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| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die Fläche des Rotationsellipsoids
M := [mm] \{(x,y,z)\in\IR^{3} | (\bruch{x}{a})^{2} + (\bruch{y}{a})^{2} + (\bruch{z}{b})^{2} = 1 \} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Parametrisierung der Einheitssphäre S im [mm] \IR^{3}:
[/mm]
h : [mm] (0,\pi) [/mm] x [mm] (0,2\pi) \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] h(\gamma,\delta) [/mm] = [mm] \vektor{cos(\delta)sin(\gamma) \\ sin(\delta)sin(\gamma) \\ cos(\delta)}
[/mm]
Was ist der äußere Normaleneinheitsvektor n auf einem Punkt [mm] a\inS?
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \integral_{S}{<(1,1,1) , n> do} [/mm] |
zu Aufgabe 1:
Ich habe diese Aufgabe schon ein paar Mal im Forum gefunden, aber bin immer noch nicht weitergekommen.
Bekanntlich lässt sich dieses Rotationsellipsoid ja durch
[mm] h:[0,\pi] [/mm] x [mm] [0,2\pi] \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] h(\gamma,\delta) [/mm] = [mm] \vektor{asin(\gamma)cos(\delta) \\ asin(\gamma)sin(\delta) \\ bcos(\gamma)} [/mm] parametrisieren.
Für die Fläche gilt: A= [mm] \integral_{M}{\wurzel{g(u)} d(\gamma,\delta)} [/mm] wobei g(u) die Gramsche Determinante ist.
Stimmt das überhaupt?
Soweit habe ich das schonmal ausgerechnet, also [mm] \wurzel{g(u)}=asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}}
[/mm]
Damit ist dann [mm] A=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\gamma}
[/mm]
An dieser Stelle komme ich aber nicht mehr weiter.. Vielleicht hat ja jemand eine Idee :)
zu Aufgabe 2:
Sei [mm] a=(a_{1},a_{2})\inS. [/mm] Der Normaleneinheitsvektor ist : [mm] \bruch{\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)}{||\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)||} [/mm] (Das x soll das Kreuzprodukt sein)
Ich erhalte dafür nach einer etwas längeren Rechnung [mm] n(a)=\vektor{sin(a_{1})cos(a_{2}) \\ sin(a_{1})sin(a_{2}) \\ cos(a_{1})}
[/mm]
Damit ist dann [mm] \integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}= \integral_{S}{sin(a_{1})cos(a_{2})+sin(a_{1})sin(a_{2})+cos(a_{1}) do} [/mm]
Wir haben definiert:
[mm] \integral_{V}{f(x)do(x)}=\integral_{U}{f(h(u))\wurzel{g(u)}do(x)}
[/mm]
Wie berechne ich jetzt f(h(u))? Das Problem ist ja, dass h aus drei Komponenten besteht, ich bei f aber nur zwei Variablen zur Verfügung habe, also [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2}.
[/mm]
Vielen Dank schonmal für Hilfe :)
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Hallo WinterMensch,
> Berechnen Sie die Fläche des Rotationsellipsoids
> M := [mm]\{(x,y,z)\in\IR^{3} | (\bruch{x}{a})^{2} + (\bruch{y}{a})^{2} + (\bruch{z}{b})^{2} = 1 \}[/mm]
>
> zu Aufgabe
> 1:
>
> Ich habe diese Aufgabe schon ein paar Mal im Forum
> gefunden, aber bin immer noch nicht weitergekommen.
> Bekanntlich lässt sich dieses Rotationsellipsoid ja durch
> [mm]h:[0,\pi][/mm] x [mm][0,2\pi] \to \IR^{3}[/mm] mit [mm]h(\gamma,\delta)[/mm] =
> [mm]\vektor{asin(\gamma)cos(\delta) \\ asin(\gamma)sin(\delta) \\ bcos(\gamma)}[/mm]
> parametrisieren.
> Für die Fläche gilt: A= [mm]\integral_{M}{\wurzel{g(u)} d(\gamma,\delta)}[/mm]
> wobei g(u) die Gramsche Determinante ist.
> Stimmt das überhaupt?
Ja, das stimmt.
> Soweit habe ich das schonmal ausgerechnet, also
> [mm]\wurzel{g(u)}=asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}}[/mm]
> Damit ist dann
> [mm]A=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma}[/mm]
> = [mm]2\pi[/mm] a
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\gamma}[/mm]
>
Da hab ich etwas anderes.
> An dieser Stelle komme ich aber nicht mehr weiter..
