Obersumme und Untersumme < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 So 27.07.2008 | | Autor: | robertl |
| Aufgabe | # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
es geht bei dieser Aufgabe um die Obersumme und die Untersumme.
Für die Berechnung der Untersumme gilt bei der Funktion f(x)= [mm] x^2 [/mm] , (Intervall 0-4) :
U= [mm] 0+\bruch{4}{n}^2+\bruch{4}{n}*(2*\bruch{4}{n})^2+\bruch{4}{n}*(3*\bruch{4}{n})^3+....+\bruch{4}{n}*((n-1)*\bruch{4}{n})^2
[/mm]
durch Ausklammern(IN JEDER sUMME SIND [mm] \bruch{4}{n} [/mm] UND [mm] (\bruch{4}{n})^2 [/mm] als Faktor enthalten)entsteht daraus :
U= [mm] \bruch{4}{n}* (\bruch{4}{n})^2*(0+1^2+2^2+3^2+....(n-1)^2)
[/mm]
NUN BEKOMMEN die für [mm] 0^2 +1^2+2^2+3^2+....+n^2 [/mm] die Formel
[mm] \bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm] heraus (steht auch in der Formelsammlung,ich weiss aber wie kommt man auf dIESE SUMMENREGEL DEN?)
das gleiche Problem bei einer anderen Funktion
da bekommen sie für [mm] (0^3+1^3+2^3+...+(n-1)^3) [/mm] das heraus
[mm] \bruch{(n-1)^2*n^2}{2^2}
[/mm]
und bei noch einer Funktion bekommen sie für [mm] (1^4+2^4+3^4+(n-1)^4+n^4) [/mm] das heraus [mm] \bruch{(n*(n-1)*(2n+1)*(3n^2+3n-1)}{30}
[/mm]
DAS MIT oBERSUMME und Untersumme versteht ich shcon ich versteh das mit der Umformung nur nicht wie diese ´´Formel´´ entsteht, die mann in U oder O einsetzen muss um den Term umzuformen.
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
meine frage (wie oben schon erwähnt ist )
wie kommt man von [mm] 0^2 +1^2+2^2+3^2+....+n^2 [/mm] auf die Formel
[mm] \bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1) [/mm]
und von
[mm] (0^3+1^3+2^3+...+(n-1)^3) [/mm] auf die Formel
[mm] \bruch{(n-1)^2*n^2}{2^2}
[/mm]
und von
[mm] (1^4+2^4+3^4+(n-1)^4+n^4) [/mm] auf [mm] \bruch{(n*(n-1)*(2n+1)*(3n^2+3n-1)}{30}
[/mm]
ich hab alles Mögliche ausprobliert aber ich komm einfach nicht auf diese Umformung!!
kann mir da einer bitte erklären wie dies funktioniert????
dankeschön
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> es geht bei dieser Aufgabe um die Obersumme und die
> Untersumme.
> Für die Berechnung der Untersumme gilt bei der Funktion
> f(x)= [mm]x^2[/mm] , (Intervall 0-4) :
>
> U=
> [mm]0+\bruch{4}{n}^2+\bruch{4}{n}*(2*\bruch{4}{n})^2+\bruch{4}{n}*(3*\bruch{4}{n})^3+....+\bruch{4}{n}*((n-1)*\bruch{4}{n})^2[/mm]
>
> durch Ausklammern(IN JEDER sUMME SIND [mm]\bruch{4}{n}[/mm] UND
> [mm](\bruch{4}{n})^2[/mm] als Faktor enthalten)entsteht daraus :
> U= [mm]\bruch{4}{n}* (\bruch{4}{n})^2*(0+1^2+2^2+3^2+....(n-1)^2)[/mm]
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> NUN BEKOMMEN die für [mm]0^2 +1^2+2^2+3^2+....+n^2[/mm] die Formel
> [mm]\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)[/mm] heraus (steht auch in der
> Formelsammlung,ich weiss aber wie kommt man auf dIESE
> SUMMENREGEL DEN?)
