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| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{1}{n^2}\sum_{j=1}^{2n}j \cdot e^{\bruch{j}{n}}. [/mm] |
Guten Abend,
ich habe eigentlich kein Problem mit dieser Aufgabe, mir ist nur eine Sache nicht ganz klar... Ich schildere am besten mal meinen Gedankengang:
[mm] \lim_{n \to \infty}\bruch{1}{n^2}\sum_{j=1}^{2n}j \cdot e^{\bruch{j}{n}} [/mm]
[mm] = \lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{2n} \bruch{1}{n}*\bruch{j}{n} \cdot e^{\bruch{j}{n}} [/mm]
[mm]= \lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{2n} (\bruch{j}{n} - \bruch{j-1}{n} )*\bruch{j}{n} \cdot e^{\bruch{j}{n}} [/mm]. Nun habe ich k=2n substituiert...
[mm]= \lim_{k \to \infty}\sum_{j=1}^{k} (\bruch{j}{k} - \bruch{j-1}{k} )*4*\bruch{j}{k} \cdot e^{2*\bruch{j}{k}} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{1} 4x*e^{2x}\, dx [/mm]
[mm] = e^2 + 1 [/mm]
Das alles ist ja ganz nett, aber mir ist aufgefallen, dass ich bereits an der Stelle [mm] \lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{2n} (\bruch{j}{n} - \bruch{j-1}{n} )*\bruch{j}{n} \cdot e^{\bruch{j}{n}} [/mm] eine Art oberes Riemann-Integral hatte. Leider ging die Summe bis 2n statt bis n, weswegen ich substituiert habe. Hätte man stattdessen angenommen, dass
[mm] \lim_{n \to \infty}\sum_{j=1}^{2n} (\bruch{j}{n} - \bruch{j-1}{n} )*\bruch{j}{n} \cdot e^{\bruch{j}{n}} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{2} x*e^{x}\, dx [/mm] mit der Begründung, dass die Summe jetzt halt bis 2n läuft statt bis n, so wäre man mit weniger Rechenaufwand auf dasselbe Ergebnis gekommen... Das kam mir ein bisschen sehr auffällig für nen Zufall vor. Kann ich die Integrationsgrenzen einfach proportional mit dem Ende der Summe mitwachsen lassen, vorausgesetzt ich habe eine geeignete Zerlegung? Denn wir haben Obersummen nur mit n als Ende der Summe definiert...
Danke für Antworten,
Melvissimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 23.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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