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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mi 02.01.2013 | | Autor: | db60 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flacheninhalt A des zum Dreieck der u; v Ebene mit den Seiten
u-v =2; u+v =4; v = 0 gehörenden Teiles D der Fläche [mm] \phi(u,v) [/mm] =
(u*cos(v), u*sin(v), [mm] \integral_{1}^{u}{ \wurzel{t^{2}-1} dt}) [/mm] |
Ich habe Probleme mir das vorzustellen. Wie kann aus einem Dreieck in der Ebene u und v eine Parametrisierung entstehen, die 3-Dimensional ist? Und Warum habe ich plötzlich ein Integral da drin?
lg
db60
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Was stört dich am Integral? Damit wird lediglich eine Funktion definiert. Denn die obere Grenze des Integrals ist von [mm]u[/mm] abhängig.
Der Parameterbereich ist das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck [mm]\Delta[/mm] mit den Ecken [mm]A=(2,0), \, B=(4,0), \, C=(3,1)[/mm] in der [mm]uv[/mm]-Koordinatenebene. Während du dich mit dem Punkt [mm](u,v)[/mm] durch [mm]\Delta[/mm] bewegst, bewegt sich der Punkt [mm](x,y,z)[/mm] mit
[mm](x,y,z) = \varphi(u,v) = \left( u \cdot \cos v \, , \, u \cdot \sin v \, , \, \int_1^u \sqrt{t^2-1} ~ \mathrm{d}t \right)[/mm]
durch den Raum. Die Raumpunkte, die dabei erreicht werden, bilden eine gekrümmte Fläche im Raum, deren Inhalt [mm]F[/mm] du berechnen sollst. Du kannst dir diese Fläche als ein deformiertes Dreieck vorstellen. Die Berechnung von [mm]F[/mm] erfolgt mit der Formel
[mm]F = \int \limits_{\Delta} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right| ~ \mathrm{d}(u,v)[/mm]
Als Wert habe ich [mm]F = \frac{55}{6}[/mm] erhalten. Die partiellen Ableitungen in der Formel werden koordinatenweise gebildet, sind also wieder Vektoren, die von [mm]u,v[/mm] abhängen. Das Kreuz steht für das Vektorprodukt im [mm]\mathbb{R}^3[/mm], die senkrechten Striche für die euklidische Länge eines Vektors.
Im einfachsten Fall kennst du solche Parameterdarstellungen schon aus der Schule, dort als Parameterdarstellung einer Ebene. Wenn man für Vektoren die Zeilenschreibweise benutzt, sieht das zum Beispiel so aus:
[mm](x,y,z) = (4,-3,1) + u \cdot (1,0,-2) + v \cdot (-3,1,1)[/mm]
[mm](4,-3,1)[/mm] ist der Stützvektor und [mm](1,0,-2)[/mm] und [mm](-3,1,1)[/mm] sind die Richtungsvektoren der Ebene mit den Parametern [mm]u,v[/mm]. Wenn man die Koordinaten zusammenfaßt, bekommt man
[mm](x,y,z) = \left( 4+u-3v \, , \, -3+v \, , \, 1-2u+v \right)[/mm]
Und hierin erkennst du dasselbe Muster wie bei deinem [mm]\varphi(u,v)[/mm] oben: drei Koordinaten, die von [mm]u,v[/mm] abhängen. Nur sind hier die Koordinaten einfache lineare Ausdrücke in [mm]u,v[/mm], weswegen du etwas "Gerades" erhältst, nämlich eine Ebene, während du in deiner Aufgabe durch die komplizierteren Ausdrücke etwas Gekrümmtes bekommst. Würdest du in der Ebenengleichung [mm](u,v)[/mm] nicht den ganzen [mm]\mathbb{R}^2[/mm] durchlaufen lassen, sondern nur ein Dreieck, erhieltest du auch nur ein Dreieck im Raum, allerdings ein "gerades", statt der gesamten Ebene.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Do 03.01.2013 | | Autor: | db60 |
> Was stört dich am Integral? Damit wird lediglich eine
> Funktion definiert. Denn die obere Grenze des Integrals ist
> von [mm]u[/mm] abhängig.
Warum wird nicht direkt die Lösung des Integrals angegeben?
