Obersumme/e/R-Integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man berechne [mm] \integral_{1}^{e}{\frac{dx}{x}} [/mm] als Grenzwert der Obersummen der Zerlegungsfolge
[mm] T_n [/mm] = [mm] \{ 1, e^{\frac{1}{n}}, e^{\frac{2}{n}},...,e^{\frac{k}{n}},...,e^{\frac{n-1}{n}},e\},
[/mm]
begründe die R-Integrierbarkeit von f auf [1,e]. |
Das Intervall geht also von [mm] [1=e^0,e] [/mm] mit n Unterteilungen
Wie gebe ich die Intervalllänge am besten an? 1- [mm] e^{\frac{1}{n}} [/mm] ??
Die Funktion ist f(x) = [mm] \frac{1}{x} [/mm] oder?
Ich will die Monotonie im Intervall rausfinden.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0
[mm] f(\varepsilon [/mm] + x) < f(x)
[mm] \frac{1}{\varepsilon +x} [/mm] < [mm] \frac{1}{x}
[/mm]
x < [mm] \varepsilon [/mm] +x
=> fallend
sup [mm] f([1,e^{\frac{1}{n}}]) [/mm] = f(1) = 1
sup [mm] f([e^{\frac{1}{n}},e^{\frac{2}{n}}]) [/mm] = f [mm] (e^{\frac{1}{n}}) [/mm] = [mm] e^{-\frac{1}{n}}
[/mm]
..
sup [mm] f([e^{\frac{n-1}{n}},e^{1}]) [/mm] = f [mm] (e^{\frac{n-1}{n}}) [/mm] = [mm] e^{-\frac{n-1}{n}}
[/mm]
[mm] O(\frac{1}{x},T_n)= 1*(1-e^{\frac{1}{n}})+ e^{-\frac{1}{n}}*(1-e^{\frac{1}{n}}) [/mm] + [mm] ...+e^{-\frac{n-1}{n}} [/mm] * [mm] (1-e^{\frac{1}{n}})=
[/mm]
1- [mm] e^{\frac{1}{n}} [/mm] + [mm] e^{-\frac{1}{n}} [/mm] - [mm] e^0 +...+e^{\frac{-n-1}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac{n-1}{2}}
[/mm]
Wie rechne ich das denn "geschickter" aus.
> begründe die R-Integrierbarkeit von f auf [1,e].
Wie mache ich das am besteN? Soll ich dazu die Untersumme ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Intervallänge stimmt nur für das 1. Intervall, berechne allgemein für das k-te Intervall, klammer geschickt aus.
auch am end wieder ausklammern, was geht.
R-Integrierbarkeit |OS-US| gegen 0
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Okay, danke für den hinweis.
Die einzelnen Intervalllänge ist dann
[mm] e^{\frac{j}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac{j-1}{n}}
[/mm]
j [mm] \in [/mm] {1,..,n}
oder?
[mm] e^{-\frac{j-1}{n}} [/mm] ist doch das supremum j [mm] \in [/mm] {1,..,n}
[mm] O(\frac{1}{x},T_n)= \sum_{j=1}^n e^{-\frac{j-1}{n}} [/mm] * [mm] (e^{\frac{j}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac{j-1}{n}}) [/mm]
= [mm] \sum_{j=1}^n e^{1/n} [/mm] -1
was gar nicht mehr von summe abhängig ist.
[mm] (e^{1/n} [/mm] -1) * (n-1)
Ich weiß nicht ob das stimmt, oder ob ich hier am Holzweg bin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Di 13.03.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
richtig, aber du hast n Summanden! jetzt brauchst du noch den GW zeige, das er 1 ist
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 13.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
Ich hab doch auch mit Summengrenze n gerechnet, oder was meinst du?
Ich bin aber so weitergekommen:
$ [mm] O(\frac{1}{x},T_n)= \sum_{j=1}^n e^{\frac{-j+1}{n}} [/mm] $ * $ [mm] (e^{\frac{j}{n}} [/mm] $ - $ [mm] e^{\frac{j-1}{n}}) [/mm] $= [mm] \sum_{j=1}^n \frac{e^{j/n}}{e^{j/n}*e^{-1/n}} [/mm] - [mm] \frac{e^{\frac{j-1}{n}}}{e^{\frac{j-1}{n}}} =\sum_{j=1}^n \frac{1}{e^{-1/n}} [/mm] - 1 = [mm] n*({e^{1/n}} [/mm] - 1) = [mm] \frac{e^{1/n} - e^0}{1/n} [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} \frac{e^{1/n} - e^0}{1/n} [/mm] =1
Passt es so?
