Oberflächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Do 08.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen : Gegeben ist der Bereich D definiert durch [mm] D:{x,y,z}:x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 4
Ich soll nun das Oberflächenintegral über den Rand F des Bereichs D unter Verwendung eines Integralsatzes bestimmen.
[mm] \integral_{}^{}{}\integral_{F}^{}{\vektor{sin(y) \\ 7x^2\\ 3z}dO}
[/mm]
Ich hätte nun die Kugel parametrisiert [mm] s=\vektor{2cos\phi sin\beta \\ 2sin\phi sin\beta\\2cos\beta}
[/mm]
Hätte diesen Ausdruck nach [mm] \phi [/mm] und [mm] \beta [/mm] differenziert und dann das Kreuzprodukt bestimmt.
Dann hätte ich meine Kugelparametrisierung in das Vektorfeld eingesetzt
[mm] \vektor{sin(2sin\phi sin\beta) \\ 28cos^2\phi sin^2\beta \\ 6cos\beta}
[/mm]
Zum Schluss [mm] \vektor{sin(2sin\phi sin\beta) \\ 28cos^2\phi sin^2\beta \\ 6cos\beta} *\vektor{-4sin^2\beta cos\phi \\ -4sin\phi sin\beta\\ -4sin\beta cos\beta}
[/mm]
Der letztes Audruck ist mein Kreuzprodukt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Do 08.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Keiner einer Idee oder Hilfestellung bzw ob ich überhaupt am richtigen Weg bin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Fr 09.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst einen Integralsatz benutzen. Welchen kennst du denn der Mit Oberflächenintegralen zusammenhängt?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:06 Fr 09.05.2014 | | Autor: | racy90 |
Ich habe es nun mit der Divergenz gelöst nur bin ich mir nicht sicher ob das Ergebnis stimmt:
Div vom Vektorfeld = 3
Funktionaldeterminate der Kugel = [mm] r^2*sin\beta
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{3r^2sin\beta d\phi d\beta dr} [/mm] = [mm] 32\pi [/mm] aber die Oberfläche einer Kugel mit Radius 2 ist doch [mm] 16\pi
[/mm]
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Hallo!
Du integrierst hier die Divergenz über das Volumen einer Kugel.
Die Divergenz gibst du mit konstant 3 an, daher hat das Integral den Wert [mm] $3*V=3*\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi*8=32\pi$
[/mm]
Das zeigt erstens, daß du bei einem konstanten Integranden die Integration gar nicht ausführen mußt und zweitens, daß du dich dabei dennoch nicht verrechnet hast.
Also, alles super. Was meinst du denn nun damit, daß die Oberfläche [mm] 16\pi [/mm] sei? Das mag richtig sein, aber da gibt es jetzt keinen weiteren Zusammenhang. Du berechnest ja nicht die Oberfläche, sondern den Fluss durch die Oberfläche.
Dieser Integralsatz ist in der Elektrodynamik eine der Maxwellschen Gleichungen. Konkret: [mm] $\oint_A\vec{E}\,d\vec{A}=\int_V \nabla\vec{E}\,dV=\frac{Q}{\varepsilon_0}$
[/mm]
Die Divergenz eines elektrischen Feldes ist zunächst einmal gleich der Ladungsdichte im Raum. Integriert man die also über ein Volumen, erhält man die Gesamtladung. Das Oberflächenintegral links ist der elektrische Fluß.
Wie groß der ist, hängt alleine von der umschlossenen Ladung ab, aber nicht von der Größe/Flächeninhalt/Gestalt der Oberfläche.
Vielleicht auch da nochmal ein beispiel: Eine Punktladung Q erzeugt ein radialsymmetrisches Feld. Legt man eine Kugel darum, steht dieses Feld überall senkrecht auf der Kugel, ist auf der ganzen Oberfläche konstant. Das macht das Integral sehr einfach, denn man integriert links ein konstantes Feld über eine Kugeloberfläche
[mm] $E*4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}$
[/mm]
Dabei ist es völlig egal, wie groß man hier die Kugel wählt, denn nur im Zentrum der Kugel existiert eine Ladung, sonst nirgens. Sprich, die rechte Seite ist unabhängig von der Kugelgröße immer konstant. jetzt noch eine Division, und du bekommst eine sehr bekannte Formel :
[mm] $E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
[/mm]
(Hmmm, bin wohl etwas abgeschweift...)
((Bei dir ist der rechte Teil des Integrals nicht unabhängig von der größe des Volumens))
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