> Vielleicht hat ja jemand eine Idee :)
> Vielen Dank schonmal für Hilfe :)
Gruss
MathePower
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> > Soweit habe ich das schonmal ausgerechnet, also
> >
> [mm]\wurzel{g(u)}=asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}}[/mm]
> > Damit ist dann
> >
> [mm]A=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma}[/mm]
> > = [mm]2\pi[/mm] a
> >
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\gamma}[/mm]
>
> >
>
>
> Da hab ich etwas anderes.
>
>
Ok, was denn?
Ich habe gerade nochmal nachgerechnet:
Der Maßtensor ist:
[mm] \pmat{ a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} & 0 \\ 0 & a^{2}(sin(\gamma)^{2} }
[/mm]
Und damit die Gramsche Determinante:
[mm] g(u)=det(\pmat{ a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} & 0 \\ 0 & a^{2}(sin(\gamma)^{2} })=a^{2}(sin(\gamma)^{2}(a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2})
[/mm]
und dann also:
[mm] \wurzel{g(u)}=\wurzel{a^{2}(sin(\gamma)^{2}(a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2})}=asin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2}}
[/mm]
Das ist doch richtig oder? :)
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Hallo WinterMensch,
> > > Soweit habe ich das schonmal ausgerechnet, also
> > >
> >
> [mm]\wurzel{g(u)}=asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}}[/mm]
> > > Damit ist dann
> > >
> >
> [mm]A=\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma}[/mm]
> > > = [mm]2\pi[/mm] a
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(\gamma)\wurzel{a^{2}cos(\gamma)^{2}+b^{2}sin(\gamma)^{2}} d\gamma}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Da hab ich etwas anderes.
> >
> >
> Ok, was denn?
> Ich habe gerade nochmal nachgerechnet:
> Der Maßtensor ist:
> [mm]\pmat{ a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} & 0 \\ 0 & a^{2}(sin(\gamma)^{2} }[/mm]
>
> Und damit die Gramsche Determinante:
> [mm]g(u)=det(\pmat{ a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} & 0 \\ 0 & a^{2}(sin(\gamma)^{2} })=a^{2}(sin(\gamma)^{2}(a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2})[/mm]
>
> und dann also:
>
> [mm]\wurzel{g(u)}=\wurzel{a^{2}(sin(\gamma)^{2}(a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2})}=asin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2}}[/mm]
> Das ist doch richtig oder? :)
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt ist es sinnvoll, [mm]\sin\left(\gamma\right)^{2}[/mm] zu ersetzen,
damit das leicht zu integrieren ist.
Das weitere Integrieren ist gegebenfalls
mit einer weiteren Substitution durchzuführen.
Gruss
MathePower
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> Ja, das ist richtig.
>
> Jetzt ist es sinnvoll, [mm]\sin\left(\gamma\right)^{2}[/mm] zu
> ersetzen,
> damit das leicht zu integrieren ist.
>
> Das weitere Integrieren ist gegebenfalls
> mit einer weiteren Substitution durchzuführen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ok, ich muss also dieses Integral lösen:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma}
[/mm]
Das innere Integral hängt ja gar nicht von [mm] \delta [/mm] ab, also
[mm] =\integral_{0}^{\pi}{2\pi a sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}=2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}
[/mm]
Und jetzt [mm] (sin(\gamma))^{2} [/mm] substituieren, aber durch was?
Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar :)
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Hallo WinterMensch,
> > Ja, das ist richtig.
> >
> > Jetzt ist es sinnvoll, [mm]\sin\left(\gamma\right)^{2}[/mm] zu
> > ersetzen,
> > damit das leicht zu integrieren ist.
> >
> > Das weitere Integrieren ist gegebenfalls
> > mit einer weiteren Substitution durchzuführen.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ok, ich muss also dieses Integral lösen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma}[/mm]
>
> Das innere Integral hängt ja gar nicht von [mm]\delta[/mm] ab,
> also
> [mm]=\integral_{0}^{\pi}{2\pi a sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}=2\pi[/mm]
> a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}[/mm]
>
> Und jetzt [mm](sin(\gamma))^{2}[/mm] substituieren, aber durch was?
> Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar :)
Der Tipp lautet "trigonometrischer Pythagoras".
Gruss
MathePower
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> > Ok, ich muss also dieses Integral lösen:
> >
> >
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma}[/mm]
>
> >
> > Das innere Integral hängt ja gar nicht von [mm]\delta[/mm] ab,
> > also
> > [mm]=\integral_{0}^{\pi}{2\pi a sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}=2\pi[/mm]
> > a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}[/mm]
>
> >
> > Und jetzt [mm](sin(\gamma))^{2}[/mm] substituieren, aber durch was?
> > Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar :)
>
>
> Der Tipp lautet "trigonometrischer Pythagoras".
>
>
> Gruss
> MathePower
Das dachte ich mir schon, also [mm] (sin(\gamma))^{2}=1-(cos(\gamma))^{2}
[/mm]
und [mm] sin(\gamma)=\wurzel{1-(cos(\gamma))^{2}}
[/mm]
Damit:
[mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(1-(cos(\gamma)^{2})(a^{2}(cos(\gamma))^{2}+b^{2}-b^{2}(cos(\gamma))^{2})} d\gamma}
[/mm]
Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auch nicht unbedingt auf etwas einfacheres...Musste ich [mm] sin(\gamma) [/mm] überhaupt ersetzen?
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Hallo WInterMensch,
> > > Ok, ich muss also dieses Integral lösen:
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\integral_{0}^{2\pi}{asin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2}} d\delta} d\gamma}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das innere Integral hängt ja gar nicht von [mm]\delta[/mm] ab,
> > > also
> > > [mm]=\integral_{0}^{\pi}{2\pi a sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}=2\pi[/mm]
> > > a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und jetzt [mm](sin(\gamma))^{2}[/mm] substituieren, aber durch was?
> > > Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar :)
> >
> >
> > Der Tipp lautet "trigonometrischer Pythagoras".
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Das dachte ich mir schon, also
> [mm](sin(\gamma))^{2}=1-(cos(\gamma))^{2}[/mm]
> und [mm]sin(\gamma)=\wurzel{1-(cos(\gamma))^{2}}[/mm]
> Damit:
> [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}[/mm]
> = [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(1-(cos(\gamma)^{2})(a^{2}(cos(\gamma))^{2}+b^{2}-b^{2}(cos(\gamma))^{2})} d\gamma}[/mm]
>
> Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auch nicht
> unbedingt auf etwas einfacheres...Musste ich [mm]sin(\gamma)[/mm]
> überhaupt ersetzen?
>
Wenn Du das Integral lösen willst, dann ja.
Es sei denn, Du findest noch einen
anderen Weg um dieses Integral zu lösen.
Im nächsten Schritt hängt die massgebliche
Substitution von den Werten a und b ab.
Gruss
MathePower
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> > Das dachte ich mir schon, also
> > [mm](sin(\gamma))^{2}=1-(cos(\gamma))^{2}[/mm]
> > und [mm]sin(\gamma)=\wurzel{1-(cos(\gamma))^{2}}[/mm]
> > Damit:
> > [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}[/mm]
> > = [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(1-(cos(\gamma)^{2})(a^{2}(cos(\gamma))^{2}+b^{2}-b^{2}(cos(\gamma))^{2})} d\gamma}[/mm]
>
> >
> > Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auch nicht
> > unbedingt auf etwas einfacheres...Musste ich [mm]sin(\gamma)[/mm]
> > überhaupt ersetzen?
> >
>
>
> Wenn Du das Integral lösen willst, dann ja.
> Es sei denn, Du findest noch einen
> anderen Weg um dieses Integral zu lösen.
>
> Im nächsten Schritt hängt die massgebliche
> Substitution von den Werten a und b ab.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ich habe jetzt noch ein bisschen umgeformt:
[mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(1-(cos(\gamma)^{2})(a^{2} (cos(\gamma))^{2}+b^{2}-b^{2}(cos(\gamma))^{2})} d\gamma} [/mm] =
[mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(sin(\gamma))^{2}(cos(\gamma))^{2}(a^{2}-b^{2})+b^{2}} d\gamma} [/mm]
Bringt mich das hier weiter? Ich sehe nicht was ich mit a und b machen muss damit das alles einfacher wird...
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Hallo WinterMensch,
> > > Das dachte ich mir schon, also
> > > [mm](sin(\gamma))^{2}=1-(cos(\gamma))^{2}[/mm]
> > > und [mm]sin(\gamma)=\wurzel{1-(cos(\gamma))^{2}}[/mm]
> > > Damit:
> > > [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ sin(\gamma)\wurzel{a^{2}(cos(\gamma)^{2}+b^{2}(sin(\gamma)^{2} } d\gamma}[/mm]
> > > = [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(1-(cos(\gamma)^{2})(a^{2}(cos(\gamma))^{2}+b^{2}-b^{2}(cos(\gamma))^{2})} d\gamma}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wenn ich das ausmultipliziere komme ich auch nicht
> > > unbedingt auf etwas einfacheres...Musste ich [mm]sin(\gamma)[/mm]
> > > überhaupt ersetzen?