Statt jetzt mühsam die Untersumme auszurechnen könnte man doch auch sagen, dass die "Funktion" 1/x monoton und stetig ist im gegebenen Intervall ist und deshalb R-integrierbar.
Jetzt steht noch am SChluss:
Zeige, dass die Feinheit der Zerlegungsfolge [mm] T_n [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] gegen Null konvergiert.
$ [mm] T_n [/mm] $ = $ [mm] \{ 1, e^{\frac{1}{n}}, e^{\frac{2}{n}},...,e^{\frac{k}{n}},...,e^{\frac{n-1}{n}},e\}, [/mm] $
Muss ich da zeigen [mm] |e^{\frac{j}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac{j-1}{n}}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
j [mm] \in [/mm] [1,..n]
[mm] e^x \ge [/mm] x +1
dh. [mm] e^{\frac{j-1}{n}} \ge \frac{j-1}{n} [/mm] +1
| [mm] e^{\frac{j}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac {j-1}{n}}| [/mm] = [mm] e^{\frac{j}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac{j-1}{n}}< e^{\frac{j}{n}} -(\frac{j-1}{n} [/mm] +1)
Jetzt brauch ich da aber noch eine Abschätzung, Was wächst schneller in dem Intervall als die exponentialfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Mi 14.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist richtig, aber wie hast du den GW $ [mm] lim_{n->\infty} \frac{e^{1/n} - e^0}{1/n} [/mm] $ =1 gezeigt?
aus der intervallänge klammer den hinteren exp aus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Mi 14.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Bin grade zu Faul aufzuschreiben, wie ich den Grenzwert gezeigt habe.
> aus der intervallänge klammer den hinteren exp aus.
| [mm] e^{\frac{j}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac {j-1}{n}}| [/mm] = [mm] e^{\frac{j}{n}} [/mm] - [mm] e^{\frac{j-1}{n}}= e^{j/n} [/mm] * (1- [mm] e^{-1/n})
[/mm]
1- [mm] e^{-1/n} [/mm] ist das auch ein Grenzwert den ich kennen sollte?
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> Bin grade zu Faul aufzuschreiben, wie ich den Grenzwert
> gezeigt habe.
>
>
> > aus der intervallänge klammer den hinteren exp aus.
>
> | [mm]e^{\frac{j}{n}}[/mm] - [mm]e^{\frac {j-1}{n}}|[/mm] = [mm]e^{\frac{j}{n}}[/mm]
> - [mm]e^{\frac{j-1}{n}}= e^{j/n}[/mm] * (1- [mm]e^{-1/n})[/mm]
>
> 1- [mm]e^{-1/n}[/mm] ist das auch ein Grenzwert den ich kennen
> sollte?
Hallo,
kennen mußt Du den nicht, sondern ausrechnen.
Was passiert denn für [mm] n\to\infty?
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mi 14.03.2012 | | Autor: | quasimo |
Das versuche ich eben rauszufinden und stecke fest ;)
[mm] e^{j/n} [/mm] * (1- [mm] e^{-1/n}) [/mm] -> n [mm] ->\infty
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] j/n = [mm] \frac{j/n}{1} [/mm] = 0
[mm] lim_{n->\infty} e^{j/n} [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1
[mm] lim_{n->\infty} 1-e^{-1/n} [/mm] =?
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> Das versuche ich eben rauszufinden und stecke fest ;)
>
> [mm]e^{j/n}[/mm] * (1- [mm]e^{-1/n})[/mm] -> n [mm]->\infty[/mm]
>
> [mm]lim_{n->\infty}[/mm] j/n = [mm]\frac{j/n}{1}[/mm] = 0
> [mm]lim_{n->\infty} e^{j/n}[/mm] = [mm]e^0[/mm] = 1
Hallo,
dann wird ja wohl [mm] $\lim_{n->\infty} e^{-j/n}$ [/mm] auch =1 sein, und damit der gesuchte Grenzwert gefunden.
LG Angela
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> [mm]lim_{n->\infty} 1-e^{-1/n}[/mm] =?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Mi 14.03.2012 | | Autor: | quasimo |
okay, verstehe ;)
Ich dank euch beiden für die Hilfe!
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