> das gleiche Problem bei einer anderen Funktion
> da bekommen sie für [mm](0^3+1^3+2^3+...+(n-1)^3)[/mm] das
> heraus
> [mm]\bruch{(n-1)^2*n^2}{2^2}[/mm]
> und bei noch einer Funktion bekommen sie für
> [mm](1^4+2^4+3^4+(n-1)^4+n^4)[/mm] das heraus
> [mm]\bruch{(n*(n-1)*(2n+1)*(3n^2+3n-1)}{30}[/mm]
> DAS MIT oBERSUMME und Untersumme versteht ich shcon ich
> versteh das mit der Umformung nur nicht wie diese
> ´´Formel´´ entsteht, die mann in U oder O einsetzen muss um
> den Term umzuformen.
>
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> meine frage (wie oben schon erwähnt ist )
> wie kommt man von [mm]0^2 +1^2+2^2+3^2+....+n^2[/mm] auf die
> Formel
> [mm]\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)[/mm]
> und von
> [mm](0^3+1^3+2^3+...+(n-1)^3)[/mm] auf die Formel
> [mm]\bruch{(n-1)^2*n^2}{2^2}[/mm]
>
> und von
> [mm](1^4+2^4+3^4+(n-1)^4+n^4)[/mm] auf
> [mm]\bruch{(n*(n-1)*(2n+1)*(3n^2+3n-1)}{30}[/mm]
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> ich hab alles Mögliche ausprobliert aber ich komm einfach
> nicht auf diese Umformung!!
> kann mir da einer bitte erklären wie dies
> funktioniert????
Es gibt verschiedene Methoden eine explizite Form der Summen [mm] $s_n:= 1^m+2^m+3^m+\cdots +n^m$, [/mm] für festes [mm] $m\in \IN$ [/mm] zu finden.
Eine einfache, aber etws rechenintensive Methode ist diese: Ist das allgemeine Glied einer Folge [mm] $a_n$ [/mm] wie hier ein Polynom vom $m$-ten Grad in $n$, dann ist das allgemeine Glied der Partialsummen [mm] $s_n [/mm] := [mm] a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ [/mm] ein Polynom in $n$ vom Grad $m+1$.
Angewand auf den noch relativ erträglichen Fall einer Summenformel für [mm] $s_n:= 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2$, [/mm] also $m=2$, bedeutet dies, dass wir den Ansatz [mm] $s_n [/mm] = a [mm] n^3+b n^2+c [/mm] n+d$ machen und aus den ersten vier Werten [mm] $s_1=1, s_2=5, s_3=14$ [/mm] und [mm] $s_4=30$, [/mm] die Formparameter $a,b,c,d$ bestimmen können. Dies bedeutet also, dass man folgendes, in $a,b,c,d$ lineares Gleichungssystem lösen müsste:
[mm]\begin{array}{rcrcrcrcl|}
a &+& b &+& c &+& d &=& 1\\
8a &+& 4b &+& 2c &+& d &=& 5\\
27a &+& 9b &+& 3c &+& d &=& 14\\
64a &+& 16b &+& 4c &+& d &=& 30\\\hline
\end{array}[/mm]
Mit der Lösung $a=1/3, b=1/2,c=1/6,d=0$. Also ist [mm] $s_n=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
[/mm]
Es gibt natürlich auch andere, schlauere Wege eine solche explizite Darstellung von [mm] $s_n$ [/mm] zu finden, aber ich glaube nicht, dass es für Dich an diesem Punkt Deiner Ausbildung sinnvoll ist, allzuviel Zeit damit zu verbringen, spezielle Tricks oder eine zusätzliche Theorie (der arithmetischen Folgen höherer Ordnung) zu lernen: denn schon bald wirst Du Integrale nicht mehr durch direktes Bestimmen des Grenzwertes von Ober- und Untersumme berechnen müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Mo 28.07.2008 | | Autor: | robertl |
hmm zuerstmal danke für deine Antwort..
und vielleicht stelle ich mich gerade dumm an aber...ich verstehe es trotzdem nicht...
wie kommst du auf m+1
und danach auf den Ansatz $ [mm] s_n [/mm] = a [mm] n^3+b n^2+c [/mm] n+d $ und wie schließt du den auf die ersten vier Werten $ [mm] s_1=1, s_2=5, s_3=14 [/mm] $ und $ [mm] s_4=30 [/mm] $,
hmm wie gesagt kann sein,dass ich mich gerade dumm anstelle, aber ich verstehe es beim besten willen nicht....
danke im vorraus
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> hmm zuerstmal danke für deine Antwort..
