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| Aufgabe | Ich habe eine frage zum folgendem Ausschnitt:
Eine Oberfläche als zweidimensionales Objekt im dreidimensionalen Raum kann auf unterschiedliche Weise dargestellt werden:
i) explizit: mit einer stetigen Funktion f: [mm] D\subset\IR^2\to\IR
[/mm]
[mm] S=\{(x,y,f(x,y))\in\IR^3:(x,y)\in D\}
[/mm]
ii) implizit: mit einer (geeigneten) Funktion g: [mm] U\subset\IR^3\to\IR
[/mm]
[mm] S=\{(x,y,z)\in\IR^3:g(x,y,z)=0\}
[/mm]
iii) Parameterdarstellung: mit einer (geeigneten) Funktion [mm] \phi:D\subset\IR^2\to\IR^3
[/mm]
[mm] S=\{(\phi(u,v))\in\IR^3:(u,v)\in D\} [/mm] |
Kann jemand jeweils ein Beispiel (also eine funktion) zu den drei Darstellungsmöglichkeiten nennen?
Folgendes verwirrt mich:
Bei der expliziten darstellung ist der definitionsbereich im [mm] \IR^2 [/mm] und bei der impliziten im [mm] \IR^3
[/mm]
Bei der Parameterdarstellung ist es ganz anders. Definitionsbereich ist im [mm] \IR^2 [/mm] und Wertebereich im [mm] \IR^3
[/mm]
Und das vewirrt mich. Ein Beispiel zu den drei darstellungsmöglichkeiten könnte helfen
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> Ich habe eine frage zum folgendem Ausschnitt:
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> Eine Oberfläche als zweidimensionales Objekt im
> dreidimensionalen Raum kann auf unterschiedliche Weise
> dargestellt werden:
Wir nehmen mal die Oberfläche einer Halbkugel mit Radius 5, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt. Dafür gilt: [mm] x^2+y^2+z^2=5^2=25 [/mm] mit z>0.
>
> i) explizit: mit einer stetigen Funktion f:
> [mm]D\subset\IR^2\to\IR[/mm]
>
> [mm]S=\{(x,y,f(x,y))\in\IR^3:(x,y)\in D\}[/mm]
[mm] f(x,y)=z=\wurzel{25-x^2-y^2}, [/mm] somit
[mm]S=\{(x,y,\wurzel{25-x^2-y^2})\in\IR^3:(x,y)\in D\}[/mm]
>
> ii) implizit: mit einer (geeigneten) Funktion g:
> [mm]U\subset\IR^3\to\IR[/mm]
>
> [mm]S=\{(x,y,z)\in\IR^3:g(x,y,z)=0\}[/mm]
>
[mm] g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-25=0
[/mm]
[mm]S=\{(x,y,z)\in\IR^3:x^2+y^2+z^2-25=0\}[/mm]
Hier wäre auch die untere Halbkugel dabei. Besser daher:
[mm] g(x,y,z)=z-\wurzel{25-x^2-y^2}=0
[/mm]
[mm]S=\{(x,y,z)\in\IR^3:z-\wurzel{25-x^2-y^2}=0\}[/mm]
> iii) Parameterdarstellung: mit einer (geeigneten) Funktion
> [mm]\phi:D\subset\IR^2\to\IR^3[/mm]
>
> [mm]S=\{(\phi(u,v))\in\IR^3:(u,v)\in D\}[/mm]
x=u
y=v
[mm] z=\wurzel{25-x^2-y^2}=\wurzel{25-u^2-v^2}
[/mm]
[mm] \phi(u,v)=(u,v,\wurzel{25-u^2-v^2})
[/mm]
[mm]S=\{(u,v,\wurzel{25-u^2-v^2})\in\IR^3:(u,v)\in D\}[/mm]
Eine ganz andere Parametrisierung sähe so aus:
Als Parameter wähle ich nicht (teilweise) die Koordinaten, also nicht x=u und/oder y=v, sondern gehe so vor: Die hohle Halbkugel wölbt sich über die Erde (5 km Radius) und ich stehe im Mittelpunkt. Um irgendeinen Punkt auf der Halbkugel anzuschauen, schaue ich um den Winkel [mm] \alpha [/mm] in die Höhe und drehe mich dann (von der x-Achse aus gesehen) links herum um den Winkel [mm] \beta. [/mm] Jetzt schaue ich genau auf einen Punkt auf der Halbkugel und muss nur noch deren Koordinaten durch [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ausdrücken.
Schaue ich unter [mm] \beta [/mm] in die Höhe, trifft mein Blick nach 5 km irgendwo die Kugelschale. Der z-Wert dazu ist [mm] z=5*sin(\beta). [/mm] Lasse ich von dem Punkt von oben herunter etwas auf die x-y-Ebene fallen, ist der Abstand des Aufschlagspunktes zu mir [mm] r=5*cos(\beta). [/mm] Dieser Punkt liegt irgendwo auf einem Kreis mit dem Abstand r von mir.
Muss ich mich nun links herum um den Winkel [mm] \alpha [/mm] von der x-Achse drehen, um zu diesem Punkt zu gelangen, so ist dessen x-Wert [mm] r*cos(\alpha) [/mm] und der y-Wert [mm] r*sin(\alpha). [/mm] Das aber ist auch gerade der x- bzw. y-Wert des darüberliegenden Punktes auf der Kugelschale. Somit:
[mm] \phi(\alpha,\beta)=(5*cos(\alpha)*cos(\beta),5*sin(\alpha)*cos(\beta),5*sin(\beta))
[/mm]
[mm]S=\{(5*cos(\alpha)*cos(\beta),5*sin(\alpha)*cos(\beta),5*sin(\beta))\in\IR^3:(\alpha,\beta)\in D\}[/mm]
Dabei läuft [mm] \alpha [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] und [mm] \beta [/mm] von 0 bis [mm] \pi/2.
