Offen oder Abgeschlossen < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hey,
Ich hätte folgende Frage:
"Untersuchen Sie ob folgende Menge offen oder abgeschlossen ist"
$M:= [mm] \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy <3\}$
[/mm]
mfg |
Meine Idee ist, dass es um jeden dieser Punkte eine Epsilon Umgebung/Kugel bastle, der die Grenzen aber nicht überschreitet?
Nur wie stelle ich dies am besten an. Bitte um eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mi 26.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
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> Ich hätte folgende Frage:
>
> "Untersuchen Sie ob folgende Menge offen oder abgeschlossen
> ist"
>
> [mm]M:= \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy <3\}[/mm]
>
> mfg
>
> Meine Idee ist, dass es um jeden dieser Punkte eine Epsilon
> Umgebung/Kugel bastle, der die Grenzen aber nicht
> überschreitet?
Du meinst sicher. dass die [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung ganz in M liegt.
Das kannst Du machen. Viel einfacher ist zu zeigen: [mm] A:=\IR^2 \setminus [/mm] M ist abgeschlossen.
Nimm dazu eine konvergente Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] aus A her und zeige, dass ihr Limes wieder zu A gehört.
>
> Nur wie stelle ich dies am besten an. Bitte um eure Hilfe
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> Nimm dazu eine konvergente Folge [mm]((x_n,y_n))[/mm] aus A her und
> zeige, dass ihr Limes wieder zu A gehört.
Ok, wie kann ich das verstehen bzw wie soll ich mir so ein Folge vorstellen.
Nach meiner Definition von M müsste doch dann für A gelten , dass $(x,y) >3$ sind oder?
Wäre dies eine Richtig geählte Folge im [mm] \IR^2:
[/mm]
[mm] $f(\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{(3+1/x) \\ ( 3+1/y)}$
[/mm]
> >
> > Nur wie stelle ich dies am besten an. Bitte um eure Hilfe
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mi 26.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> >
> > Nimm dazu eine konvergente Folge [mm]((x_n,y_n))[/mm] aus A her und
> > zeige, dass ihr Limes wieder zu A gehört.
>
> Ok, wie kann ich das verstehen bzw wie soll ich mir so ein
> Folge vorstellen.
>
> Nach meiner Definition von M müsste doch dann für A
> gelten , dass [mm](x,y) >3[/mm] sind oder?
was soll denn (x,y) >3 bedeuten? ein Punkt om [mm] \IR^2 [/mm] der kleiner einer reellen zahl is???
du meinst vielleicht
$ A:= [mm] \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy >3\} [/mm] $
aber das ist nicht [mm] \IR/M
[/mm]
sondern $ A:= [mm] \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy \ge 3\} [/mm] $
Gruss leduart
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> > Nach meiner Definition von M müsste doch dann für A
> > gelten , dass [mm](x,y) >3[/mm] sind oder?
> was soll denn (x,y) >3 bedeuten? ein Punkt om [mm]\IR^2[/mm] der
> kleiner einer reellen zahl is???
> du meinst vielleicht
> [mm]A:= \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy >3\}[/mm]
> aber das ist
> nicht [mm]\IR/M[/mm]
> sondern [mm]A:= \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy \ge 3\}[/mm]
Sorry, genau das habe ich gemeint. :(
Aber ich versteh nicht wie ich auf eine Folge komme soll.
Ok wenn ich Beispielsweiße den Punkt (1/1) einsetzte sehe ich, dass dies 4 ergibt. Dieser Punkt wäre also in A enthalten.
Somit bastle ich mir eine Folge die ihren Grenzwert auf (1/1) hat oder bin ich da komplett am falsche Weg?
Also
[mm] $f(\vektor{x \\ y})=\begin{cases} \vektor{1+1/x \\ 1+1/y}, & \mbox{für } x,y \not= 0 \\ (1/1), & \mbox{für } x \vee y =0 \end{cases}$
[/mm]
> Gruss leduart
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mi 26.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Nach meiner Definition von M müsste doch dann für A
> > > gelten , dass [mm](x,y) >3[/mm] sind oder?
> > was soll denn (x,y) >3 bedeuten? ein Punkt om [mm]\IR^2[/mm]
> der
> > kleiner einer reellen zahl is???
> > du meinst vielleicht
> > [mm]A:= \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy >3\}[/mm]
> > aber das ist
> > nicht [mm]\IR/M[/mm]
> > sondern [mm]A:= \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy \ge 3\}[/mm]
>
> Sorry, genau das habe ich gemeint. :(
>
>
> Aber ich versteh nicht wie ich auf eine Folge komme soll.
Es gilt: A ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge in A ist auch ihr Limes ein Element von A.
Hattet Ihr diese Char. der Abgeschlossenheit ? Wenn ja, so mußt Du Dir eine beliebige konv. Folge aus A hernehmen. Sei [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine solche. Sei weiter [mm] (x_0,y_0) [/mm] ihr Limes.
Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist also [mm] x_n^2+2y_n^2+x_ny_n \ge [/mm] 3.
Zeige nun Du, dass [mm] x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 \ge [/mm] 3 ist.
Dann bist Du fertig
FRED
>
> Ok wenn ich Beispielsweiße den Punkt (1/1) einsetzte sehe
> ich, dass dies 4 ergibt. Dieser Punkt wäre also in A
> enthalten.
>
> Somit bastle ich mir eine Folge die ihren Grenzwert auf
> (1/1) hat oder bin ich da komplett am falsche Weg?
>
> Also
>
> [mm]f(\vektor{x \\ y})=\begin{cases} \vektor{1+1/x \\ 1+1/y}, & \mbox{für } x,y \not= 0 \\ (1/1), & \mbox{für } x \vee y =0 \end{cases}[/mm]
>
> > Gruss leduart
> >
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> >
> > Aber ich versteh nicht wie ich auf eine Folge komme soll.
>
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> Es gilt: A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente
> Folge in A ist auch ihr Limes ein Element von A.
>
> Hattet Ihr diese Char. der Abgeschlossenheit ? Wenn ja, so
> mußt Du Dir eine beliebige konv. Folge aus A hernehmen.
> Sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine solche. Sei weiter [mm](x_0,y_0)[/mm] ihr
> Limes.
>
> Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] ist also [mm]x_n^2+2y_n^2+x_ny_n \ge[/mm] 3.
>
> Zeige nun Du, dass [mm]x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 \ge[/mm] 3 ist.
Tut mir echt Leid, aber ich stehe voll auf der Leitung.
Heiß dies nun, dass ich zeigen muss das der Abstand von $ [mm] x_n^2+2y_n^2+x_ny_n \ge [/mm] 3$ und $ [mm] x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 \ge [/mm] 3$ ab einem gewissen n kleiner sein muss als epsilon. (Sprich Definizon von Konvergenz)
Also:
[mm] $d(x_n^2+2y_n^2+x_ny_n, x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 [/mm] ) < [mm] \epsilon
[/mm]
________
Andererseits (und da bin echt nicht sicher), könnte ich es doch indirekt versuchen.
Damit meine ich, dass der limes kleiner 3 sein soll und führe dies zu einem Widerspruch.
Angenommen:
$ [mm] x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 [/mm] < $ 3
Dann wäre dieser doch ein Element meiner Offenen Menge M.
Ok, dann müsste es doch eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] um meinen Grenzwert geben. (Stelle ich mir das richtig vor, dass das eine Kugel ist, wo der Grenzwert mein Mittelpunkt ist und mein Radius wäre epsilon. Und diese Kugel liegt in M)
So aber nun der Widerspruch, denn es gilt (laut Definition der Konvergenz) dass [mm] x_n^2+2y_n^2+x_ny_n \rightarrow x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 [/mm] und meine Folge wäre dann ja in meiner Kugel enthalten und nicht in A
hoffe das ist verständlich
>
> Dann bist Du fertig
>
> FRED
> >
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Zusätzlich wäre mir folgendes eingefallen.
Also ich befinde mich doch in der Ebene sprich eine Topologie von [mm] $\left|\binom{x}{y} \right| [/mm] = [mm] \sqrt{x^2 + y^2}$.
[/mm]
Eine Menge ist doch offen wenn ich eine entsprechende epsilon Umgebung für jedes ihrer Punkte finde.
Also war M doch folgendermaßen definiert: $ M:= [mm] \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy <3\} [/mm] $
Bitte verbessert mich , aber im [mm] \IR^2 [/mm] ist $ [mm] \left|\binom{x}{y} \right|=1$ [/mm] ein Kreis mit RAdius 1 um den Ursprung (0,0).
Also müsste meine Menge doch eine Radius um den Ursprung von 3 haben.
Nun muss ich aber eine solche Umgebung für alle meine Punkte$ [mm] \vektor{x \\ y} \in [/mm] M$wählen.
Also wähle ich mein [mm] \epsilon [/mm] folgendermaßen
[mm] $\epsilon [/mm] = 3- [mm] \vektor{x \\ y}= [/mm] 3- [mm] x^2-2y^2-xy [/mm] $
Somit hätte ich eine entsprechende Umgebung und die Menge ist offen
Was sagt ihr dazu?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zusätzlich wäre mir folgendes eingefallen.
>
> Also ich befinde mich doch in der Ebene sprich eine
> Topologie von [mm]\left|\binom{x}{y} \right| = \sqrt{x^2 + y^2}[/mm].
was bedeutet denn bei Dir "eine Ebene sprich eine Topologie"? Benutze
bitte die Begriffe richtig: Schlag' also mal nach, was eine Topologie
eigentlich ist. Dann gibt's sowas wie von Norm induzierte Topologie,
Spurtopologie etc. pp.. Aber nicht einfach irgendwelche Stichwörter
benutzen, die irgendjemand anderes mal verwendet hat und die sich
"schlau" anhören. Ist kein Vorwurf, nur bitte wirklich aufpassen. Wir
sind hier in der Mathematik, da wird nicht mal irgendwas grob mit
irgendwelchen Begrifflichkeiten angekratzt und angedeutet, die man
selbst noch nicht verstanden hat 
> Eine Menge ist doch offen wenn ich eine entsprechende
> epsilon Umgebung für jedes ihrer Punkte finde.
