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Hallo!
Habe dieses Semester Analysis 3 und das Skript meines Profs ist leider katastrophal!!!
Eigentlich möchte ich nur meine Formeln verbessert oder bestätigt haben, weil ich überall im Skript Beispiele finde, die dann wieder nicht zu meiner Formel passen. In der Formelsammlung finde ich leider auch nicht so recht was ich suche.
Also:
Wenn ich das Doppelintegral [mm] \integral_{B}^{}\integral_{}^{}f*db [/mm] habe, dann berechne ich ein Volumen unter der Fläche f. Wenn f=1, dann berechne ich die auf die x-y-Ebene projezierte Fläche von f, oder???
Und dann noch Fragen zur Formel von Oberflächenintegralen:
Meine Formeln sind irgendwie immer für 2 Flächen: S und f, aber warum??? Wenn ich den Flächeninhalt = Oberfläche will, dann ist doch f immer =1?
[mm] \integral_{S}^{}\integral_{}^{}{f dO}
[/mm]
Habe ich S in kartesischen Koordinaten:
[mm] \integral_{S}^{}\integral_{}^{}{f(x,y,z(x,y))*\wurzel{1+(z_{x})^{2}+(z_{y})^{2}} dx*dy} [/mm] mit [mm] S=\vektor{x\\y\\f(x,y)}
[/mm]
Welche Integralgrenzen nehme ich hier? Die von S? Aber ich integriere doch "über" f, dann die von f???
S in Parametern:
[mm] \integral_{u1}^{u2}\integral_{v1}^{v2}{f(x(z,v),y(u,v),z(u,v))*\parallel{x_u\times x_v\parallel} du*dv} [/mm] mit [mm] S=\vektor{x(u,v)\\y(u,v)\\z(u,v)}
[/mm]
Habe ich S in Polar:
[mm] \integral_{r1}^{r2}\integral_{\gamma 1}^{\gamma 2}{f(x(r,\gamma),y(r,\gamma),z(r,\gamma))*\wurzel{r^{2}*(1+(z_r)^{2})+(z_\gamma)^{2}} dr*d\gamma} [/mm] mit [mm] S=\vektor{r*cos\gamma\\r*sin\gamma\\z(r,\gamma)}
[/mm]
Und normalerweise ist die Funktionaldeterminante ja r, aber das brauch ich hier ja nicht mehr, oder?!
Also es wäre wirklich ganz toll, wenn mir jemand helfen könnte. Immer wenn ich dachte ich verstehe es, dann kam immer wieder irgendein Beispiel, was mein Verständnis verworfen hat.
Liebe Grüße und DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Fr 27.06.2008 | | Autor: | alexwie |
Hallo bezauberndejeanny
Bei Volumsintegralen ud Oberflächen integralen ist es so:
Mit [mm] \integral_{B}^{}{}\integral_{}^{}{f db} [/mm] berechnest du das Volumen unter dem Funktionsgraphen von f. Das ist richtig. Man könnte auch sagen, dass man das mit [mm] \integral_{B}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{1 db} [/mm] berechnet.
Ganz blöd gesprochen kannst du dir das f im integral als gewichtung vorstellen.
(z.B. wenn bei einem dreifach integral eine Funktion f im integral die dichte eines Körpers angibt berechnet man damit die Masse, also bei gleichverteilung der masse nimmt man dichte 1). Das f im Doppelinegral ist also auch eine "gewichtung" die dir die höhe angibt.
Als grenzen für die einzelnen Integrale nimmst du Immer die Grenzen des Parameterbereichs (also B) her.
Das gleiche gilt für oberflächenintegrale. Also um nur die oberfläche zu berechnen nimmst du als funktion unterm integral 1 und integrierst über deinen Parameterbereich. Im Prinzip ist ja ein Oberflächenintegral nichts andres wie ein Bereichsintegral bei dem die gewichtung [mm] \parallel x_{u}\times x_{v} \parallel [/mm] ein maß dafür ist wie groß das infinitessimale Flächenelement ist. Also nochmal: über den bereich integrieren. steht dann zusätzlich noch ein f unter dem oberflächenintegral ist das eine weitere gewichtung (zum beispiel elektrische ladung auf einer Kugel).
Ich hoffe ich konnte dir helfen
Lg alex
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Vielen vielen tausend Dank!!!
Hat mir wirklich viel geholfen. DANKE DANKE!
Hab allerdings noch eine kleine Frage:
Die Funktionaldeterminante ist in diesem Fall nur das Kreuzprodukt, oder? D.h. bei der Parameterdarstellung
[mm] \parallel{x_u\times x_v}\parallel*du*dv
[/mm]
und bei der Polarkoordinatendarstellung [mm] \wurzel{r^{2}*(1+(z_r)^{2})+(z_\gamma)^{2}}*dr*d\gamma [/mm] also ohne [mm] r*dr*d\gamma [/mm] sondern nur [mm] dr*d\gamma
[/mm]
oder?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Sa 28.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hab allerdings noch eine kleine Frage:
> Die Funktionaldeterminante ist in diesem Fall nur das
> Kreuzprodukt, oder?
Richtig.
> D.h. bei der Parameterdarstellung
> [mm]\parallel{x_u\times x_v}\parallel*du*dv[/mm]
> und bei der
> Polarkoordinatendarstellung
> [mm]\wurzel{r^{2}*(1+(z_r)^{2})+(z_\gamma)^{2}}*dr*d\gamma[/mm] also
> ohne [mm]r*dr*d\gamma[/mm] sondern nur [mm]dr*d\gamma[/mm]
> oder?
Korrekt.
Übrigens kannst du auch eine Dimensionsbetrachtung machen: es muss ja ein Flächenelement herauskommen, also die Dimension [mm] $\text{Länge}^2$ [/mm] haben. Nun sind r und z Abstände und [mm] $\gamma$ [/mm] ist dimensionslos, also hat haben auch dr und [mm] $z_\gamma$ [/mm] die Dimension einer Länge, sowie [mm] $d\gamma$ [/mm] und [mm] $z_r$ [/mm] sind dimensionslos.
Also steht unter der Wurzel eine [mm] $\text{Länge}^2$, [/mm] die Wurzel ist also auch eine Länge und insgesamt hast du
[mm] \wurzel{\text{Länge}^2} * \text{Länge} [/mm]
also eine Fläche.
So eine Betrachtung mag dir ungewohnt erscheinen, es ist aber eine nützliche Prüfmethode. Natürlich findet man damit nicht alle Fehler (eine Faktor [mm] $\gamma$ [/mm] würde nicht auffallen).
Viele Grüße
Rainer
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