> und vielleicht stelle ich mich gerade dumm an aber...ich
> verstehe es trotzdem nicht...
> wie kommst du auf m+1
Ist [mm] $s_n$ [/mm] ein Polynom vom Grad $m+1$ in $n$, so ist jedenfalls [mm] $a_n [/mm] := [mm] s_n-s_{n-1}$ [/mm] wie gewünscht ein Polynom vom Grade $m$. Versuchs doch mal mit einem konkreten Beispiel mit $m=1$ oder $m=2$. Aus der Differenz [mm] $s_n-s_{n-1}$ [/mm] fällt notwendigerweise die höchste Potenz von $n$ heraus.
> und danach auf den Ansatz [mm]s_n = a n^3+b n^2+c n+d[/mm]
> und wie schließt du den auf die ersten vier Werten [mm]s_1=1, s_2=5, s_3=14[/mm]
> und [mm]s_4=30 [/mm],
Ich hatte geschrieben, dass [mm] $s_n [/mm] := [mm] 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$ [/mm] sein soll. Dann ist doch [mm] $s_1=1^2=1$, $s_2=1^2+2^2=5$, $s_3=1^2+2^2+3^2=14$ [/mm] und [mm] $s_4=1^1+2^2+3^2+4^2=30$, [/mm] nicht?
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> meine frage (wie oben schon erwähnt ist )
> wie kommt man von [mm]0^2 +1^2+2^2+3^2+....+n^2[/mm] auf die
> Formel
> [mm]\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2n+1)[/mm]
> und von
> [mm](0^3+1^3+2^3+...+(n-1)^3)[/mm] auf die Formel
> [mm]\bruch{(n-1)^2*n^2}{2^2}[/mm]
>
> und von
> [mm](1^4+2^4+3^4+(n-1)^4+n^4)[/mm] auf
> [mm]\bruch{(n*(n-1)*(2n+1)*(3n^2+3n-1)}{30}[/mm]
Hallo,
falls Deine Frage eher in Richtung "Woher weiß man das?" geht:
solche Summen stehen in Formelsammlungen, und ihre Gültigkeit dann zu beweisen, ist gar nicht so schwer.
Die beiden ersten sind typische Übebeispiele, wenn man das Beweisverfahren der vollständigen Induktion übt.
Also: der Autor Deines Textes hat sich diese Umformungen mit großer Wahrscheinlichkeit nicht selbst ausgedacht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:21 Mo 28.07.2008 | | Autor: | robertl |
danke...
hmm ich weiss das es in einer Formelsammlung steht...hab da auch nachgeguckt allerdings möchte ich auch nachvollziehen wie man auf diese formel kommt...die in derFormelsammlung steht..und das hab ich bis jetzt nicht verstanden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:02 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wir sind damals darauf gekommen, in dem man sich die erste n Quadratzahlen hinschreibt, die aufaddiert, und dann eine Regelmäßigkeit festgestellt hat. D.h. einfach durch "Glück" beim richtigen Hinsehen.
Danach aber haben wir die Formel dann via Vollständiger Induktion, so wie Angela es schon sagte, bewiesen.
Es scheint da wohl eine Theorie hinter zu stehen, aber die musst du ganz sicher nicht können.
Also: Das ist kein Problem, wenn man sich denkt: Woher kommt denn diese Formel, das ist ganz normal, dass man die nicht "sieht". Ich meinen spätestens bei deiner letzten Formel kommt da (fast) kein Mensch drauf...
Beste Grüße,
Kroni
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