Och, Umgebungen findet man immer - wenn man sich eine schöne
Topologie zurechtstrickt, ist das immer einfach. In einem metrischen
Raum etwa ist allerdings eine Menge genau dann offen, wenn man für
jeden ihrer Punkte eine (vom Punkt abhängige) [mm] $\epsilon$-Umgebung
[/mm]
findet, die auch KOMPLETT zur Menge selbst gehört. Und die
[mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] ist bzgl. des umgebenden metrischen Raums
zu verstehen! Auch hier wieder: Du meintest das vielleicht korrekt,
aber gerade der entscheidende Teil wurde gar nicht formuliert!!
> Also war M doch folgendermaßen definiert: [mm]M:= \{(\vektor{x \\ y})|x^2+2y^2+xy <3\}[/mm]
Na, das ist doch keine Folgerung: Ja, [mm] $M\,$ [/mm] war wohl so definiert!
>
> Bitte verbessert mich , aber im [mm]\IR^2[/mm] ist
> [mm]\left|\binom{x}{y} \right|=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein Kreis mit RAdius 1 um den
> Ursprung (0,0).
Nein: $\|(x,y)^T\|_2=:|(x,y)^T|=1$ ist eine Gleichung, die besagt, dass
der Vektor $(x,y)^T \in \IR^2$ die "Länge" (bzgl. der eukl. Standardnorm
bzw. der durch diese Norm induzierten Metrik) hat.
Aber $\{(x,y)^T \in \IR:\;|(x,y)^T|=1\}$ beschreibt "die Kreislinie des
Kreises mit Mittelpunkt $(0,0)^T \in \IR^2$ mit Radius $1\,.$"
(Diese Menge ist eine "Punktmenge"!)
Und $\{(x,y)^T \in \IR:\;|(x,y)^T| \red{\;\text{<}\;}1\}$ ist "die offene
Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt $(0,0)^T \in \IR^2$ und Radius $1\,.$"
> Also müsste meine Menge doch eine Radius um den Ursprung
> von 3 haben.
Beschreiben wir mal dieseKreislinie:
$$\{(x,y)^T \in \IR^2: |(x,y)^T-(0,0)^T| = 3\}=\{(x,y)^T \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} = 3\}$$
Die entsprechende "offene Kreisscheibe" sieht so aus
$$\{(x,y)^T \in \IR^2: |(x,y)^T-(0,0)^T| \red{\text{ < }} 3\}=\{(x,y)^T \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} \red{\text{ < }} 3\}$$
Wieso sollte nun also gelten
$$\{(x,y)^T \in \IR^2: x^2+2y^2+xy < 3\}=\{(x,y)^T \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} \red{\text{ < }} 3\}$$
Das sehe und glaube ich nicht - aber genau das ist Deine Behauptung!!
Damit sollte sich ergeben, dass der Rest von Dir Dich hier auch nicht
weiter bringen kann - deswegen mache ich hier einen "Cut"!
P.S.
Um Deine Menge $M=\{(x,y)^T \in \IR^2: x^2+2y^2+xy < 3\}$ als
offene Kreisscheibe $U_r(p)$ (Radius $r\,,$ Mittelpunkt $p\,$) zu
erkennen, müsstest Du $M\,$ in die Form
$$U_r((p_1,p_2)^T)=\{(x,y)^T \in \IR^2: \sqrt{(x-p_1)^2+(y-p_2)^2} < r\}$$
bringen. Ich glaube nicht, dass Dir das gelingen wird!
P.P.S
Was anschaulisch ein wenig etwas bringt, ist mal folgendes:
Plotte $f(x):=\sqrt{3/2-7/16*x^2}-x/4$
Wieso? Nun ja, man kann ein wenig rechnen:
$$x^2+2y^2+xy < 3$$
$$\gdw \left(\frac{1}{2*\sqrt{2}}x+\sqrt{2}*y}\right)^2+\frac{7}{8}x^2 < 3$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Sowas kennst Du vielleicht? Aber das bringt auch nur was, um sich ein
wenig die Menge zu veranschaulischen!
Nebenher: Wenn man sich dann $f\,$ und $-f\,$ (in ihren
maximalen Definitionsbereichen bzgl. $\IR$) plotten läßt, schaut's
jedenfalls irgendwie nach einer im Koordinatensystem verdrehten Ellipse
aus. Das aber ggf. mit Koordinatentransformationen wirklich nachzuweisen,
das darf ein Geometrieliebhaber gerne versuchen. Ich hab' hier schon
mehr geometrisches gemacht, als man bei der Aufgabe bräuchte und als
mir lieb ist.
(Außerdem, nach wie vor: Führe Freds Tipp zu Ende, ich hab' Dir quasi
schon fast eine Anleitung gegeben, wo Du nur ein paar Stellen ersetzen
und für Deine Aufgabe anpassen musst - minimales Mitdenken darf man
aber erwarten dürfen. )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > >
> > >
> > > Aber ich versteh nicht wie ich auf eine Folge komme soll.
> >
> >
> > Es gilt: A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente
> > Folge in A ist auch ihr Limes ein Element von A.
> >
> > Hattet Ihr diese Char. der Abgeschlossenheit ? Wenn ja, so
> > mußt Du Dir eine beliebige konv. Folge aus A hernehmen.
> > Sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine solche. Sei weiter [mm](x_0,y_0)[/mm] ihr
> > Limes.
> >
> > Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] ist also [mm]x_n^2+2y_n^2+x_ny_n \ge[/mm] 3.
> >
> > Zeige nun Du, dass [mm]x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 \ge[/mm] 3 ist.
>
> Tut mir echt Leid, aber ich stehe voll auf der Leitung.
>
> Heiß dies nun, dass ich zeigen muss das der Abstand von
> [mm]x_n^2+2y_n^2+x_ny_n \ge 3[/mm] und [mm]x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 \ge 3[/mm]
> ab einem gewissen n kleiner sein muss als epsilon. (Sprich
> Definizon von Konvergenz)
>
> Also:
>
> [mm]$d(x_n^2+2y_n^2+x_ny_n, x_0^2+2y_0^2+x_0y_0[/mm] ) < [mm]\epsilon[/mm]
>
> ________
>
> Andererseits (und da bin echt nicht sicher), könnte ich es
> doch indirekt versuchen.
>
> Damit meine ich, dass der limes kleiner 3 sein soll und
> führe dies zu einem Widerspruch.
>
> Angenommen:
>
> [mm]x_0^2+2y_0^2+x_0y_0 <[/mm] 3
>
> Dann wäre dieser doch ein Element meiner Offenen Menge M.
>
> Ok, dann müsste es doch eine [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung um meinen
> Grenzwert geben. (Stelle ich mir das richtig vor, dass das
> eine Kugel ist, wo der Grenzwert mein Mittelpunkt ist und
> mein Radius wäre epsilon. Und diese Kugel liegt in M)
>
> So aber nun der Widerspruch, denn es gilt (laut Definition
> der Konvergenz) dass [mm]x_n^2+2y_n^2+x_ny_n \rightarrow x_0^2+2y_0^2+x_0y_0[/mm]
> und meine Folge wäre dann ja in meiner Kugel enthalten und
> nicht in A
>
> hoffe das ist verständlich
na, Du drehst ein wenig ab - ich bring' Dich mal auf die Spur:
Ich zeige Dir, dass die Testmenge [mm] $T:=\{(x,y) \in \IR^2: x+y < 1\}$
[/mm]
offen in [mm] $\IR^2$ [/mm] ist.
Dazu zeigen wir, dass [mm] $\tilde{A}:=\IR^2 \setminus [/mm] T$ abgeschlossen ist.
Dabei ist [mm] $\tilde{A}=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist etwa: Wenn wir irgendeine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] aus
[mm] $\tilde{A}$ [/mm] hernehmen (d.h. wir wissen nur, dass [mm] $a_n \in \tilde{A}$ [/mm]
für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt - mehr nicht - hier wird nichts "spezifiziert"!), die im
[mm] $\IR^2$ [/mm] konvergent ist (d.h. es gibt ein $a [mm] \in \IR^2$ [/mm] so, dass
[mm] $$\|a_n-a\|_2=\sqrt{(a^{(n)}_1-a_1)^2+(a^{(n)}_2-a_2)} \to [/mm] 0$$
(bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] - dabei ist [mm] $a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2)$ [/mm] und [mm] $a=(a_1,a_2)$) [/mm] - so muss schon $a [mm] \in \tilde{A}$ [/mm] folgen.
Seien also alle [mm] $a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2) \in \tilde{A}$ [/mm] und es sei [mm] $a=(a_1,a_2)$ [/mm] der [mm] ($\IR^2$-)Grenzwert [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] bzgl. [mm] $\|.\|_2\,.$
[/mm]
1.) Was wissen wir? Wir wissen
[mm] $$a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge [/mm] 1$$
für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] denn es sind ja alle [mm] $a_n \in \tilde{A}\,.$
[/mm]
2.) Was wissen wir noch? Wir wissen zudem
[mm] $$\sqrt{(a^{(n)}_1-a_1)^2+(a^{(n)}_2-a_2)^2} \to [/mm] 0 [mm] \;\;(n \to \infty)$$
[/mm]
3.) Was müssen wir zeigen? Wir müssen zeigen, dass aus obigem
schon [mm] $a=(a_1,a_2) \in \tilde{A}$ [/mm] folgt. Nach Charakterisierung der
Menge [mm] $\tilde{A}$ [/mm] (s.o.) sollten wir also begründen, dass
[mm] $$a_1+a_2 \ge [/mm] 1$$
sein muss.
Siehst Du das? Oben steht, womit wir arbeiten dürfen, und wo wir
hinwollen.
Jetzt kommt die Arbeit, und hier brauchst Du eine minimale Kenntnis:
Beweise, dass aus 2.) folgt, dass die "Koordinatenfolgen"
[mm] $(a^{(n)}_1)_n$ [/mm] und [mm] $(a^{(n)}_2)_n\,,$ [/mm] das sind beides Folgen in
[mm] $\IR\,,$ [/mm] konvergieren, und zwar gilt [mm] $a^{(n)}_1 \to a_1$ [/mm] und
[mm] $a^{(n)}_2 \to a_2$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm] (Auch die Grenzwerte sind zu
begründen!)