> > >
> >
> >
> > Wenn Du das Integral lösen willst, dann ja.
> > Es sei denn, Du findest noch einen
> > anderen Weg um dieses Integral zu lösen.
> >
> > Im nächsten Schritt hängt die massgebliche
> > Substitution von den Werten a und b ab.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ich habe jetzt noch ein bisschen umgeformt:
> [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(1-(cos(\gamma)^{2})(a^{2} (cos(\gamma))^{2}+b^{2}-b^{2}(cos(\gamma))^{2})} d\gamma}[/mm]
> =
> [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{ \wurzel{(sin(\gamma))^{2}(cos(\gamma))^{2}(a^{2}-b^{2})+b^{2}} d\gamma}[/mm]
> Bringt mich das hier weiter? Ich sehe nicht was ich mit a
> und b machen muss damit das alles einfacher wird...
Zunächst ist zu substituieren: [mm]z=\cos\left(\gamma\right)[/mm]
Dann hast Du ein Integral der Bauart
[mm]\integral_{}^{}}\wurzel{\left(a^{2}-b^{2}\right)*z^{2}+b^{2}} \ dz[/mm]
Für die Auswertung dieses Integrals ist eine
Fallunterscheidung hinsichtlich a und b notwendig.
Gruss
MathePower
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> Zunächst ist zu substituieren: [mm]z=\cos\left(\gamma\right)[/mm]
>
> Dann hast Du ein Integral der Bauart
>
> [mm]\integral_{}^{}}\wurzel{\left(a^{2}-b^{2}\right)*z^{2}+b^{2}} \ dz[/mm]
>
> Für die Auswertung dieses Integrals ist eine
> Fallunterscheidung hinsichtlich a und b notwendig.
>
> Gruss
> MathePower
Ok ich habe dann [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{sin(\gamma)^{2}z^{2}(a^{2}-b{2})+b^{2}}d\gamma}
[/mm]
Für den Fall a=b erhalte ich [mm] \pi^{3} [/mm] a
Wahrscheinlich muss ich noch a<b und a>b betrachten aber ich bin mir nicht sicher wie..
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Hallo WinterMensch,
> > Zunächst ist zu substituieren: [mm]z=\cos\left(\gamma\right)[/mm]
> >
> > Dann hast Du ein Integral der Bauart
> >
> >
> [mm]\integral_{}^{}}\wurzel{\left(a^{2}-b^{2}\right)*z^{2}+b^{2}} \ dz[/mm]
>
> >
> > Für die Auswertung dieses Integrals ist eine
> > Fallunterscheidung hinsichtlich a und b notwendig.
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ok ich habe dann [mm]2\pi[/mm] a
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{sin(\gamma)^{2}z^{2}(a^{2}-b{2})+b^{2}}d\gamma}[/mm]
> Für den Fall a=b erhalte ich [mm]\pi^{3}[/mm] a
Das muss Du nochmal nachrechnen.
> Wahrscheinlich muss ich noch a<b und a>b betrachten aber
> ich bin mir nicht sicher wie..
Ja, diese Fälle sind noch zu betrachten.
Ich hab Dir dies in meinem letzten Post zu dieser Aufgabe angedeutet.
Gruss
MathePower
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> Hallo WinterMensch,
>
> > > Zunächst ist zu substituieren: [mm]z=\cos\left(\gamma\right)[/mm]
> > >
> > > Dann hast Du ein Integral der Bauart
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{}^{}}\wurzel{\left(a^{2}-b^{2}\right)*z^{2}+b^{2}} \ dz[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für die Auswertung dieses Integrals ist eine
> > > Fallunterscheidung hinsichtlich a und b notwendig.
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Ok ich habe dann [mm]2\pi[/mm] a
> >
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{sin(\gamma)^{2}z^{2}(a^{2}-b{2})+b^{2}}d\gamma}[/mm]
Ok, aber das Integral ist richtig?
> > Für den Fall a=b erhalte ich [mm]\pi^{3}[/mm] a
>
>
> Das muss Du nochmal nachrechnen.
Stimmt, [mm] \pi^{2}a^{3} [/mm] , richtig?
>
>
> > Wahrscheinlich muss ich noch a<b und a>b betrachten aber
> > ich bin mir nicht sicher wie..
>
>
> Ja, diese Fälle sind noch zu betrachten.