> Der Parameterbereich ist das gleichschenklig-rechtwinklige
> Dreieck [mm]\Delta[/mm] mit den Ecken [mm]A=(2,0), \, B=(4,0), \, C=(3,1)[/mm]
> in der [mm]uv[/mm]-Koordinatenebene. Während du dich mit dem Punkt
> [mm](u,v)[/mm] durch [mm]\Delta[/mm] bewegst, bewegt sich der Punkt [mm](x,y,z)[/mm]
> mit
>
> [mm](x,y,z) = \varphi(u,v) = \left( u \cdot \cos v \, , \, u \cdot \sin v \, , \, \int_1^u \sqrt{t^2-1} ~ \mathrm{d}t \right)[/mm]
>
> durch den Raum. Die Raumpunkte, die dabei erreicht werden,
> bilden eine gekrümmte Fläche im Raum, deren Inhalt [mm]F[/mm] du
> berechnen sollst. Du kannst dir diese Fläche als ein
> deformiertes Dreieck vorstellen. Die Berechnung von [mm]F[/mm]
> erfolgt mit der Formel
>
> [mm]F = \int \limits_{\Delta} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial u} \times \frac{\partial \varphi}{\partial v} \right| ~ \mathrm{d}(u,v)[/mm]
>
> Als Wert habe ich [mm]F = \frac{55}{6}[/mm] erhalten. Die partiellen
> Ableitungen in der Formel werden koordinatenweise gebildet,
> sind also wieder Vektoren, die von [mm]u,v[/mm] abhängen. Das Kreuz
> steht für das Vektorprodukt im [mm]\mathbb{R}^3[/mm], die
> senkrechten Striche für die euklidische Länge eines
> Vektors.
>
> Im einfachsten Fall kennst du solche Parameterdarstellungen
> schon aus der Schule, dort als Parameterdarstellung einer
> Ebene. Wenn man für Vektoren die Zeilenschreibweise
> benutzt, sieht das zum Beispiel so aus:
>
> [mm](x,y,z) = (4,-3,1) + u \cdot (1,0,-2) + v \cdot (-3,1,1)[/mm]
>
> [mm](4,-3,1)[/mm] ist der Stützvektor und [mm](1,0,-2)[/mm] und [mm](-3,1,1)[/mm]
> sind die Richtungsvektoren der Ebene mit den Parametern
> [mm]u,v[/mm]. Wenn man die Koordinaten zusammenfaßt, bekommt man
>
> [mm](x,y,z) = \left( 4+u-3v \, , \, -3+v \, , \, 1-2u+v \right)[/mm]
>
> Und hierin erkennst du dasselbe Muster wie bei deinem
> [mm]\varphi(u,v)[/mm] oben: drei Koordinaten, die von [mm]u,v[/mm] abhängen.
> Nur sind hier die Koordinaten einfache lineare Ausdrücke
> in [mm]u,v[/mm], weswegen du etwas "Gerades" erhältst, nämlich
> eine Ebene, während du in deiner Aufgabe durch die
> komplizierteren Ausdrücke etwas Gekrümmtes bekommst.
Aber das gekrümmte heißt dann trotzdem lineare Abbildung oder ?
> Würdest du in der Ebenengleichung [mm](u,v)[/mm] nicht den ganzen
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm] durchlaufen lassen, sondern nur ein Dreieck,
> erhieltest du auch nur ein Dreieck im Raum, allerdings ein
> "gerades", statt der gesamten Ebene.
Vielen Dank,
sehr gute Erklärung :)
Heißt das im Endeffekt, wenn ich ein Rechteck im Parameterbereich definiere, erhalte ich dann ein gekrümmtes Rechteck im Raum?
Aber heißt das auch, dass die Flächen gleich sind?
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Warum wird nicht direkt die Lösung des Integrals angegeben?
Warum sollte man? Akzeptiere einfach die Integration mit variabler oberer Grenze als eigenständige Operation, neue Funktionen (Stammfunktionen) zu erzeugen. Zudem muß man hinterher wieder differenzieren (siehe [mm] \frac{\partial \varphi}{\partial u}). [/mm] Also wieso zuerst eine Grube unter großer Mühe ausheben, wenn man sie hinter sowieso wieder zuschütten muß?
Aber das gekrümmte heißt dann trotzdem lineare Abbildung oder ?
Nein, sofern du die Parameterdarstellung meinst. Die ist nicht linear.
Heißt das im Endeffekt, wenn ich ein Rechteck im Parameterbereich definiere, erhalte ich dann ein gekrümmtes Rechteck im Raum?
Unter gewissen Vorsichtsmaßnahmen (dazu gehört zum Beispiel die Stetigkeit/Differenzierbarkeit und Bijektivität der Parameterdarstellung): ja.
Aber heißt das auch, dass die Flächen gleich sind?
Ganz und gar nicht. Durch die Deformation ändert sich im allgemeinen auch der Flächeninhalt.
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