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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Do 12.03.2009 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Es sei
[mm] \vektor{xy^2 + 2xz - x \\ y \\ zx^2 - z^2}
[/mm]
sowie
B= {(x, y, z) [mm] \in \IR^3 [/mm] ; [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 ; -1 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1} [mm] \cup
[/mm]
{(x, y, z) [mm] \in \IR^3 [/mm] ; [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 ; z = -1} [mm] \cup
[/mm]
{(x, y, z) [mm] \in \IR^3 [/mm] ; [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 ; z = 1}
Berechnen Sie
[mm] \integral \integral_{B} [/mm] {v * dO} |
Hallo,
ich sitze gerade vor obigem Oberflächenintegral und weiß nicht genau, wie ich an die Sache rangehen soll.
Ich habe inzwischen rausbekommen, dass
dO = [mm] (x_u \times x_v) [/mm] du dv
wenn x eine geeignete Parametrisierung ist.
Wenn ich richtig sehe, ist die Menge ein Zylinder. Kann ich einfach mit Zylinderkoordinaten parametrisieren?
Aber wie bringe ich denn die Variablen u und v ins Spiel? Das verstehe ich momentan noch nicht.
Und soll ich die einzelnen Teilmengen separat integrieren?
Weiterhin hab ich eine Formel entdeckt, die besagt:
v * dO = [v, [mm] x_u, x_v] [/mm] = [mm] \vmat{ v_1 & x_u & x_v \\ v_2 & y_u & y_v \\ v_3 & z_u & z_v }
[/mm]
Aber auch hier weiß ich nicht, wie ich v und u in die Parametrisierung mit reinbringen soll.
Welches Vorgehen ist empfehlenswert? Das Vorgehen oben übers Kreuzprodukt oder übers Spatprodukt?
Es wäre nett, wenn mir jemand vielleicht kurz die Vorgehensweise beschreiben könnte. Weil ich hab zwar Formeln, aber verstehe hierbei den mathematischen Hintergrund noch nicht wirklich.
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> Es sei
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[mm] >\vektor{xy^2 + 2xz - x \\ y \\ zx^2 - z^2}
[/mm]
>
> sowie
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> B=\ {(x, y, z) [mm] \in \IR^3 [/mm] ; [mm] x^2 +y^2= [/mm] 1 ; [mm] -1\le [/mm] z [mm] \le1\}\cup [/mm] \ {(x, y, z) [mm] \in \IR^3 [/mm] ; [mm] x^2+y^2 \le1 [/mm] ; z = [mm] -1\} \cup
[/mm]
\ {(x, y, [mm] z)\in \IR^3 [/mm] ; [mm] x^2+ y^2 \le [/mm] 1 ; z = 1}
>
>
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral \integral_{B}[/mm] {v * dO}
> Hallo,
>
> ich sitze gerade vor obigem Oberflächenintegral und weiß
> nicht genau, wie ich an die Sache rangehen soll.
> Ich habe inzwischen rausbekommen, dass
>
> dO = [mm](x_u \times x_v)[/mm] du dv
>
> wenn x eine geeignete Parametrisierung ist.
> Wenn ich richtig sehe, ist die Menge ein Zylinder. Kann
> ich einfach mit Zylinderkoordinaten parametrisieren?
Hallo,
ja, das ist die Oberfläche eines Zylinders, zu integrieren ist über seine Oberfläche.
Die Oberfläche Teile hierzu in naheliegender Weise in drei Teile, die "Dose" und die beiden Deckel.
Für die Dose sind Zylinderkoordinaten angebracht, parametrisiere sie so: [mm] r(\varphi, z)=\vektor{1*\cos\varphi\\1*\sin\varphi\\z}, [/mm] die Intervalle, denne [mm] \phi [/mm] und z entstammen müssen, überlege Dir selbst.
> Aber wie bringe ich denn die Variablen u und v ins Spiel?
> Das verstehe ich momentan noch nicht.
Die sind bei der Dose r und [mm] \phi.
[/mm]
Dein dO ist [mm] dO=r_{\phi} [/mm] x [mm] r_{z} d\varphi [/mm] dz
> Und soll ich die einzelnen Teilmengen separat integrieren?
Ja.
Bei Deckel und Boden nimm Polarkoordinaten, ich denke, die Parametrisierung bekommst Du hin. z ist ja das eine Mal konstant 1 und das andere konstant -1.
Paß auf, daß Dein Normalenvektor nach außen zeigt!
> Weiterhin hab ich eine Formel entdeckt, die besagt:
>
> v * dO = [v, [mm]x_u, x_v][/mm] = [mm]\vmat{ v_1 & x_u & x_v \\ v_2 & y_u & y_v \\ v_3 & z_u & z_v }[/mm]
>
> Aber auch hier weiß ich nicht, wie ich v und u in die
> Parametrisierung mit reinbringen soll.
> Welches Vorgehen ist empfehlenswert? Das Vorgehen oben
> übers Kreuzprodukt oder übers Spatprodukt?
Ich mach's immer wie oben.
Alternativ könntest Du auch folgendes tun:
den Satz von Gauß verwenden und statt des Integrals von oben das Volumenintegral der Divergenz der Funktion berechnen, was mir bequemer erscheint. Ich hab# aber nichts gerechnet.
Gruß v. Angela
> Es wäre nett, wenn mir jemand vielleicht kurz die
> Vorgehensweise beschreiben könnte. Weil ich hab zwar
> Formeln, aber verstehe hierbei den mathematischen
> Hintergrund noch nicht wirklich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 12.03.2009 | | Autor: | MattiJo |
Okay, dankeschön für deine Hilfe.
Ich hab es jetzt mal versucht, mit dem Satz von Gauß zu rechnen, da ich dies aber zum ersten mal mache, wollte ich dich fragen, ob der Lösungsweg richtig ist:
div v = [mm] y^2 [/mm] + [mm] x^2
[/mm]
[mm] \integral \integral_{B} [/mm] {v dO} = [mm] \integral \integral \integral_{V} [/mm] {div V} dV
= [mm] \integral \integral \integral_{V} {(y^2 + x^2)} [/mm] dV [mm] r^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1}{r^2 r dr d\phi dz}
[/mm]
= [mm] 2\pi \integral_{-1}^{1} \integral_{0}^{1}{r^3 dr d\phi dz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \pi r^4 |_{0}^{1} [/mm] z [mm] |_{-1}^{1}
[/mm]
= [mm] \pi
[/mm]
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