>
> Ich hab Dir dies in meinem letzten Post zu dieser Aufgabe
> angedeutet.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ja, wahrscheinlich muss ich nochmal nachdenken, aber ich dachte muss ein bestimmtes integral ausrechnen..
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Hallo WinterMensch,
> > Hallo WinterMensch,
> >
> > > > Zunächst ist zu substituieren: [mm]z=\cos\left(\gamma\right)[/mm]
> > > >
> > > > Dann hast Du ein Integral der Bauart
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{}^{}}\wurzel{\left(a^{2}-b^{2}\right)*z^{2}+b^{2}} \ dz[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Für die Auswertung dieses Integrals ist eine
> > > > Fallunterscheidung hinsichtlich a und b
> notwendig.
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Ok ich habe dann [mm]2\pi[/mm] a
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{sin(\gamma)^{2}z^{2}(a^{2}-b{2})+b^{2}}d\gamma}[/mm]
>
> Ok, aber das Integral ist richtig?
>
Das hat mit dem Ausgangsintegral nicht viel gemein.
> > > Für den Fall a=b erhalte ich [mm]\pi^{3}[/mm] a
> >
> >
> > Das muss Du nochmal nachrechnen.
>
> Stimmt, [mm]\pi^{2}a^{3}[/mm] , richtig?
Nein, die Oberfläche ist eine Fläche.
demnach muss da ein [mm]a^{2}[/mm] stehen.
> >
> >
> > > Wahrscheinlich muss ich noch a<b und a>b betrachten aber
> > > ich bin mir nicht sicher wie..
> >
> >
> > Ja, diese Fälle sind noch zu betrachten.
> >
> > Ich hab Dir dies in meinem letzten Post zu dieser Aufgabe
> > angedeutet.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Ja, wahrscheinlich muss ich nochmal nachdenken, aber ich
> dachte muss ein bestimmtes integral ausrechnen..
Gruss
MathePower
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> > > > > Zunächst ist zu substituieren: [mm]z=\cos\left(\gamma\right)[/mm]
> > > > >
> > > > > Dann hast Du ein Integral der Bauart
> > > > >
> [mm]\integral_{}^{}}\wurzel{\left(a^{2}-b^{2}\right)*z^{2}+b^{2}} \ dz[/mm]
>
> > > > >
> > > > > Für die Auswertung dieses Integrals ist eine
> > > > > Fallunterscheidung hinsichtlich a und b
> > notwendig.
> > > > >
> > > > Ok ich habe dann [mm]2\pi[/mm] a
> > > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{sin(\gamma)^{2}z^{2}(a^{2}-b{2})+b^{2}}d\gamma}[/mm]
> >
> > Ok, aber das Integral ist richtig?
> >
>
>
> Das hat mit dem Ausgangsintegral nicht viel gemein.
>
Gut, ich habe nochmal nachgerechnet und schreibe es jetzt ein bisschen ausführlicher, vielleicht habe ich ja da irgendwo einen Fehler gemacht.
Wir waren schon so weit, dass "nur" noch dieses Integral zu lösen ist:
[mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-cos^{2}\gamma)(a^{2}cos^{2}\gamma + b^{2}(1-cos^{2}\gamma))} d\gamma}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-cos^{2}\gamma)(a^{2}cos^{2}\gamma + b^{2}-b^{2}cos^{2}\gamma)} d\gamma}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-cos^{2}\gamma)(cos^{2}\gamma)(a^{2} - b^{2})+b^{2}} d\gamma}
[/mm]
Jetzt soll ich [mm] z=cos\gamma [/mm] substituieren und erhalte:
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-z^{2})(z^{2})(a^{2} - b^{2})+b^{2}} d\gamma}
[/mm]
Stimmt das so schonmal?
Für den Fall a=b bleibt dann nur noch
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{b^{2}} d\gamma}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{b d\gamma}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \pi [/mm] b
= [mm] 2\pi^{2} a^{2}
[/mm]
Ist das richtig?
> > > > Wahrscheinlich muss ich noch a<b und a>b betrachten aber
> > > > ich bin mir nicht sicher wie..
> > >
> > >
> > > Ja, diese Fälle sind noch zu betrachten.
> > >
> > > Ich hab Dir dies in meinem letzten Post zu dieser Aufgabe
> > > angedeutet.
> > >
Und jetzt weiß ich wirklich nicht, wie ich die beiden anderen Fälle noch bearbeiten soll?
