Obergrenze von Summen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Mir hat sich heute folgendes Problemchen aufgetan: Für welches T ist die Gleichung [mm] \summe_{t=1}^{T} 0,6^{t}=1 [/mm] erfüllt? Die Lösung: Für keins. Durch Ausprobieren findet man, daß für T = 2 die linke Seite 0,96, also zu klein, für T = 3 mit 1,176 zu groß ist. T müsste also [mm] \in [/mm] (2,3) sein. Da T jedoch selbstverständlich eine ganze Zahl sein muß, existiert keine Lösung. Trotzdem: Gibt es eine Möglichkeit, die Grenzen, zwischen denen T liegen muß (oder zumindest eine davon), analytisch zu bestimmen, d.h. ohne simples Ausprobieren? Vielen Dank im Voraus!
BAGZZlash
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Mi 19.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
ich weiß zwar nicht so genau, ob du das wissen wolltest, aber die summe kann man exakt berechnen (es ist nämlich eine geometrische summe):
[m] \sum_{t=1}^T \left( \frac{3}{5} \right)^t = \frac{ \left( \frac{3}{5} \right)^{T+1} - \frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-1} = \frac{3}{2} \left( 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^{T} \right) [/m]
wenn man dies nun gleich eins setzt kann man die gleichung ja nach $T$ auflösen.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort. Leider war das tatsächlich nicht das, was ich wissen wollte.
Ich muß eine Summe vom Typ [mm] \summe_{t=1}^{T} x^{t} [/mm] gleich einen Wert y setzen und herausfinden, wie oft die Summe "durchlaufen" werden muß, um die Gleichheit herzustellen. Hierbei will ich auf Ausprobieren verzichten! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 20.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
versteh ich das richtig, dass du ganz allgemien die gleichung
[m] \sum_{t=1}^T x^t = y [/m]
lösen willst? dann habe ich vorher nämlich schon das entscheidende stichwort geliefert: geometrische summenformel. man kann ganz allgemien zeigen (das ist eine einfache vollständige induktion), dass [m] \sum_{t=1}^T x^t = \frac{x^{T+1} - x}{x-1} \qquad \textrm{für } x \not= 1 [/m]. somit vereinfacht sich die von dir zu lösende gleichung zu [m] \frac{x^{T+1} - x}{x-1} = y \; \Longleftrightarrow \; x^{T+1} = y(x-1) + x \; \Longleftrightarrow \; T = \frac{\ln(y(x-1) + x)}{\ln x} - 1 [/m], wobei das natürlich nur dann ein sinnvolles ergebnis für dein problem liefert, wenn $T$ eine natürliche zahl ist!
wenn das wieder nicht deine frage war, musst du die etwas konkreter stellen - ich weiß nämlich wirklich nicht, was du sonst willst!
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 20.01.2005 | | Autor: | BAGZZlash |
Hi!
Super, vielen Dank. Das war genau das, was ich wissen wollte. Sorry bitte für die unpräzise Formulierung...
Hmm, naja, wenn man's weiß, ist's ja einfach. Hätte man ja fast selber drauf kommen können. Okay, wäre ich aber nie, ich hab's nicht so mit Reihen und Summen.
|
|
|
|