(Aus Faulheitsgründen verweise ich nun einfach auf ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17 dieses Skripts (klick me!)!)
Damit gilt also bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
[mm] $$a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \to a_1+a_2\,,$$
[/mm]
weil die Summenfolge zweier konvergenter Folgen... was macht... und
wogegen?
Wie erkennt man nun alleine durch das Wissen für in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente
Folgen und dem Wissen [mm] $a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge [/mm] 1$ für alle [mm] $n\,,$ [/mm]
dass damit nun [mm] $a_1+a_2 \ge [/mm] 1$ sein - und damit $a [mm] \in \tilde{A}$ [/mm] - sein muss?
Naja, man weiß ja: Ist [mm] $(r_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $r_n \ge [/mm] s$
(oder $r > [mm] s\,$) [/mm] für alle (bis auf endlich viele) [mm] $n\,$ [/mm] und wenn [mm] $r_n \to [/mm] r$
konvergiert, dann muss schon $r [mm] \ge [/mm] s$ sein. Und falls Du das nicht weißt:
Beweise es! Denn das brauchst Du hier.
Komplettiere also mal obiges und danach versuche mal, das alles analog
auf Deine Aufgabe zu übertragen. Da gibt's im Endeffekt nur noch die
Anwendung eines kleinen Zusatzwissens, etwa für die Produktfolge
gebildet aus zwei ...
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Hey, danke erstmal für deine Umfangreichen Antworten.
Dennoch habe ich ein paar Zwischenfragen gepostet... |
>
> na, Du drehst ein wenig ab - ich bring' Dich mal auf die
> Spur:
> Ich zeige Dir, dass die Testmenge [mm]T:=\{(x,y) \in \IR^2: x+y < 1\}[/mm]
>
> offen in [mm]\IR^2[/mm] ist.
>
> Dazu zeigen wir, dass [mm]\tilde{A}:=\IR^2 \setminus T[/mm]
> abgeschlossen ist.
>
> Dabei ist [mm]\tilde{A}=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}\,.[/mm]
>
> Zu zeigen ist etwa: Wenn wir irgendeine Folge [mm](a_n)_n[/mm] aus
> [mm]\tilde{A}[/mm] hernehmen (d.h. wir wissen nur, dass [mm]a_n \in \tilde{A}[/mm]
> für alle [mm]n\,[/mm] gilt - mehr nicht - hier wird nichts
> "spezifiziert"!), die im
> [mm]\IR^2[/mm] konvergent ist (d.h. es gibt ein [mm]a \in \IR^2[/mm] so, dass
> [mm]\|a_n-a\|_2=\sqrt{(a^{(n)}_1-a_1)^2+(a^{(n)}_2-a_2)} \to 0[/mm]
Das gilt r nur wenn n [mm] \rightarrow \infty [/mm] oder? (Unten hast du es dazugeschrieben und ich möchte nur sicher gehen)
>
> (bei [mm]n \to \infty[/mm] - dabei ist [mm]a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2)[/mm] und
> [mm]a=(a_1,a_2)[/mm]) - so muss schon [mm]a \in \tilde{A}[/mm] folgen.
>
> Seien also alle [mm]a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2) \in \tilde{A}[/mm] und
> es sei [mm]a=(a_1,a_2)[/mm] der ([mm]\IR^2[/mm]-)Grenzwert von [mm](a_n)_n[/mm] bzgl.
> [mm]\|.\|_2\,.[/mm]
>
> 1.) Was wissen wir? Wir wissen
> [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge 1[/mm]
> für alle [mm]n \in \IN\,,[/mm] denn es
> sind ja alle [mm]a_n \in \tilde{A}\,.[/mm]
>
> 2.) Was wissen wir noch? Wir wissen zudem
> [mm]\sqrt{(a^{(n)}_1-a_1)^2+(a^{(n)}_2-a_2)^2} \to 0 \;\;(n \to \infty)[/mm]
>
> 3.) Was müssen wir zeigen? Wir müssen zeigen, dass aus
> obigem
> schon [mm]a=(a_1,a_2) \in \tilde{A}[/mm] folgt. Nach
> Charakterisierung der
> Menge [mm]\tilde{A}[/mm] (s.o.) sollten wir also begründen, dass
> [mm]a_1+a_2 \ge 1[/mm]
> sein muss.
>
> Siehst Du das? Oben steht, womit wir arbeiten dürfen, und
> wo wir
> hinwollen.
>
> Jetzt kommt die Arbeit, und hier brauchst Du eine minimale
> Kenntnis:
> Beweise, dass aus 2.) folgt, dass die "Koordinatenfolgen"
> [mm](a^{(n)}_1)_n[/mm] und [mm](a^{(n)}_2)_n\,,[/mm] das sind beides Folgen
> in
> [mm]\IR\,,[/mm] konvergieren, und zwar gilt [mm]a^{(n)}_1 \to a_1[/mm] und
> [mm]a^{(n)}_2 \to a_2[/mm] bei [mm]n \to \infty\,.[/mm] (Auch die Grenzwerte
> sind zu
> begründen!)
> (Aus Faulheitsgründen verweise ich nun einfach auf
> Bemerkung 8.17 dieses Skripts (klick me!)!)
Ok, das habe ich verstanden, habe auch dazu einige Aufgabe gelöst Siehe (http://www.matheforum.net/read?i=894388)
>
> Damit gilt also bei [mm]n \to \infty[/mm]
> [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \to a_1+a_2\,,[/mm]
>
> weil die Summenfolge zweier konvergenter Folgen... was
> macht... und
> wogegen?
Ok, wenn ich das richtig Verstanden habe, sind meine Koordinaten [mm] (a_1, a_2) [/mm] doch einzelne Folgen. Und bei der Summenfolge gilt, wenn [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] konvergieren, so konvergiert auch [mm] (a_1 +a_2) [/mm]
Also gilt: (Zitat Marcel)
"Damit gilt also bei [mm]n \to \infty[/mm]
[mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \to a_1+a_2\,,[/mm]
"
>
> Wie erkennt man nun alleine durch das Wissen für in [mm]\IR[/mm]
> konvergente
> Folgen und dem Wissen [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge 1[/mm] für alle
> [mm]n\,,[/mm]
> dass damit nun [mm]a_1+a_2 \ge 1[/mm] sein - und damit [mm]a \in \tilde{A}[/mm]
> - sein muss?
>
> Naja, man weiß ja: Ist [mm](r_n)_n[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]r_n \ge s[/mm]
> (oder [mm]r > s\,[/mm]) für alle (bis auf endlich viele) [mm]n\,[/mm] und
> wenn [mm]r_n \to r[/mm]
> konvergiert, dann muss schon [mm]r \ge s[/mm] sein.
> Und falls Du das nicht weißt:
> Beweise es! Denn das brauchst Du hier.
Die letzten 2 Absätze verstehe ich nicht ganz:
Bsp man wähle die Folge f(k)= [mm] \bruch{1}{k} [/mm] für k [mm] \in \IN [/mm] zusätzlich, wähle s ist [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Ok nun gilt doch für die Folgeglieder mit k=1 und k=2 das Sie größer als s sind (Sprich [mm] k_{1,2} [/mm] > s). Nun gilt aber wenn ich mit k bis ins Unendliche gehe
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k} [/mm] = 0 < s
Also wäre mein Grenzwert dieser Folge doch kleiner als mein s. Was ein Widerspruch zu deiner Aussage wäre. Bitte kläre mich auf wo mein Denkfehler liegt
mfg
>
> Komplettiere also mal obiges und danach versuche mal, das
> alles analog
> auf Deine Aufgabe zu übertragen. Da gibt's im Endeffekt
> nur noch die
> Anwendung eines kleinen Zusatzwissens, etwa für die
> Produktfolge
> gebildet aus zwei ...
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Do 27.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey, danke erstmal für deine Umfangreichen Antworten.
>
> Dennoch habe ich ein paar Zwischenfragen gepostet...
> >
> > na, Du drehst ein wenig ab - ich bring' Dich mal auf die
> > Spur:
> > Ich zeige Dir, dass die Testmenge [mm]T:=\{(x,y) \in \IR^2: x+y < 1\}[/mm]
>
> >
> > offen in [mm]\IR^2[/mm] ist.
> >
> > Dazu zeigen wir, dass [mm]\tilde{A}:=\IR^2 \setminus T[/mm]
> > abgeschlossen ist.
> >
> > Dabei ist [mm]\tilde{A}=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}\,.[/mm]
> >
> > Zu zeigen ist etwa: Wenn wir irgendeine Folge [mm](a_n)_n[/mm] aus
> > [mm]\tilde{A}[/mm] hernehmen (d.h. wir wissen nur, dass [mm]a_n \in \tilde{A}[/mm]
> > für alle [mm]n\,[/mm] gilt - mehr nicht - hier wird nichts
> > "spezifiziert"!), die im
> > [mm]\IR^2[/mm] konvergent ist (d.h. es gibt ein [mm]a \in \IR^2[/mm] so, dass
> > [mm]\|a_n-a\|_2=\sqrt{(a^{(n)}_1-a_1)^2+(a^{(n)}_2-a_2)} \to 0[/mm]
>
> Das gilt r nur wenn n [mm]\rightarrow \infty[/mm] oder?
Ja.
> (Unten hast
> du es dazugeschrieben und ich möchte nur sicher gehen)
>
> >
> > (bei [mm]n \to \infty[/mm] - dabei ist [mm]a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2)[/mm] und
> > [mm]a=(a_1,a_2)[/mm]) - so muss schon [mm]a \in \tilde{A}[/mm] folgen.
> >
> > Seien also alle [mm]a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2) \in \tilde{A}[/mm] und
> > es sei [mm]a=(a_1,a_2)[/mm] der ([mm]\IR^2[/mm]-)Grenzwert von [mm](a_n)_n[/mm] bzgl.
