ich ja immer nur über einen Halbkreis integrieren, wie gelange ich zum Vollkreis?
3.Integriere ich über den Halbkreis und lasse das mit den Vorzeichen (siehe 2.) erstmal außen vor, so bekomme ich ein kaum zu lösendes Integral. Gibt es vielleicht sogar eine Möglichkeit nicht über die Kreisgleichung zu gehen?
Vielen Dank für jede Art von Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 So 23.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo totaler hirntot
da müsste noch geklärt werden, auf welche Art, d.h. in welchem Zusammenhang mit der gerade behandelten Theorie die Aufgabe zu sehen ist.
Wenn man da einfach aus dem Vollen schöpfen könnte, dann würde ich einfach den Satz anwenden, wonach (bei diener Anordnung) die durch eine Linie überstrichene Fläche den Inhalt "Ueberstrichene Länge des Linienschwerpunktes mal Linienlänge" ist.
(Entsprechendes gilt übrigens auch für das Volumen von Rotationskörpern)
In deinem Falle also: der Schwerpunkt der Kreislinie liegt im Zentrum des Kreises. Dieser Schwerpunkt legt beim Rotieren eine Strecke [mm] $2\pi*R$ [/mm] zurück. Die Länge der Linie selber ist [mm] $2\pi*r$, [/mm] womit sich die Oberfläche ganz leicht berechnen lässt.
Liebe Grüsse
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danke für die schnelle antwort!
ich glaube was du meinst geht auf die guldinsche regel zurück, aus der soll dann für die [mm]oberflaeche=4*pi^2*r*R[/mm] rauskommen, wobei man einfach [mm]2*pi*r*2*pi*R=Umfang*umfang[/mm] rechnet. leider muß ich aber die aufgabe lösen, indem ich einen kreis rotieren lasse. möglicherweise brauche ich die parameterform des torus oder kreises, nur wie dann weiter???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 23.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo totaler hirntot
Nun gut, du musst also eine Parameterdarstellung für die Torusfläche finden!
Wenn du mal den Kreis in der r-z-Ebene (du weisst schon, was ich meine ) betrachtest, dann erhältst du folgende Parameterdarstellung:
[mm]\tau \to (r,z) := (R+r\cos\tau,r\sin\tau)\,\,(0\le\tau \le 2\pi)[/mm]
Wird dieser Kreis um die z-Achse rotiert, so besitzt der Torus die folgende Parameterdarstellung:
[mm]f:\, (\varphi,\tau) \to (x, y, z) :=((R+r\cos\tau)*\cos\varphi, (R+r\cos\tau)*\sin\varphi,r\sin\tau)[/mm]
Der Parameterbereich ist hier:
[mm]Q:=\{(\varphi,\tau)\mid0\le\varphi\le2\pi,\, 0\le\tau\le2\pi\}[/mm]
Für den Betrag eines Fächenelementes erhält man dann: (kannst du das auch selber berechnen?; falls nicht: bitte nochmals melden!):
[mm]r*(R+r\cos\tau)[/mm]
Diese Flächenelemente musst du jetzt nür noch über den ganzen Bereich zusammenzählen, sprich: integrieren.
Also:
[mm]A=\int_{0}^{2\pi}\,\int_{0}^{2\pi}\,r*(R+r\cos\tau)\,d\tau\,d\varphi[/mm]
Und das wärs dann wohl schon gewesen! Einfach, nicht wahr?
Liebe Grüsse
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Vilen Dank Paulus für Deine Antwort(en)! Das hilft mir sicher weiter, werde mich da sofort ransetzen! Ich denke aber das ich es hinkriege 
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übrigens gibt es um die Oberfläche einer Funktion gegeben in Parameterdarstellung zu berechnen auch diese allgemein geltende Formel: M=2Pi(integral von phi1 bis phi2) y(phi)*sqrt( (y'(phi))² + (x'(phi))²) dphi..damit wars dann ganz einfach
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