Obersumme Untersumme < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Mi 20.12.2006 | | Autor: | murmel |
Hallo ihr Helfer,
ich habe da ein kleines Problem mit der Bildung einer Obersumme.
[mm] [mm] \integral_{0}^{4}{\left(x^3 - 2\right) dx}
[/mm]
Das Flächenintegral kann ich bilden, kein Problem, allerdings sieht anders aus, wenn ich dies aus eine Reihe überführen muss.
Ich weiß, dass:
Die Fläche näherungsweise:
[mm] F \approx \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} f \left(x_i \right) \Delta x[/mm],
wobei n gegen Unendlich geht und [mm] \Delta [/mm] x gegen Null, ist.
Wenn ich vom Intervall [0, 4] ausgehe, ändert sich folgende Rechenvorschrift
[mm] \Delta x = \bruch{b - a}{n} [/mm]
wobei a = 0 ist.
"n" ist die Anzahl der Rechtecke der zu ermittelenden Fläche unter dem Funktiongraphen.
Einfach geschrieben sieht es ja dann so aus:
[mm] A = A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n [/mm]
Oder
GL(1):
[mm] A = \Delta x * f \left( \Delta x \right) + 2 * \Delta x * f \left( 2 * \Delta x \right) + 3 * \Delta x * f \left(3 * \Delta x \right) + \cdots + n * \Delta x * f \left(n * \Delta x \right) [/mm]
Mithilfe der Rechenvorschrift Gl.(2):
[mm] \bruch{n^2 \left(n+1 \right)^2}{4} [/mm]
kann ich, wenn ich Gl.(1) auf n verallgemeinert habe dann mit Gl.(2) verknüpfen.
Nach dem ich n gegen unendlich gehen ließ, müsste dann die genährte Fläche herauskommen, aber irgendwie vertue ich mich da.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo murmel!
Wenn wir Deinen Fehler finden sollen, musst Du uns schon etwas mehr Zwischenergebnisse / Zwsichenschritte Deinerseits verraten.
Aber ich befürchte, Du summierst etwas zu "großzügig" die einzelnen Balken auf ...
> [mm]A = \Delta x * f \left( \Delta x \right) + 2 * \Delta x * f \left( 2 * \Delta x \right) + 3 * \Delta x * f \left(3 * \Delta x \right) + \cdots + n * \Delta x * f \left(n * \Delta x \right)[/mm]
Denn die Breite der einzelnen Balken bleibt ja konstant bei [mm] $\Delta [/mm] x$ ; also ohne zusätzlichen (hochzählenden) Faktor:
[mm]A = \Delta x * f \left(1* \Delta x \right) + \Delta x * f \left( 2 * \Delta x \right) + \Delta x * f \left(3 * \Delta x \right) + \cdots + \Delta x * f \left(n * \Delta x \right)[/mm]
Soll dies nun die Ober- oder die Untersumme darstellen? Da musst Du dann nämlich aufpassen, wo Du beim Zählen bei [mm] $f(\red{...}*\Delta [/mm] x)$ beginnst bzw. endest.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:58 Mi 20.12.2006 | | Autor: | murmel |
Also, ich möchte nur die Obersumme bilden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 Mi 20.12.2006 | | Autor: | murmel |
Ich dachte jedoch, das... Achso,
Ich "darf" ja nur die einzelnen Recjtecke aufsummieren, wenn ich den Faktor unnötigerweise vor [mm] \Delta [/mm] x stelle, summiere ich ja schon die Summe der Summe auf.
Aber wie genau bilde ich nun die Obersumme? Ich hab's irgendwie noch nicht verstanden!
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Obersumme #1![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