> > [mm]\|.\|_2\,.[/mm]
> >
> > 1.) Was wissen wir? Wir wissen
> > [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge 1[/mm]
> > für alle [mm]n \in \IN\,,[/mm]
> denn es
> > sind ja alle [mm]a_n \in \tilde{A}\,.[/mm]
> >
> > 2.) Was wissen wir noch? Wir wissen zudem
> > [mm]\sqrt{(a^{(n)}_1-a_1)^2+(a^{(n)}_2-a_2)^2} \to 0 \;\;(n \to \infty)[/mm]
>
> >
> > 3.) Was müssen wir zeigen? Wir müssen zeigen, dass aus
> > obigem
> > schon [mm]a=(a_1,a_2) \in \tilde{A}[/mm] folgt. Nach
> > Charakterisierung der
> > Menge [mm]\tilde{A}[/mm] (s.o.) sollten wir also begründen, dass
> > [mm]a_1+a_2 \ge 1[/mm]
> > sein muss.
> >
> > Siehst Du das? Oben steht, womit wir arbeiten dürfen, und
> > wo wir
> > hinwollen.
> >
> > Jetzt kommt die Arbeit, und hier brauchst Du eine minimale
> > Kenntnis:
> > Beweise, dass aus 2.) folgt, dass die
> "Koordinatenfolgen"
> > [mm](a^{(n)}_1)_n[/mm] und [mm](a^{(n)}_2)_n\,,[/mm] das sind beides Folgen
> > in
> > [mm]\IR\,,[/mm] konvergieren, und zwar gilt [mm]a^{(n)}_1 \to a_1[/mm] und
> > [mm]a^{(n)}_2 \to a_2[/mm] bei [mm]n \to \infty\,.[/mm] (Auch die Grenzwerte
> > sind zu
> > begründen!)
> > (Aus Faulheitsgründen verweise ich nun einfach auf
> >
> Bemerkung 8.17 dieses Skripts (klick me!)!)
>
> Ok, das habe ich verstanden, habe auch dazu einige Aufgabe
> gelöst Siehe (http://www.matheforum.net/read?i=894388)
> >
> > Damit gilt also bei [mm]n \to \infty[/mm]
> > [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \to a_1+a_2\,,[/mm]
>
> >
> > weil die Summenfolge zweier konvergenter Folgen... was
> > macht... und
> > wogegen?
>
> Ok, wenn ich das richtig Verstanden habe, sind meine
> Koordinaten [mm](a_1, a_2)[/mm] doch einzelne Folgen.
Nein. [mm](a_1, a_2)[/mm] ist der Grenzwert der Folge [mm] $a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2) [/mm] $
Es war etwas ungeschickt von Marcel, die Folge mit [mm] (a_n) [/mm] zu bezeichnen und ihren Limes mit [mm](a_1, a_2)[/mm].
> Und bei der
> Summenfolge gilt, wenn [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] konvergieren, so
> konvergiert auch [mm](a_1 +a_2)[/mm]
>
> Also gilt: (Zitat Marcel)
>
> "Damit gilt also bei [mm]n \to \infty[/mm]
> [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \to a_1+a_2\,,[/mm]
>
> "
>
> >
> > Wie erkennt man nun alleine durch das Wissen für in [mm]\IR[/mm]
> > konvergente
> > Folgen und dem Wissen [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge 1[/mm] für
> alle
> > [mm]n\,,[/mm]
> > dass damit nun [mm]a_1+a_2 \ge 1[/mm] sein - und damit [mm]a \in \tilde{A}[/mm]
> > - sein muss?
> >
> > Naja, man weiß ja: Ist [mm](r_n)_n[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] mit [mm]r_n \ge s[/mm]
> > (oder [mm]r > s\,[/mm]) für alle (bis auf endlich viele) [mm]n\,[/mm] und
> > wenn [mm]r_n \to r[/mm]
> > konvergiert, dann muss schon [mm]r \ge s[/mm]
> sein.
> > Und falls Du das nicht weißt:
> > Beweise es! Denn das brauchst Du hier.
>
> Die letzten 2 Absätze verstehe ich nicht ganz:
>
> Bsp man wähle die Folge f(k)= [mm]\bruch{1}{k}[/mm] für k [mm]\in \IN[/mm]
> zusätzlich, wähle s ist [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ok nun gilt doch für die Folgeglieder mit k=1 und k=2 das
> Sie größer als s sind (Sprich [mm]k_{1,2}[/mm] > s). Nun gilt aber
> wenn ich mit k bis ins Unendliche gehe
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}[/mm] = 0 < s
>
> Also wäre mein Grenzwert dieser Folge doch kleiner als
> mein s. Was ein Widerspruch zu deiner Aussage wäre. Bitte
> kläre mich auf wo mein Denkfehler liegt
Es gilt f(k) > s nur für k=1 und k=2 !!!!
FRED
>
> mfg
>
>
>
> >
> > Komplettiere also mal obiges und danach versuche mal, das
> > alles analog
> > auf Deine Aufgabe zu übertragen. Da gibt's im
> Endeffekt
> > nur noch die
> > Anwendung eines kleinen Zusatzwissens, etwa für die
> > Produktfolge
> > gebildet aus zwei ...
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
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> > Bsp man wähle die Folge f(k)= [mm]\bruch{1}{k}[/mm] für k [mm]\in \IN[/mm]
> > zusätzlich, wähle s ist [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> >
> > Ok nun gilt doch für die Folgeglieder mit k=1 und k=2 das
> > Sie größer als s sind (Sprich [mm]k_{1,2}[/mm] > s). Nun gilt aber
> > wenn ich mit k bis ins Unendliche gehe
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{k}[/mm] = 0 < s
> >
> > Also wäre mein Grenzwert dieser Folge doch kleiner als
> > mein s. Was ein Widerspruch zu deiner Aussage wäre. Bitte
> > kläre mich auf wo mein Denkfehler liegt
>
>
> Es gilt f(k) > s nur für k=1 und k=2 !!!!
ja auf das will ich ja hinaus, den der Limes von f(k) ist ja dann 0 und somit kleiner als s. Das ist doch dann ein Widerspruch zu dem was Marcel schreibt:
Zitat Marcel
"Naja, man weiß ja: Ist $ [mm] (r_n)_n [/mm] $ eine Folge in $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ [mm] r_n \ge [/mm] s $
(oder $ r > [mm] s\, [/mm] $) für alle (bis auf endlich viele) $ [mm] n\, [/mm] $ und wenn $ [mm] r_n \to [/mm] r $
konvergiert, dann muss schon $ r [mm] \ge [/mm] s $ sein. Und falls Du das nicht weißt:
Beweise es! Denn das brauchst Du hier.
"
hmm aber wo liegt hier mein Denkfehler??
Danke
>
> FRED
>
>
> >
> > mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 27.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Marcel schrieb:
Ist [mm] (r_n) [/mm] konvergent und gilt [mm] r_n \ge [/mm] s für alle n bis auf endlich viele n, so ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}r_n \ge [/mm] s.
Ist nun [mm] r_n=1/n [/mm] und s=1/3, so gilt nicht:
[mm] r_n \ge [/mm] s für alle n bis auf endlich viele n,
sondern:
[mm] r_n \ge [/mm] s für gerade mal 2 nat. Zahlen n.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steffen,
Fred hat's ja eigentlich schon erklärt, ich sag's mal mit anderen Worten:
Wir testen mal, ob [mm] $r_n:=1/n$ [/mm] und $s:=1/3$ erfüllt:
Gilt [mm] $r_n \ge [/mm] s$ für alle bis auf endlich viele [mm] $n\,$?
[/mm]
Es ist [mm] $r_1=1/1=1 \ge 1/3\,.$
[/mm]
Es ist [mm] $r_2=1/2 \ge 1/3\,.$
[/mm]
Es ist [mm] $r_3=1/3 \ge 1/3\,.$
[/mm]
Für drei (Fred hat sich verzählt, oder er dachte schon automatisch an
die Aussage mit [mm] $>\,$) $n\,$ [/mm] ist jedenfalls [mm] $r_n \ge 1/3\,.$
[/mm]
Nun ist [mm] $r_n [/mm] < s$ für alle $n [mm] \ge 4\,,$ [/mm] da $1/n < 1/3=s$ für alle
$n [mm] \ge 4\,.$ [/mm] Das heißt, es gilt [mm] $r_n [/mm] < s$ für unendlich viele [mm] $n\,.$
[/mm]
Damit ist meine Aussage nicht anwendbar, weil die Voraussetzungen
des Satzes nicht erfüllt sind.
P.S.
Beachte, dass "alle bis auf endlich viele" und "unendlich viele" nicht das
gleiche bedeuten! Grob kann man sagen, dass "alle bis auf endlich viele"
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] "unendlich viele" gilt, aber es gilt nicht
"unendlich viele" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] "alle bis auf endlich viele".
Bsp.:
Bei der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n:=(-1)^n*\left(1-\frac{1}{n}\right)=(-1)^n+(-1)^{n+1}*\frac [/mm] 1 n$ gilt etwa
[mm] $$|a_n| \ge [/mm] 7/8 [mm] \text{ für alle } [/mm] n [mm] \text{ bis auf endliche viele Ausnahmen}\,.$$
[/mm]
(Warum?)
Weiter gilt
[mm] $$a_n \ge [/mm] 0 [mm] \text{ für unendlich viele }n\,.$$
[/mm]
Aber weil auch
[mm] $$a_n [/mm] < 0 [mm] \text{ für unendlich viele }n$$
[/mm]
ist, kann nicht(!!)
[mm] $$a_n \ge [/mm] 0 [mm] \text{ für alle }n \text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}$$
[/mm]
gelten!
Beweise meine Behauptungen und mach'Dir das dringend klar.
Formal bedeutet übrigens, dass eine Aussage [mm] $A(n)\,$ [/mm] für alle [mm] $n\,$ [/mm] bis auf
endliche viele Ausnahmen gilt das folgende:
Es gibt ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so, dass $A(n)$ wahr ist für alle $n [mm] \ge n_0\,.$ [/mm]
(Anders gesagt: Dass [mm] $A(n)\,$ [/mm] falsch ist kann nur sein, wenn
[mm] $n\,$ [/mm] innerhalb der endlichen Menge [mm] $\{1,...,n_0\}$ [/mm] aufzufinden ist!)
