Offen, Abgeschlossen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:13 Fr 20.04.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Seien A, B [mm] \subset \IR. [/mm] Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) A, B offen [mm] \Rightarrow [/mm] A x B offen
b) A, B abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] A x B abgeschlossen
c) [mm] \partial [/mm] (A x B) = [mm] (\partial [/mm] A x [mm] \overline{B}) \cup (\overline{A} [/mm] x [mm] \partial [/mm] B) |
Hallo,
haben mal wieder Probleme mit Beweisen.
Also A und B scheinen mir so einleuchtend zu sein, aber trotzdem komm ich nicht drauf, wie ich das zeigen kann.
Die Definitionen von "Offen" und "Abgeschlossen" kenn ich. Aber wie wende ich das von 2 Mengen auf ein kartesisches Produkt an??
Wär super, wenn jemand helfen könnte. Danke schon mal!
Gruß Michi
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> Seien A, B [mm]\subset \IR.[/mm] Beweisen Sie folgende Aussagen:
>
> a) A, B offen [mm]\Rightarrow[/mm] A x B offen
> Die Definitionen von "Offen" und "Abgeschlossen" kenn ich.
> Aber wie wende ich das von 2 Mengen auf ein kartesisches
> Produkt an??
Hallo,
bring die Werkzeuge und das Material ruhig mit:
sicher wäre es gut, wenn Du die Definition von "offen" hier aufschreiben würdest, zusammen mit dem benötigten Drumherum, beispielsweise
-falls darin "Umgebung" vorkommt: wie ist das definiert?
-falls "metrischer Raum" vorkommt: welche Metrik?
Dann: was bedeutet es, wenn A und B offen sind?
Danach erst kann's losgehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 20.04.2007 | | Autor: | MichiNes |
Hi Angela!!
Danke für die Antwort. Also unsere Definition von "offene Menge" beinhaltet folgendes: Eine Menge A heißt offen, falls es zu jedem x [mm] \in [/mm] A ein [mm] \varepsilon \ge [/mm] 0 gibt, sodass [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] A.
Abgeschlossen, falls für jede Folge [mm] x_{k} \in [/mm] A mit [mm] x_{k} \rightarrow [/mm] x gilt: x [mm] \in [/mm] A.
"Metrischer Raum" kommt da nicht vor.
Naja jetzt kann ich natürlich anfangen zu folgern....
A offen [mm] \Rightarrow [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] A gibt es ein [mm] \varepsilon \ge [/mm] 0 mit [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] A.
Dasselbe für B.... sagen wir da heißt das Element y.
Ja und dann muss ich ja irgendwie auf (x,y) \ A x B schließen. Und das ist genau das, was ich nicht verstehe.
Also ich hoff ich hab genügend Material mitgebracht 
Gruß Michi
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>Also unsere Definition von "offene
> Menge" beinhaltet folgendes: Eine Menge A heißt offen,
> falls es zu jedem x [mm]\in[/mm] A ein [mm]\varepsilon \ge[/mm] 0 gibt,
> sodass [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] A.
>
> Abgeschlossen, falls für jede Folge [mm]x_{k} \in[/mm] A mit [mm]x_{k} \rightarrow[/mm]
> x gilt: x [mm]\in[/mm] A.
>
> Naja jetzt kann ich natürlich anfangen zu folgern....
> A offen [mm]\Rightarrow[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] A gibt es ein
[mm]\varepsilon_A \ge[/mm] 0 mit [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] A.
> Dasselbe für B.... sagen wir da heißt das Element y.
und das epsilon [mm] \varepsilon_B.
[/mm]
> Ja und dann muss ich ja irgendwie auf (x,y) \ A x B
> schließen. Und das ist genau das, was ich nicht verstehe.
>
> Also ich hoff ich hab genügend Material mitgebracht
Einiges an Material, aber noch nicht genug.
Was ist [mm] B_{\varepsilon}(x), [/mm] die [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um x. Wie ist die definiert? Da kommen doch Abstände/Beträge/Metriken ins Spiel.
Schließlich mußt Du ja zeigen, daß es für jedes c:=(x,y) [mm] \in [/mm] C:=AxB eine [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] gibt, welche komplett in C liegt.
Dafür kannst Du das kleinste der epsilons von oben nehmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 20.04.2007 | | Autor: | MichiNes |
Also mit Metriken kennen wir uns noch nicht so aus, das kam gerade jetzt erst in den Vorlesungen. Aber in Verbindung mit offenen und abgeschlossenen Mengen kam die Metrik noch nicht vor.
Also die [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung ist das offene Intervall [mm] (x-\varepsilon, x+\varepsilon). [/mm] Mehr kenn ich leider noch nicht. Könntest du mir nicht vielleicht einen Ansatz geben, damit ich mal weiterdenken kann??
An dieser Stelle übrigens nochmal ein herzliches Dankeschön für deine regelmäßige Hilfe auch bereits im ersten Semester!! Den Schein hab ich bekommen!!
Gruß Michi
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> Also mit Metriken kennen wir uns noch nicht so aus, das kam
> gerade jetzt erst in den Vorlesungen. Aber in Verbindung
> mit offenen und abgeschlossenen Mengen kam die Metrik noch
> nicht vor.
Hallo,
mir geht es hier um die Definition von [mm] B_{\varepsilon}(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] X.
Das ist ja die offene [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um x.
Was ist das? Das ist die Menge aller Elemente von X, welche von x den Abstand < [mm] \varepsilon [/mm] haben. (Und hier kommst die Metrik ins Spiel: wir brauchen den/einen Abstand!)