[/mm]
(Lässt man [mm] \beta [/mm] von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] \pi/2 [/mm] laufen, geht man auch noch unter die Erde und bekommt so die gesamte Kugelschale.)
> Kann jemand jeweils
> ein Beispiel (also eine funktion) zu den drei
> Darstellungsmöglichkeiten nennen?
>
> Folgendes verwirrt mich:
>
> Bei der expliziten darstellung ist der definitionsbereich
> im [mm]\IR^2[/mm] und bei der impliziten im [mm]\IR^3[/mm]
>
> Bei der Parameterdarstellung ist es ganz anders.
> Definitionsbereich ist im [mm]\IR^2[/mm] und Wertebereich im [mm]\IR^3[/mm]
>
> Und das vewirrt mich. Ein Beispiel zu den drei
> darstellungsmöglichkeiten könnte helfen
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Wie bestimmt man bei den drei Darstellungsmöglichkeiten den Oberflächeninhalt?
Für die Parameterdarstellung gilt meines Wissens nach
O(S) = Oberfläche von S
[mm] O(S)=\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{1*|\phi(u,v)_u \times \phi(u,v)_v|d(uv)}
[/mm]
Bei der expliziten Darstellung gilt Wahrscheinlich:
[mm] O(S)=\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{1*|f(x,y)_x \times f(x,y)_y|d(xy)}
[/mm]
Wäre das so richtig?
Wie bestimme ich den Oberflächeninhalt bei der impliziten Darstellung? Da habe ich eine Funktion mit 3 variabeln
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:50 Do 19.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wie bestimmt man bei den drei Darstellungsmöglichkeiten
> den Oberflächeninhalt?
>
> Für die Parameterdarstellung gilt meines Wissens nach
>
> O(S) = Oberfläche von S
>
> [mm]O(S)=\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{1*| \times \phi(u,v)_v|d(uv)}[/mm]
Das stimmt nur, wenn D=[a,b]x[c,d] ist. Schreibt Ihr partielle Ableitungen wirklich so:
[mm] \phi(u,v)_u
[/mm]
und nicht so:
[mm] \phi_u(u,v) [/mm] ?
>
> Bei der expliziten Darstellung gilt Wahrscheinlich:
>
> [mm]O(S)=\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{1*|f(x,y)_x \times f(x,y)_y|d(xy)}[/mm]
Gleiche Bemerkungen wie oben.
>
> Wäre das so richtig?
>
> Wie bestimme ich den Oberflächeninhalt bei der impliziten
> Darstellung? Da habe ich eine Funktion mit 3 variabeln
Da hilft manchmal nur der Satz über implizit def. Funktionen. Kann man die Gleichung g(x,y,z)=0 (unter geeigneten Voraussetzungen) nach z auflösen, in der Form z=z(x,y), so hat man (lokal) eine explitite Darstellung
(x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x,y,z(x,y)).
FRED
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> Das stimmt nur, wenn D=[a,b]x[c,d] ist.
Wieso muss D ein Rechteck sein? geht das nicht wenn D zum Beispiel ein kreis ist?
> Schreibt Ihr
> partielle Ableitungen wirklich so:
>
> [mm]\phi(u,v)_u[/mm]
>
> und nicht so:
>
> [mm]\phi_u(u,v)[/mm] ?
Stimmt das ist ein fehler von mir. Wir benutzen auch die Schreibweise [mm]\phi_u(u,v)[/mm]
PS: Leider funktioniert wieder der formeleditor wieder nicht bei mir
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Fr 20.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Das stimmt nur, wenn D=[a,b]x[c,d] ist.
>
> Wieso muss D ein Rechteck sein? geht das nicht wenn D zum
> Beispiel ein kreis ist?
Wenn Du sowas schreibst
$ [mm] O(S)=\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{1\cdot{}|f(x,y)_x \times f(x,y)_y|d(xy)} [/mm] $
integrierst Du über das Rechteck [a,b]x[c,d]. Punkt.
>
> > Schreibt Ihr
> > partielle Ableitungen wirklich so:
> >
> > [mm]\phi(u,v)_u[/mm]
> >
> > und nicht so:
> >
> > [mm]\phi_u(u,v)[/mm] ?
>
> Stimmt das ist ein fehler von mir. Wir benutzen auch die
> Schreibweise [mm]\phi_u(u,v)[/mm]
>
> PS: Leider funktioniert wieder der formeleditor wieder
> nicht bei mir
Bei mir auch nicht.
FRED
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> > > Das stimmt nur, wenn D=[a,b]x[c,d] ist.
> >
> > Wieso muss D ein Rechteck sein? geht das nicht wenn D zum
> > Beispiel ein kreis ist?
>
> Wenn Du sowas schreibst
>
> [mm]O(S)=\integral_{a}^{b}\integral_{c}^{d}{1\cdot{}|f(x,y)_x \times f(x,y)_y|d(xy)}[/mm]
>
> integrierst Du über das Rechteck [a,b]x[c,d]. Punkt.
>
Wieso? a und b könnte der Radius sein mit a=0 und b=r
und c=0 und d=2pi
dann integriere ich doch über einen kreis oder habe ich einen denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 21.11.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn D ein kreis ist etwa [mm] x^2+y^2=a^2 [/mm] dann integrierst du doch z.b über x von 0 bis [mm] \sqrt(a^2-y^2)
[/mm]
(wenn man über einen Kreis rechnet, nimmt man meist Polarkoordinaten!)
Gruß ledum
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