Gruß,
Marcel
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> Hallo Steffen,
>
> Fred hat's ja eigentlich schon erklärt, ich sag's mal mit
> anderen Worten:
> Wir testen mal, ob [mm]r_n:=1/n[/mm] und [mm]s:=1/3[/mm] erfüllt:
>
> Gilt [mm]r_n \ge s[/mm] für alle bis auf endlich viele [mm]n\,[/mm]?
>
> Es ist [mm]r_1=1/1=1 \ge 1/3\,.[/mm]
>
> Es ist [mm]r_2=1/2 \ge 1/3\,.[/mm]
>
> Es ist [mm]r_3=1/3 \ge 1/3\,.[/mm]
>
> Für drei (Fred hat sich verzählt, oder er dachte schon
> automatisch an
> die Aussage mit [mm]>\,[/mm]) [mm]n\,[/mm] ist jedenfalls [mm]r_n \ge 1/3\,.[/mm]
>
> Nun ist [mm]r_n < s[/mm] für alle [mm]n \ge 4\,,[/mm] da [mm]1/n < 1/3=s[/mm] für
> alle
> [mm]n \ge 4\,.[/mm] Das heißt, es gilt [mm]r_n < s[/mm] für unendlich viele
> [mm]n\,.[/mm]
> Damit ist meine Aussage nicht anwendbar, weil die
> Voraussetzungen
> des Satzes nicht erfüllt sind.
>
> P.S.
> Beachte, dass "alle bis auf endlich viele" und "unendlich
> viele" nicht das
> gleiche bedeuten! Grob kann man sagen, dass "alle bis auf
> endlich viele"
> [mm]\Rightarrow[/mm] "unendlich viele" gilt, aber es gilt nicht
> "unendlich viele" [mm]\Rightarrow[/mm] "alle bis auf endlich
> viele".
>
> Bsp.:
> Bei der Folge [mm](a_n)_n[/mm] mit
> [mm]a_n:=(-1)^n*\left(1-\frac{1}{n}\right)=(-1)^n+(-1)^{n+1}*\frac 1 n[/mm]
> gilt etwa
> [mm]|a_n| \ge 7/8 \text{ für alle } n \text{ bis auf endliche viele Ausnahmen}\,.[/mm]
>
> (Warum?)
Hierbei meinst du doch meine Ausnahmen bis n=8 (wenn ich mit nicht verzählt habe. Also endlich viele.
>
> Weiter gilt
> [mm]a_n \ge 0 \text{ für unendlich viele }n\,.[/mm]
>
> Aber weil auch
> [mm]a_n < 0 \text{ für unendlich viele }n[/mm]
> ist, kann
> nicht(!!)
> [mm]a_n \ge 0 \text{ für alle }n \text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}[/mm]
>
> gelten!
>
> Beweise meine Behauptungen und mach'Dir das dringend klar.
Ok ich habe mir gedacht, dass die Folge [mm] a_n [/mm] doch aus zwei Teilfolgen besteht, für gerade und ungerade n.
Der Grenzwert für unendlich viele Gerade n liegt doch bei 1
Im Gegenteil dazu liegt der bei Ungeraden, bei Minus 1
Da ich aber jeweils unendlich viele Gerade oder Ungerade habe, müssten doch deine beiden Aussage stimmen
Also:
für n gerade
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 1
für n ungerade
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = -1
Komme wir zur dritten Aussage. Wenn das gilt soll, dann müsste diese Folge doch irgendwann (in endlichvielen /abzählbaren n) nur noch positiv sein. Also Beide Teilfolgen müssten größer 0 werden.
Dies ist aber nicht der FAll, denn wie gesagt bei ungeraden bleibe ich unter der 0 und bleibe auch dort.
Hast du das so gemeint?
Wie ich den Beweis bezüglich, deiner Folge mit [mm] r_n [/mm] ansetzen soll fehlen mir noch die Ideen. Oder soll ich statt dem s mit Beschränktheit argumentieren?
Denn per Definition Ist eine Folge nur dann Konvergent wenn Sie monoton und Beschränkt ist.
Wir wissen doch, dass [mm] r_n [/mm] gegen r konvergiert also muss Sie demnach monoton und beschränkt sein.
Angenommen ich habe nun s als meine untere Schranke von [mm] r_n [/mm] dann gilt
[mm] r_n \ge [/mm] s.
1)Fall sollte die Folge monoton steigend sein,muss [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}r_n \ge r_n \ge [/mm] s für alle n bis auf endlich viele Ausnahmen
2) Fall sollte die Folge monoton fallend sein, so muss ich aufjedenfall in meinen Grenzen bleiben. also [mm] r_n \ge [/mm] r [mm] \ge [/mm] s für alle n bis auf endlich viele Ausnahmen
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Steffen,
> >
> > Fred hat's ja eigentlich schon erklärt, ich sag's mal mit
> > anderen Worten:
> > Wir testen mal, ob [mm]r_n:=1/n[/mm] und [mm]s:=1/3[/mm] erfüllt:
> >
> > Gilt [mm]r_n \ge s[/mm] für alle bis auf endlich viele [mm]n\,[/mm]?
> >
> > Es ist [mm]r_1=1/1=1 \ge 1/3\,.[/mm]
> >
> > Es ist [mm]r_2=1/2 \ge 1/3\,.[/mm]
> >
> > Es ist [mm]r_3=1/3 \ge 1/3\,.[/mm]
> >
> > Für drei (Fred hat sich verzählt, oder er dachte schon
> > automatisch an
> > die Aussage mit [mm]>\,[/mm]) [mm]n\,[/mm] ist jedenfalls [mm]r_n \ge 1/3\,.[/mm]
>
> >
> > Nun ist [mm]r_n < s[/mm] für alle [mm]n \ge 4\,,[/mm] da [mm]1/n < 1/3=s[/mm] für
> > alle
> > [mm]n \ge 4\,.[/mm] Das heißt, es gilt [mm]r_n < s[/mm] für unendlich viele
> > [mm]n\,.[/mm]
> > Damit ist meine Aussage nicht anwendbar, weil die
> > Voraussetzungen
> > des Satzes nicht erfüllt sind.
> >
> > P.S.
> > Beachte, dass "alle bis auf endlich viele" und
> "unendlich
> > viele" nicht das
> > gleiche bedeuten! Grob kann man sagen, dass "alle bis
> auf
> > endlich viele"
> > [mm]\Rightarrow[/mm] "unendlich viele" gilt, aber es gilt nicht
> > "unendlich viele" [mm]\Rightarrow[/mm] "alle bis auf endlich
> > viele".
> >
> > Bsp.:
> > Bei der Folge [mm](a_n)_n[/mm] mit
> >
> [mm]a_n:=(-1)^n*\left(1-\frac{1}{n}\right)=(-1)^n+(-1)^{n+1}*\frac 1 n[/mm]
> > gilt etwa
> > [mm]|a_n| \ge 7/8 \text{ für alle } n \text{ bis auf endliche viele Ausnahmen}\,.[/mm]
>
> >
> > (Warum?)
>
> Hierbei meinst du doch meine Ausnahmen bis n=8 (wenn ich
> mit nicht verzählt habe. Also endlich viele.
genau: Es gilt nämlich [mm] $|a_n|=1-1/n\,,$ [/mm] und weil [mm] $(1/n)_n$ [/mm] gegen 0
fallend ist, ist [mm] $(1-1/n)_n$ [/mm] (gegen 1) wachsend. Nun ist [mm] $1-1/8=7/8\,,$
[/mm]
also ist [mm] $|a_n|=1-1/n \ge [/mm] 7/8$ für alle $n [mm] \ge 8\,,$ [/mm] d.h. [mm] $|a_n| [/mm] < 7/8$
gilt nur für die ersten 7 [mm] $n\,.$ [/mm] Ist halt die Frage, ob bei Dir das [mm] $n=8\,$
[/mm]
ein [mm] $8\,$-ausschließendes $n\,$ [/mm] war. Aber das Zählen ist nicht so wichtig
hier... das kannst Du Dir nochmal selbst beibringen.
>
> >
> > Weiter gilt
> > [mm]a_n \ge 0 \text{ für unendlich viele }n\,.[/mm]
> >
> > Aber weil auch
> > [mm]a_n < 0 \text{ für unendlich viele }n[/mm]
> > ist, kann
> > nicht(!!)
> > [mm]a_n \ge 0 \text{ für alle }n \text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}[/mm]
>
> >
> > gelten!
> >
> > Beweise meine Behauptungen und mach'Dir das dringend klar.
>
> Ok ich habe mir gedacht, dass die Folge [mm]a_n[/mm] doch aus zwei
> Teilfolgen besteht, für gerade und ungerade n.
>
> Der Grenzwert für unendlich viele Gerade n liegt doch bei
> 1
Du meinst das richtige - drückst Dich aber "komisch" aus: Der Grenzwert
der Teilfolge mit den Geraden [mm] $n\,$'s [/mm] (derer gibt's unendlich viele) ist [mm] $1\,.$
[/mm]
> Im Gegenteil dazu liegt der bei Ungeraden, bei Minus 1
Im "Gegensatz" dazu, nicht Gegenteil!
> Da ich aber jeweils unendlich viele Gerade oder Ungerade
> habe, müssten doch deine beiden Aussage stimmen
>
> Also:
> für n gerade
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = 1
>
> für n ungerade
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = -1
Das kann man daraus folgern, aber es geht doch viel einfacher. Schreib'
Dir einfach mal [mm] $a_n$ [/mm] auf für gerade und ungerade [mm] $n\,.$ [/mm] Dann denk'
drüber nach, wie man erkennt, ob dann [mm] $a_n [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] oder [mm] $a_n [/mm] < 0$ gilt!
> Komme wir zur dritten Aussage. Wenn das gilt soll, dann
> müsste diese Folge doch irgendwann (in endlichvielen
> /abzählbaren n) nur noch positiv sein. Also Beide
> Teilfolgen müssten größer 0 werden.
Besser sagen wir: Beide Teilfolgen müssten insbesondere irgendwann
immer größer 0 werden.
> Dies ist aber nicht der FAll, denn wie gesagt bei ungeraden
> bleibe ich unter der 0 und bleibe auch dort.