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Hallo,
> > > > > > Zunächst ist zu substituieren: [mm]z=\cos\left(\gamma\right)[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Dann hast Du ein Integral der Bauart
> > > > > >
> >
> [mm]\integral_{}^{}}\wurzel{\left(a^{2}-b^{2}\right)*z^{2}+b^{2}} \ dz[/mm]
>
> >
> > > > > >
> > > > > > Für die Auswertung dieses Integrals ist eine
> > > > > > Fallunterscheidung hinsichtlich a und b
> > > notwendig.
> > > > > >
>
> > > > > Ok ich habe dann [mm]2\pi[/mm] a
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{sin(\gamma)^{2}z^{2}(a^{2}-b{2})+b^{2}}d\gamma}[/mm]
> > >
> > > Ok, aber das Integral ist richtig?
> > >
> >
> >
> > Das hat mit dem Ausgangsintegral nicht viel gemein.
> >
>
> Gut, ich habe nochmal nachgerechnet und schreibe es jetzt
> ein bisschen ausführlicher, vielleicht habe ich ja da
> irgendwo einen Fehler gemacht.
> Wir waren schon so weit, dass "nur" noch dieses Integral
> zu lösen ist:
> [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-cos^{2}\gamma)(a^{2}cos^{2}\gamma + b^{2}(1-cos^{2}\gamma))} d\gamma}[/mm]
>
> = [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-cos^{2}\gamma)(a^{2}cos^{2}\gamma + b^{2}-b^{2}cos^{2}\gamma)} d\gamma}[/mm]
>
> = [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-cos^{2}\gamma)(cos^{2}\gamma)(a^{2} - b^{2})+b^{2}} d\gamma}[/mm]
>
> Jetzt soll ich [mm]z=cos\gamma[/mm] substituieren und erhalte:
> = [mm]2\pi[/mm] a [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-z^{2})(z^{2})(a^{2} - b^{2})+b^{2}} d\gamma}[/mm]
???
Was ist mit den Grenzen und vor allem mit dem Differential?
Mit [mm]z=z(\gamma)=\cos(\gamma)[/mm] ist doch [mm]z'(\gamma)=\frac{dz}{d\gamma}=-\sin(\gamma)[/mm], also [mm]d\gamma=-\frac{dz}{\sin(\gamma)}=-\frac{dz}{\sqrt{1-\cos^2(\gamma)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}[/mm]
> Stimmt das so schonmal?
>
Gruß
schachuzipus
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> > Jetzt soll ich [mm]z=cos\gamma[/mm] substituieren und erhalte:
> > = [mm]2\pi[/mm] a
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-z^{2})(z^{2})(a^{2} - b^{2})+b^{2}} d\gamma}[/mm]
>
> ???
>
> Was ist mit den Grenzen und vor allem mit dem
> Differential?
>
> Mit [mm]z=z(\gamma)=\cos(\gamma)[/mm] ist doch
> [mm]z'(\gamma)=\frac{dz}{d\gamma}=-\sin(\gamma)[/mm], also
> [mm]d\gamma=-\frac{dz}{\sin(\gamma)}=-\frac{dz}{\sqrt{1-\cos^2(\gamma)}}=-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}[/mm]
>
Stimmt, tut mir leid, also mit [mm] d\gamma=-\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}
[/mm]
und der neuen oberen Grenze -1 und der neuen unteren Grenze 1 erhält man:
[mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{0}^{\pi}{\wurzel{(1-cos^{2}\gamma)(cos^{2}\gamma)(a^{2}-b^{2})+b^{2}} d\gamma}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{1}^{-1}{\wurzel{(1-z^{2})z^{2}(a^{2}-b^{2})+b^{2}} (-\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}})}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{(1-z^{2})z^{2}(a^{2}-b^{2})+b^{2}} (\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}})}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{\bruch{(1-z^{2})z^{2}(a^{2}-b^{2})+b^{2}}{1-z^2}}dz}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] a [mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{z^2(a^2-b^2)+\bruch{b^2}{1-z^2}}dz}
[/mm]
Soweit bin ich jetzt, aber leider bringt mir das auch noch nicht so viel, das ist nicht wirklich einfacher zu integrieren und vorallem verstehe ich noch nicht wieso ich eine fallunterscheidung machen soll, bzw. wie?
> > Stimmt das so schonmal?