Jetzt schauen wir uns die [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um einen Punkt x für [mm] X=\IR [/mm] an. Sie beinhaltet die Punkte, deren Abstand zu x < [mm] \varepsilon [/mm] ist. Das ist genau die von Dir angegebene [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung von x.
> Also die [mm]\varepsilon[/mm] -Umgebung ist das offene Intervall
> [mm](x-\varepsilon, x+\varepsilon).[/mm]
Aufgepaßt:
Mit AxB bewegen wir uns ja in einer Teilmenge des [mm] \IR^2. [/mm]
Intuitiv sollte klar sein, daß die [mm] \varepsilon-Kugeln [/mm] um einen Punkt des [mm] \IR^2 [/mm] offene Kreisscheiben mit dem Radius [mm] \varepsilon [/mm] sind - es sind ja alle Punkte enthalten, die weniger als [mm] \varepsilon [/mm] vom fraglichen Punkt entfernt sind.
Jetzt müssen wir "Entfernung" noch etwas genauer definieren. Wie weit sind zwei Punkte (x,y) und (a,b) voneinander entfernt? [mm] \wurzel{((x-a)^2+(y-b)^2}. [/mm] Das ist die "Länge" des Differenzvektors.
Willst Du nun zeigen, daß für offene Teilmengen A,B des [mm] \IR [/mm] die Teilmenge AxB des [mm] \IR^2 [/mm] offen ist, gilt es, für jedes c [mm] \in [/mm] AxB ein [mm] \varepsilon [/mm] zu finden, so daß [mm] B_{\varepsilon} \subseteq [/mm] AxB.
Wie Du bereits schriebst gibt es, da A und B offen sind, ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 so, daß für alle a [mm] \in [/mm] A gilt
[mm] ]a-\varepsilon, a+varepsilon[\subseteq [/mm] A
und für alle [mm] b\in [/mm] B: [mm] ]b-\varepsilon, b+varepsilon[\subseteq [/mm] B.
Nimm Dir nun ein beliebiges Element [mm] c:=(a,b)\in [/mm] AxB, und zeig, daß die [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um c in AxB liegt.
Dazu ist zu zeigen, daß jedes Element [mm] (x,y)\in B_{\varepsilon}(a,b) [/mm] auch in AxB liegt.
Sei also [mm] (x,y)\in B_{\varepsilon}(a,b).
[/mm]
Dann ist der Abstand zwischen (x,y) und (a,b) kleiner als...,
d.h. [mm] (x-a)^2 [/mm] - ...<....
[mm] ==>(x-a)^2<\varepsilon^2 [/mm] und [mm] (y-b)^2<...
[/mm]
==> ...
==> [mm] x\in [/mm] ]...,...[ und y [mm] \in [/mm] ]...,...[
==> x [mm] \in [/mm] A und y [mm] \in [/mm] ...
==> (x,y) [mm] \in [/mm] ...
>
> Den Schein hab ich bekommen!!
Glückwunsch! Dann haben sich die Mühen ja gelohnt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 21.04.2007 | | Autor: | MichiNes |
Hallo Angela,
ja also:
(x,y) [mm] \in B_{\varepsilon}(a,b) [/mm] heißt, dass der Abstand von (x,y) und (a,b) kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
==> [mm] \wurzel{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}<\varepsilon
[/mm]
Jetzt folgerst du, dass [mm] (x-a)^{2}<\varepsilon^{2} [/mm] und [mm] (y-b)^{2}<...
[/mm]
Das versteh ich aber noch nicht so ganz. Wenn ich quadrier auf beiden Seiten (in der oberen Gleichung mit der Wurzel) dann steht da doch: [mm] (x-a)^{2}+(y-b)^{2}<\varepsilon^{2}
[/mm]
Muss ich vielleicht in der oberen Ungleichung statt Epsilon irgendwas anderes mit Epsilon hinschreiben?? Oder wie kommst du da drauf??
Danke
Gruß Michi
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> ja also:
>
> (x,y) [mm]\in B_{\varepsilon}(a,b)[/mm] heißt, dass der Abstand von
> (x,y) und (a,b) kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] ist.
>
> ==> [mm]\wurzel{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}<\varepsilon[/mm]
>
> Jetzt folgerst du, dass [mm](x-a)^{2}<\varepsilon^{2}[/mm] und
> [mm](y-b)^{2}<...[/mm]
>
> Das versteh ich aber noch nicht so ganz. Wenn ich quadrier
> auf beiden Seiten (in der oberen Gleichung mit der Wurzel)
> dann steht da doch: [mm](x-a)^{2}+(y-b)^{2}<\varepsilon^{2}[/mm]
>
> Muss ich vielleicht in der oberen Ungleichung statt Epsilon
> irgendwas anderes mit Epsilon hinschreiben?? Oder wie
> kommst du da drauf??
Lebenserfahrung...
Es ist alles richtig bisher.
Gucken wir mal [mm] r^2+s^2
[mm] r^2 [/mm] und [mm] s^2 [/mm] sind beide [mm] \ge [/mm] 0.
Kann denn [mm] r^2 \ge t^2 [/mm] sein? Angenommen ja. Dann ist [mm] r^2+s^2\ge t^2+s^2\ge t^2+0=t^2. [/mm] Widerspruch zu [mm] r^2+s^2
Also darf ich so folgern:
> Jetzt folgerst du, dass [mm](x-a)^{2}<\varepsilon^{2}[/mm] und
> [mm](y-b)^{2}<...[/mm]
Gruß v. Angela
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