>
>
> Hast du das so gemeint?
Ja, so in etwa. Ich denke, dass Du das korrekt meinst!
> Wie ich den Beweis bezüglich, deiner Folge mit [mm]r_n[/mm]
> ansetzen soll fehlen mir noch die Ideen. Oder soll ich
> statt dem s mit Beschränktheit argumentieren?
Na, man kann' sich etwa einen Widerspruchsbeweis bauen (man kann auch
einen direkten Beweis führen, aber ich finde den Widerspruchsbeweis
irgendwie schöner):
Es sei [mm] $r_n \ge [/mm] s$ für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] mit einem [mm] $n_0\,,$ [/mm] und es gelte
[mm] $r_n \to r\,.$ [/mm] Nehmen wir an, [mm] $r\,$ [/mm] wolle nun doch $< [mm] s\,$ [/mm] sein. Unter
der Annahme $r < [mm] s\,$ [/mm] ist aber [mm] $\epsilon_0:=s-r [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Nun konvergiert aber [mm] $r_n \to r\,,$ [/mm] deswegen wird es ein
[mm] $N=N_{\epsilon_0}$ [/mm] so geben, dass [mm] $|r_n-r| [/mm] < [mm] \epsilon_0$ [/mm] für alle
$n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Ohne Einschränkung kann man $N [mm] \ge n_0$ [/mm] annehmen.
Dann folgt aber für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $$(\*)\;\;\;0 \le |r_n-s|=r_n-s=r_n-r+r-s=r_n-r-\epsilon_0\,.$$
[/mm]
Für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt aber auch (s.o.)
[mm] $$-\epsilon_0 [/mm] < [mm] r_n-r [/mm] < [mm] \epsilon_0\,.$$
[/mm]
Siehst Du, dass man damit in [mm] $(\*)$ [/mm] einen Widerspruch erhält?
P.S.
"Anschaulich" ist der folgende Beweis aber vielleicht besser verständlich:
Nimm' an, es sei [mm] $r_n \ge [/mm] s$ für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und es gelte [mm] $r_n \to [/mm] r$
mit $r < [mm] s\,.$ [/mm] Betrachte die Umgebung [mm] $]r-(s-r),\;r+(s-r)[=]2r-s,\;s[\,.$
[/mm]
Nach Annahme ist $2r-s < [mm] s\,,$ [/mm] also die offene Umgebung (das offene
Intervall) nicht leer und es hat den Mittelpunkt
[mm] $$\frac{r-(s-r)+r+(s-r)}{2}=r\,.$$ [/mm]
Wegen der Konvergenz [mm] $r_n \to [/mm] r$ liegen dann alle bis auf endlich viele
Folgenglieder von [mm] $(r_n)_n$ [/mm] in diesem Intervall. (Beachte aber, dass das
nicht alle Folgenglieder ab dem Index [mm] $n_0$ [/mm] sein müssen, sondern es
gibt ein anderes [mm] $N\,,$ [/mm] passend zu $s-r > [mm] 0\,,$ [/mm] ab dem das so sein wird!)
Dann sind aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder [mm] $r_n$ [/mm] sicher auch
$< [mm] s\,$ [/mm] - insbesondere erfüllen unendlich viele Folgenglieder [mm] $r_n$ [/mm] die
Ungleichung [mm] $r_n [/mm] < [mm] s\,.$ [/mm] Widerspruch!
Gruß,
Marcel
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>
> Na, man kann' sich etwa einen Widerspruchsbeweis bauen (man
> kann auch
> einen direkten Beweis führen, aber ich finde den
> Widerspruchsbeweis
> irgendwie schöner):
> Es sei [mm]r_n \ge s[/mm] für alle [mm]n \ge n_0[/mm] mit einem [mm]n_0\,,[/mm] und
> es gelte
> [mm]r_n \to r\,.[/mm] Nehmen wir an, [mm]r\,[/mm] wolle nun doch [mm]< s\,[/mm] sein.
> Unter
> der Annahme [mm]r < s\,[/mm] ist aber [mm]\epsilon_0:=s-r > 0\,.[/mm]
> Nun
> konvergiert aber [mm]r_n \to r\,,[/mm] deswegen wird es ein
> [mm]N=N_{\epsilon_0}[/mm] so geben, dass [mm]|r_n-r| < \epsilon_0[/mm] für
> alle
> [mm]n \ge N\,.[/mm] Ohne Einschränkung kann man [mm]N \ge n_0[/mm]
> annehmen.
>
> Dann folgt aber für alle [mm]n \ge N[/mm]
> [mm](\*)\;\;\;0 \le |r_n-s|=r_n-s=r_n-r+r-s=r_n-r-\epsilon_0\,.[/mm]
>
> Für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt aber auch (s.o.)
> [mm]-\epsilon_0 < r_n-r < \epsilon_0\,.[/mm]
>
> Siehst Du, dass man damit in [mm](\*)[/mm] einen Widerspruch
> erhält?
>
Hierbei ist der Widerspruch, dass [mm] $r_n-r-\epsilon_0\ \Rightarrow \epsilon_0\ \le r_n-r \not= r_n-r [/mm] < [mm] \epsilon_0\,. [/mm] $
Also der Widerspruch
> P.S.
> "Anschaulich" ist der folgende Beweis aber vielleicht
> besser verständlich:
> Nimm' an, es sei [mm]r_n \ge s[/mm] für alle [mm]n \ge n_0[/mm] und es
> gelte [mm]r_n \to r[/mm]
> mit [mm]r < s\,.[/mm] Betrachte die Umgebung
> [mm]]r-(s-r),\;r+(s-r)[=]2r-s,\;s[\,.[/mm]
> Nach Annahme ist [mm]2r-s < s\,,[/mm] also die offene Umgebung (das
> offene
> Intervall) nicht leer und es hat den Mittelpunkt
> [mm]\frac{r-(s-r)+r+(s-r)}{2}=r\,.[/mm]
>
> Wegen der Konvergenz [mm]r_n \to r[/mm] liegen dann alle bis auf
> endlich viele
> Folgenglieder von [mm](r_n)_n[/mm] in diesem Intervall. Dann sind
> aber alle bis
> auf endlich viele Folgenglieder [mm]r_n[/mm] sicher auch [mm]< s\,.[/mm]
> Widerspruch!
Und ergibt sich der Widerspruch aus der obigen Annahme das [mm] r_n [/mm] > s ist.
Das so glaube ich, habe ich verstanden, könntest du trotzdem kurz über meine Antwort drüberschauen (http://www.matheforum.net/read?i=915048), habe nämich bevor du geantwortet hast noch an meiner Antwort herumgebastelt und würde gerne wissen, ob es kompletter Schwachsinn ist.
Ansonsten hätte ich noch eine Frage zu deiner Testfolge:
Du schreibst:
$ [mm] \tilde{A}=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}\,. [/mm] $
...
1.) Was wissen wir? Wir wissen
$ [mm] a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge [/mm] 1 $
Doch woher weiß ich das für die Koordinatenfolgen, ich weiß doch nur das meine Punkte (x und y) im [mm] \IR^2 [/mm] größer 1 sein müssen.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steffen,
> >
> > Na, man kann' sich etwa einen Widerspruchsbeweis bauen (man
> > kann auch
> > einen direkten Beweis führen, aber ich finde den
> > Widerspruchsbeweis
> > irgendwie schöner):
> > Es sei [mm]r_n \ge s[/mm] für alle [mm]n \ge n_0[/mm] mit einem [mm]n_0\,,[/mm]
> und
> > es gelte
> > [mm]r_n \to r\,.[/mm] Nehmen wir an, [mm]r\,[/mm] wolle nun doch [mm]< s\,[/mm]
> sein.
> > Unter
> > der Annahme [mm]r < s\,[/mm] ist aber [mm]\epsilon_0:=s-r > 0\,.[/mm]
> >
> Nun
> > konvergiert aber [mm]r_n \to r\,,[/mm] deswegen wird es ein
> > [mm]N=N_{\epsilon_0}[/mm] so geben, dass [mm]|r_n-r| < \epsilon_0[/mm] für
> > alle
> > [mm]n \ge N\,.[/mm] Ohne Einschränkung kann man [mm]N \ge n_0[/mm]
> > annehmen.
> >
> > Dann folgt aber für alle [mm]n \ge N[/mm]
> > [mm](\*)\;\;\;0 \le |r_n-s|=r_n-s=r_n-r+r-s=r_n-r-\epsilon_0\,.[/mm]
>
> >
> > Für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt aber auch (s.o.)
> > [mm]-\epsilon_0 < r_n-r < \epsilon_0\,.[/mm]
> >
> > Siehst Du, dass man damit in [mm](\*)[/mm] einen Widerspruch
> > erhält?
> >
>
> Hierbei ist der Widerspruch, dass [mm]r_n-r-\epsilon_0\ \Rightarrow \epsilon_0\ \le r_n-r \not= r_n-r < \epsilon_0\,.[/mm]
>
> Also der Widerspruch
puh, was schreibst Du denn da? Ich sehe es so:
Verwendet man das sich aus der Konvergenz ergebende
[mm] $$r_n-r-\epsilon_0 [/mm] < 0$$
(was für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt!) in [mm] $(\*)\,,$ [/mm] so folgt dann $0 [mm] \le r_n-s [/mm] < [mm] 0\,,$ [/mm]
also $0 < [mm] 0\,.$
[/mm]
> > P.S.
> > "Anschaulich" ist der folgende Beweis aber vielleicht
> > besser verständlich:
> > Nimm' an, es sei [mm]r_n \ge s[/mm] für alle [mm]n \ge n_0[/mm] und es
> > gelte [mm]r_n \to r[/mm]
> > mit [mm]r < s\,.[/mm] Betrachte die Umgebung
> > [mm]]r-(s-r),\;r+(s-r)[=]2r-s,\;s[\,.[/mm]
> > Nach Annahme ist [mm]2r-s < s\,,[/mm] also die offene Umgebung
> (das
> > offene
> > Intervall) nicht leer und es hat den Mittelpunkt
> > [mm]\frac{r-(s-r)+r+(s-r)}{2}=r\,.[/mm]
> >
> > Wegen der Konvergenz [mm]r_n \to r[/mm] liegen dann alle bis auf
> > endlich viele
> > Folgenglieder von [mm](r_n)_n[/mm] in diesem Intervall. Dann sind
> > aber alle bis
> > auf endlich viele Folgenglieder [mm]r_n[/mm] sicher auch [mm]< s\,.[/mm]
> > Widerspruch!