> >
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Do 02.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Dir ist übrigens ein Minuszeichen unter die Lappen gegangen beim Kürzen!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 07.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo WinterMensch,
> Parametrisierung der Einheitssphäre S im [mm]\IR^{3}:[/mm]
> h : [mm](0,\pi)[/mm] x [mm](0,2\pi) \to \IR^{3}[/mm] mit [mm]h(\gamma,\delta)[/mm] =
> [mm]\vektor{cos(\delta)sin(\gamma) \\ sin(\delta)sin(\gamma) \\ cos(\delta)}[/mm]
>
Die Parameterisierung der Einheissphäre lautet doch:
[mm]h(\gamma,\delta) = \vektor{cos(\delta)sin(\gamma) \\ sin(\delta)sin(\gamma) \\ cos(\blue{\gamma})}[/mm]
> Was ist der äußere Normaleneinheitsvektor n auf einem
> Punkt [mm]a\inS?[/mm]
> Berechnen Sie [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}[/mm]
> zu Aufgabe 2:
>
> Sei [mm]a=(a_{1},a_{2})\inS.[/mm] Der Normaleneinheitsvektor ist :
> [mm]\bruch{\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)}{||\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)||}[/mm]
> (Das x soll das Kreuzprodukt sein)
> Ich erhalte dafür nach einer etwas längeren Rechnung
> [mm]n(a)=\vektor{sin(a_{1})cos(a_{2}) \\ sin(a_{1})sin(a_{2}) \\ cos(a_{1})}[/mm]
>
Dann wird das in der Aufgabe wohl ein Schreibfehler gewesen sein.
> Damit ist dann [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}= \integral_{S}{sin(a_{1})cos(a_{2})+sin(a_{1})sin(a_{2})+cos(a_{1}) do}[/mm]
> Wir haben definiert:
>
> [mm]\integral_{V}{f(x)do(x)}=\integral_{U}{f(h(u))\wurzel{g(u)}do(x)}[/mm]
> Wie berechne ich jetzt f(h(u))? Das Problem ist ja, dass h
> aus drei Komponenten besteht, ich bei f aber nur zwei
> Variablen zur Verfügung habe, also [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}.[/mm]
> Vielen Dank schonmal für Hilfe :)
Gruss
MathePower
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> Hallo WinterMensch,
>
> > Parametrisierung der Einheitssphäre S im [mm]\IR^{3}:[/mm]
> > h : [mm](0,\pi)[/mm] x [mm](0,2\pi) \to \IR^{3}[/mm] mit [mm]h(\gamma,\delta)[/mm]
> =
> > [mm]\vektor{cos(\delta)sin(\gamma) \\ sin(\delta)sin(\gamma) \\ cos(\delta)}[/mm]
>
> >
>
>
> Die Parameterisierung der Einheissphäre lautet doch:
>
> [mm]h(\gamma,\delta) = \vektor{cos(\delta)sin(\gamma) \\ sin(\delta)sin(\gamma) \\ cos(\blue{\gamma})}[/mm]
Ja stimmt, ich habe es hier falsch abgetippt, aber mit der richtigen Parametrisierung gerechnet.
>
>
> > Was ist der äußere Normaleneinheitsvektor n auf einem
> > Punkt [mm]a\inS?[/mm]
> > Berechnen Sie [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}[/mm]
>
> > zu Aufgabe 2:
> >
> > Sei [mm]a=(a_{1},a_{2})\inS.[/mm] Der Normaleneinheitsvektor ist :
> > [mm]\bruch{\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)}{||\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)||}[/mm]
> > (Das x soll das Kreuzprodukt sein)
> > Ich erhalte dafür nach einer etwas längeren Rechnung
> > [mm]n(a)=\vektor{sin(a_{1})cos(a_{2}) \\ sin(a_{1})sin(a_{2}) \\ cos(a_{1})}[/mm]
>
> >
>
>
> Dann wird das in der Aufgabe wohl ein Schreibfehler gewesen
> sein.
Ist der Normaleneinheitsvektor denn richtig?
>
>
> > Damit ist dann [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}= \integral_{S}{sin(a_{1})cos(a_{2})+sin(a_{1})sin(a_{2})+cos(a_{1}) do}[/mm]
> > Wir haben definiert:
> >
> >
> [mm]\integral_{V}{f(x)do(x)}=\integral_{U}{f(h(u))\wurzel{g(u)}do(x)}[/mm]
> > Wie berechne ich jetzt f(h(u))? Das Problem ist ja,
> dass h
> > aus drei Komponenten besteht, ich bei f aber nur zwei
> > Variablen zur Verfügung habe, also [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}.[/mm]
> > Vielen Dank schonmal für Hilfe :)
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo WinterMensch,
> > Hallo WinterMensch,
> >
> > > Parametrisierung der Einheitssphäre S im [mm]\IR^{3}:[/mm]
> > > h : [mm](0,\pi)[/mm] x [mm](0,2\pi) \to \IR^{3}[/mm] mit
> [mm]h(\gamma,\delta)[/mm]
> > =
> > > [mm]\vektor{cos(\delta)sin(\gamma) \\ sin(\delta)sin(\gamma) \\ cos(\delta)}[/mm]
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> > >
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> >
> > Die Parameterisierung der Einheissphäre lautet doch:
> >
> > [mm]h(\gamma,\delta) = \vektor{cos(\delta)sin(\gamma) \\ sin(\delta)sin(\gamma) \\ cos(\blue{\gamma})}[/mm]
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> Ja stimmt, ich habe es hier falsch abgetippt, aber mit der
> richtigen Parametrisierung gerechnet.