>
> Und ergibt sich der Widerspruch aus der obigen Annahme das
> [mm]r_n[/mm] > s ist.
Das war der Widerspruch zu [mm] $r_n \ge [/mm] s$ für alle bis auf endlich viele [mm] $n\,.$
[/mm]
> Das so glaube ich, habe ich verstanden, könntest du
> trotzdem kurz über meine Antwort drüberschauen
> (http://www.matheforum.net/read?i=915048), habe nämich
> bevor du geantwortet hast noch an meiner Antwort
> herumgebastelt und würde gerne wissen, ob es kompletter
> Schwachsinn ist.
Später vielleicht, ich stelle die Frage gleich einfach nochmal um,
dann kann auch jeder andere mal drübergucken.
> Ansonsten hätte ich noch eine Frage zu deiner Testfolge:
Eine TestMENGE war das - das war aber nur meine Bezeichnung. Warum
auch immer ich die so genannt habe... ist egal!
> Du schreibst:
>
> [mm]\tilde{A}=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}\,.[/mm]
>
> ...
>
> 1.) Was wissen wir? Wir wissen
>
> [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge 1[/mm]
>
> Doch woher weiß ich das für die Koordinatenfolgen, ich
> weiß doch nur das meine Punkte (x und y) im [mm]\IR^2[/mm]
> größer 1 sein müssen.
Nein. Wie kann dann ein Punkt des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] also etwa [mm] $(5,6)^T\,,$
[/mm]
größer als $1 [mm] \in \IR$ [/mm] sein?
Ich weiß gerade nicht, woran's genau hapert, aber ich erklär' Dir
jetzt einfach mal an konkreten Beispielen, wie man konkret "testet", ob
ein Punkt des [mm] $\IR^2$ [/mm] zu
[mm] $$\tilde{A}:=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}$$
[/mm]
gehört:
Betrachten wir [mm] $(1,3)^T \in \IR^2:$ [/mm] Gilt [mm] $(1,3)^T \in \tilde{A}$?
[/mm]
Hier ist [mm] $(\red{x},\blue{y})^T=(\red{1},\blue{3})^T\,.$ [/mm] Nun ist [mm] $\red{x}+\blue{y}=\red{1}+\blue{3}=4 \ge 1\,.$ [/mm]
Also folgt
[mm] $$(1,3)^T \in \tilde{A}$$
[/mm]
Betrachten wir [mm] $(10,-8)^T \in \IR^2:$ [/mm] Gilt [mm] $(10,-8)^T \in \tilde{A}$?
[/mm]
Hier ist [mm] $(\red{x},\blue{y})^T=(\red{10},\blue{-8})^T\,.$ [/mm] Nun ist [mm] $\red{x}+\blue{y}=\red{10}+(\blue{-8})=2 \ge 1\,.$ [/mm]
Also folgt
[mm] $$(10,-8)^T \in \tilde{A}$$
[/mm]
Betrachten wir [mm] $(0,-5)^T \in \IR^2:$ [/mm] Gilt [mm] $(0,-5)^T \in \tilde{A}$?
[/mm]
Hier ist [mm] $(\red{x},\blue{y})^T=(\red{0},\blue{-5})^T\,.$ [/mm] Nun ist [mm] $\red{x}+\blue{y}=\red{0}+(\blue{-5})=-5 [/mm] < [mm] 1\,.$ [/mm]
Also folgt
[mm] $$(0,-5)^T \notin \tilde{A}$$
[/mm]
Also allgemein:
Wenn man einen Punkt [mm] $(r,s)^T \in \IR^2$ [/mm] hat, dann hat dieser zwei
Komponenten: Nämlich die erste ist $r [mm] \in \IR$ [/mm] und die zweite ist
$s [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Nun will man wissen, ob [mm] $(r,s)^T \in \tilde{A}$ [/mm] gilt:
Dazu berechnen wir für [mm] $(r,s)^T \in \IR^2$ [/mm] die Summe [mm] $r+s\,$ [/mm] - denn
nach der Charakterisierung von [mm] $\tilde{A}$ [/mm] gilt für [mm] $(r,s)^T \in \IR^2$
[/mm]
genau dann [mm] $(r,s)^T \in \tilde{A}\,,$ [/mm] wenn $r+s [mm] \ge [/mm] 1$ ist. D.h.:
Wenn wir sehen, dass wirklich $r+s [mm] \ge [/mm] 1$ ist, dann folgt [mm] $(r,s)^T \in \tilde{A}\,.$
[/mm]
Wenn wir sehen, dass aber NICHT $r+s [mm] \ge 1\,$ [/mm] - anders gesagt: wenn
$r+s < [mm] 1\,$ [/mm] - ist, dann folgt [mm] $(r,s)^T \notin \tilde A\,.$
[/mm]
Sowas sind aber Erkenntnisse bzw. Definitionen, die man normalerweise
in den allerersten Analysisvorlesungen ganz am Anfang beigebracht
bekommt. Mich wundert's auch immer noch, dass Du ein Element des
[mm] $\IR^2$ [/mm] "größer oder kleiner als 1" erkennen willst. Was ich mir
vorstellen könnte, ist, dass Du eventuell die Länge eines [mm] $\IR^2$-
[/mm]
Elements meinst. Das ist aber was anderes wie das Element selbst.
(Wenn Du die Länge meinst: Dann würdest Du also sagen, dass diese
Länge nicht [mm] $<0\,$ [/mm] sein kann... ich denke echt, Du denkst an "Längen
von Punkten des [mm] $\IR^2$". [/mm] Beachte aber: Für [mm] $(x,y)^T \in \IR^2$ [/mm] ist
[mm] $x+y\,$ [/mm] keine Länge... insbesondere auch nicht die "euklidische". Denn
es ist i.a. $x+y [mm] \not=\sqrt{x^2+y^2}\,,$ [/mm] wie man etwa direkt mit
[mm] $x:=-10\,$ [/mm] und [mm] $y:=0\,$ [/mm] einsieht!)
Gruß,
Marcel
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>
> Eine TestMENGE war das - das war aber nur meine
> Bezeichnung. Warum
> auch immer ich die so genannt habe... ist egal!
>
> > Du schreibst:
> >
> > [mm]\tilde{A}=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}\,.[/mm]
> >
> > ...
> >
> > 1.) Was wissen wir? Wir wissen
> >
> > [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge 1[/mm]
> >
> > Doch woher weiß ich das für die Koordinatenfolgen, ich
> > weiß doch nur das meine Punkte (x und y) im [mm]\IR^2[/mm]
> > größer 1 sein müssen.
>
> Nein. Wie kann dann ein Punkt des [mm]\IR^2\,,[/mm] also etwa
> [mm](5,6)^T\,,[/mm]
> größer als [mm]1 \in \IR[/mm] sein?
>
> Ich weiß gerade nicht, woran's genau hapert, aber ich
> erklär' Dir
> jetzt einfach mal an konkreten Beispielen, wie man konkret
> "testet", ob
> ein Punkt des [mm]\IR^2[/mm] zu
> [mm]\tilde{A}:=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}[/mm]
> gehört:
>
> Betrachten wir [mm](1,3)^T \in \IR^2:[/mm] Gilt [mm](1,3)^T \in \tilde{A}[/mm]?
>
> Hier ist [mm](\red{x},\blue{y})^T=(\red{1},\blue{3})^T\,.[/mm] Nun
> ist [mm]\red{x}+\blue{y}=\red{1}+\blue{3}=4 \ge 1\,.[/mm]
> Also folgt
> [mm](1,3)^T \in \tilde{A}[/mm]
>
>
> Betrachten wir [mm](10,-8)^T \in \IR^2:[/mm] Gilt [mm](10,-8)^T \in \tilde{A}[/mm]?
>
> Hier ist [mm](\red{x},\blue{y})^T=(\red{10},\blue{-8})^T\,.[/mm] Nun
> ist [mm]\red{x}+\blue{y}=\red{10}+(\blue{-8})=2 \ge 1\,.[/mm]
> Also folgt
> [mm](10,-8)^T \in \tilde{A}[/mm]
>
>
> Betrachten wir [mm](0,-5)^T \in \IR^2:[/mm] Gilt [mm](0,-5)^T \in \tilde{A}[/mm]?
>
> Hier ist [mm](\red{x},\blue{y})^T=(\red{0},\blue{-5})^T\,.[/mm] Nun
> ist [mm]\red{x}+\blue{y}=\red{0}+(\blue{-5})=-5 < 1\,.[/mm]
> Also folgt
> [mm](0,-5)^T \notin \tilde{A}[/mm]
>
> Also allgemein:
> Wenn man einen Punkt [mm](r,s)^T \in \IR^2[/mm] hat, dann hat
> dieser zwei
> Komponenten: Nämlich die erste ist [mm]r \in \IR[/mm] und die
> zweite ist
> [mm]s \in \IR\,.[/mm] Nun will man wissen, ob [mm](r,s)^T \in \tilde{A}[/mm]
> gilt:
> Dazu berechnen wir für [mm](r,s)^T \in \IR^2[/mm] die Summe [mm]r+s\,[/mm]
> - denn
> nach der Charakterisierung von [mm]\tilde{A}[/mm] gilt für [mm](r,s)^T \in \IR^2[/mm]
>
> genau dann [mm](r,s)^T \in \tilde{A}\,,[/mm] wenn [mm]r+s \ge 1[/mm] ist.