> >
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> > > Was ist der äußere Normaleneinheitsvektor n auf einem
> > > Punkt [mm]a\inS?[/mm]
> > > Berechnen Sie [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}[/mm]
> >
> > > zu Aufgabe 2:
> > >
> > > Sei [mm]a=(a_{1},a_{2})\inS.[/mm] Der Normaleneinheitsvektor ist :
> > > [mm]\bruch{\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)}{||\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)||}[/mm]
> > > (Das x soll das Kreuzprodukt sein)
> > > Ich erhalte dafür nach einer etwas längeren
> Rechnung
> > > [mm]n(a)=\vektor{sin(a_{1})cos(a_{2}) \\ sin(a_{1})sin(a_{2}) \\ cos(a_{1})}[/mm]
>
> >
> > >
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> >
> > Dann wird das in der Aufgabe wohl ein Schreibfehler gewesen
> > sein.
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> Ist der Normaleneinheitsvektor denn richtig?
Ja.
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> >
> > > Damit ist dann [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}= \integral_{S}{sin(a_{1})cos(a_{2})+sin(a_{1})sin(a_{2})+cos(a_{1}) do}[/mm]
> > > Wir haben definiert:
> > >
> > >
> >
> [mm]\integral_{V}{f(x)do(x)}=\integral_{U}{f(h(u))\wurzel{g(u)}do(x)}[/mm]
> > > Wie berechne ich jetzt f(h(u))? Das Problem ist ja,
> > dass h
> > > aus drei Komponenten besteht, ich bei f aber nur zwei
> > > Variablen zur Verfügung habe, also [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}.[/mm]
> > > Vielen Dank schonmal für Hilfe :)
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> > > > Was ist der äußere Normaleneinheitsvektor n auf einem
> > > > Punkt [mm]a\inS?[/mm]
> > > > Berechnen Sie [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}[/mm]
> >
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> > > > zu Aufgabe 2:
> > > >
> > > > Sei [mm]a=(a_{1},a_{2})\inS.[/mm] Der Normaleneinheitsvektor ist :
> > > > [mm]\bruch{\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)}{||\partial_{\gamma}h(a) x \partial_{\delta}h(a)||}[/mm]
> > > > (Das x soll das Kreuzprodukt sein)
> > > > Ich erhalte dafür nach einer etwas längeren
> > Rechnung
> > > > [mm]n(a)=\vektor{sin(a_{1})cos(a_{2}) \\ sin(a_{1})sin(a_{2}) \\ cos(a_{1})}[/mm]
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> > Ist der Normaleneinheitsvektor denn richtig?
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> Ja.
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> > > > Damit ist dann [mm]\integral_{S}{<(1,1,1) , n> do}= \integral_{S}{sin(a_{1})cos(a_{2})+sin(a_{1})sin(a_{2})+cos(a_{1}) do}[/mm]
> > > > Wir haben definiert:
> >
> [mm]\integral_{V}{f(x)do(x)}=\integral_{U}{f(h(u))\wurzel{g(u)}do(x)}[/mm]
> > > > Wie berechne ich jetzt f(h(u))? Das Problem ist
> ja,
> > > dass h
> > > > aus drei Komponenten besteht, ich bei f aber nur zwei
> > > > Variablen zur Verfügung habe, also [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}.[/mm]
> > > > Vielen Dank schonmal für Hilfe :)
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
Die Frage von oben wie ich f(h(u)) bestimme, konnte ich immer noch nicht lösen. Ich muss ja die Komponenten von h in f einsetzen, zumindest haben wir das immer so gemacht aber hier scheint irgendetwas nicht zu stimmen..?
Guten Rutsch ins neue Jahr schon mal :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 08.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo WinterMensch!
Bitte poste in Zukunft zwei derart unabhängige Aufgaben auch in separaten Threads - danke.
Gruß
Loddar
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