> D.h.:
> Wenn wir sehen, dass wirklich [mm]r+s \ge 1[/mm] ist, dann folgt
> [mm](r,s)^T \in \tilde{A}\,.[/mm]
> Wenn wir sehen, dass aber NICHT
> [mm]r+s \ge 1\,[/mm] - anders gesagt: wenn
> [mm]r+s < 1\,[/mm] - ist, dann folgt [mm](r,s)^T \notin \tilde A\,.[/mm]
Nein nein das ist mir alles klar, mein Fehler liegt daran (zumindest hat mir das gerade eine Freundin beim warten erkärt:
Du hast es folgendermaßen notiert:
eine Folge aus $ [mm] a_n \in \tilde{A} [/mm] $
jetzt so habe ich bis vor 10 Minuten gedacht das $ [mm] a^{(n)}_1$ [/mm] und [mm] $a^{(n)}_2 [/mm] $ auch jeweils Folgen sind.
Dies ist aber ein Irrtum denn das sind doch nur Zahlen/Werte die die Folge [mm] a_n [/mm] annimmt
Ist das so richtig?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> >
> > Eine TestMENGE war das - das war aber nur meine
> > Bezeichnung. Warum
> > auch immer ich die so genannt habe... ist egal!
> >
> > > Du schreibst:
> > >
> > > [mm]\tilde{A}=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}\,.[/mm]
> > >
> > > ...
> > >
> > > 1.) Was wissen wir? Wir wissen
> > >
> > > [mm]a^{(n)}_1+a^{(n)}_2 \ge 1[/mm]
> > >
> > > Doch woher weiß ich das für die Koordinatenfolgen, ich
> > > weiß doch nur das meine Punkte (x und y) im [mm]\IR^2[/mm]
> > > größer 1 sein müssen.
> >
> > Nein. Wie kann dann ein Punkt des [mm]\IR^2\,,[/mm] also etwa
> > [mm](5,6)^T\,,[/mm]
> > größer als [mm]1 \in \IR[/mm] sein?
> >
> > Ich weiß gerade nicht, woran's genau hapert, aber ich
> > erklär' Dir
> > jetzt einfach mal an konkreten Beispielen, wie man
> konkret
> > "testet", ob
> > ein Punkt des [mm]\IR^2[/mm] zu
> > [mm]\tilde{A}:=\{(x,y) \in \IR^2: x+y \ge 1\}[/mm]
> > gehört:
> >
> > Betrachten wir [mm](1,3)^T \in \IR^2:[/mm] Gilt [mm](1,3)^T \in \tilde{A}[/mm]?
>
> >
> > Hier ist [mm](\red{x},\blue{y})^T=(\red{1},\blue{3})^T\,.[/mm] Nun
> > ist [mm]\red{x}+\blue{y}=\red{1}+\blue{3}=4 \ge 1\,.[/mm]
> > Also folgt
> > [mm](1,3)^T \in \tilde{A}[/mm]
> >
> >
> > Betrachten wir [mm](10,-8)^T \in \IR^2:[/mm] Gilt [mm](10,-8)^T \in \tilde{A}[/mm]?
>
> >
> > Hier ist [mm](\red{x},\blue{y})^T=(\red{10},\blue{-8})^T\,.[/mm] Nun
> > ist [mm]\red{x}+\blue{y}=\red{10}+(\blue{-8})=2 \ge 1\,.[/mm]
> > Also folgt
> > [mm](10,-8)^T \in \tilde{A}[/mm]
> >
> >
> > Betrachten wir [mm](0,-5)^T \in \IR^2:[/mm] Gilt [mm](0,-5)^T \in \tilde{A}[/mm]?
>
> >
> > Hier ist [mm](\red{x},\blue{y})^T=(\red{0},\blue{-5})^T\,.[/mm] Nun
> > ist [mm]\red{x}+\blue{y}=\red{0}+(\blue{-5})=-5 < 1\,.[/mm]
> > Also folgt
> > [mm](0,-5)^T \notin \tilde{A}[/mm]
> >
> > Also allgemein:
> > Wenn man einen Punkt [mm](r,s)^T \in \IR^2[/mm] hat, dann hat
> > dieser zwei
> > Komponenten: Nämlich die erste ist [mm]r \in \IR[/mm] und die
> > zweite ist
> > [mm]s \in \IR\,.[/mm] Nun will man wissen, ob [mm](r,s)^T \in \tilde{A}[/mm]
> > gilt:
> > Dazu berechnen wir für [mm](r,s)^T \in \IR^2[/mm] die Summe
> [mm]r+s\,[/mm]
> > - denn
> > nach der Charakterisierung von [mm]\tilde{A}[/mm] gilt für
> [mm](r,s)^T \in \IR^2[/mm]
> >
> > genau dann [mm](r,s)^T \in \tilde{A}\,,[/mm] wenn [mm]r+s \ge 1[/mm] ist.
> > D.h.:
> > Wenn wir sehen, dass wirklich [mm]r+s \ge 1[/mm] ist, dann folgt
> > [mm](r,s)^T \in \tilde{A}\,.[/mm]
> > Wenn wir sehen, dass aber
> NICHT
> > [mm]r+s \ge 1\,[/mm] - anders gesagt: wenn
> > [mm]r+s < 1\,[/mm] - ist, dann folgt [mm](r,s)^T \notin \tilde A\,.[/mm]
>
> Nein nein das ist mir alles klar, mein Fehler liegt daran
> (zumindest hat mir das gerade eine Freundin beim warten
> erkärt:
>
> Du hast es folgendermaßen notiert:
>
> eine Folge aus [mm]a_n \in \tilde{A}[/mm]
>
> jetzt so habe ich bis vor 10 Minuten gedacht das [mm]a^{(n)}_1[/mm]
> und [mm]a^{(n)}_2[/mm] auch jeweils Folgen sind.
>
> Dies ist aber ein Irrtum denn das sind doch nur
> Zahlen/Werte die die Folge [mm]a_n[/mm] annimmt
>
> Ist das so richtig?
ja, ich denke, dass Du das wirklich richtig meinst, aber um sicher zu sein,
drück' ich's mal penibelst genau aus:
Eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\tilde [/mm] A$ bedeutet, dass jedes Folgeglied
[mm] $a_n \in \tilde [/mm] A$ ist. Damit ist nach Definition von [mm] $\tilde [/mm] A$ das
Folgeglied [mm] $a_n$ [/mm] insbesondere ein [mm] $\IR^2$ [/mm] Element (das ist ja das,
was Dich anscheinend verwirrt (hatte)), es hat also eine 1e und eine 2e
Koordinate:
[mm] $$a_n=(a_1^{(n)},a_2^{(n)})\,.$$
[/mm]
Man könnte es auch etwa so schreiben, wenn Du an [mm] "$x\,$- [/mm] und
[mm] $y\,$-Koordinaten" [/mm] denken bzw. erinnert werden willst:
[mm] $$a_n=(a_x^{(n)}, a_y^{(n)})$$
[/mm]
Sagt Dir das eher zu? Ich mache nachher sowieso mal ein Beispiel...
Und dann sind [mm] $(a_x^{(n)})_n$ [/mm] und [mm] $(a_y^{(n)})_n$ [/mm] Folgen in [mm] $\IR\,,$
[/mm]
nämlich quasi "die Koordinatenfolgen der Folge [mm] $(a_n)_n\,.$"
[/mm]
Und [mm] $a_x^{(n)}$ [/mm] ist eben die [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] des Elements [mm] $a_n$ [/mm]
des [mm] $\IR^2$ [/mm] (da hast Du recht, diese Koordinate ist keine Folge) - also
[mm] $a_x^{(n)}$ [/mm] ist damit wirklich eine einzige reelle Zahl.
Machen wir mal ein Beispiel, dann kannst Du's nochmal selbst überprüfen,
ob das so ist, wie Du Dir das gedacht hast!
Sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n=(2+1/n, 2+1/n^2)\,,$ [/mm] $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$(a_1^{(n)})_n=(a_x^{n})_{n \in \IN}=(\;2+1/n\;)_{n \in \IN}$$
[/mm]
die (reellwertige) Folge der [mm] $x\,$-Koordinaten [/mm] der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}\,.$
[/mm]
Weiter ist [mm] $a_2=(5/2,\;9/4)$ [/mm] und [mm] $a_1^{(2)}=a_x^{(2)}=5/2\,.$
[/mm]
Was ist also [mm] $a_2^{(2)}=a_y^{(2)}$?
[/mm]
Wie sieht [mm] $(a_2^{(n)})_{n \in \IN}=(a_y^{(n)})_{n \in \IN}$ [/mm] aus?
Gruß,
Marcel
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Danke für eure Nerven, habs verstanden und in meinem Kurs "prästentieren "können
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
... beantwortet werden, weil Steffen während meiner Antwort an ihr rumgebastelt hat - wie er selbst sagt. Jede(r), die/der Zeit und Lust hat,
ist herzlich dazu eingeladen, seine veränderte Antwort nochmal
Korrektur zu lesen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 29.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Do 27.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Nein. [mm](a_1, a_2)[/mm] ist der Grenzwert der Folge
> [mm]a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2)[/mm]
>
> Es war etwas ungeschickt von Marcel, die Folge mit [mm](a_n)[/mm] zu
> bezeichnen und ihren Limes mit [mm](a_1, a_2)[/mm].
was genau ist daran ungeschickt? Ich hatte eigentlich da stehen:
[mm] $(a_n)_n=((a_1^{(n)},a_2^{(n)}))_n$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $a=(a_1,a_2)\,.$
[/mm]
(Strenggenommen ist nicht [mm] $a_n$ [/mm] die Folge, sondern [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] das
hatte ich auch so geschrieben!)
Ich kenne nur die "Ungeschicktheit", dass man etwa [mm] $(a_n)_n$ [/mm] als
Synonym für [mm] $a\,$ [/mm] mit $a: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] und [mm] $a_n:=a(n)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
betrachtet. Denn dann sollte man den Grenzwert, falls [mm] $(a_n)_n$
[/mm]
konvergiert, besser nicht mehr [mm] $a\,$ [/mm] nennen - denn [mm] $a\,$ [/mm] ist schon
für diese Abbildung vergeben. Einer meiner Dozenten machte das
und schreibt dann auch konsequent [mm] $a_\infty$ [/mm] für den Grenzwert -
aber ich stelle mich da ein wenig auf den Standpunkt, dass es eh
vollkommen klar ist, was man meint - aus dem Zshg. heraus!
Aber wenn ich oben dennoch etwas ungeschickt gemacht habe,
was ich nur einfach gerade nicht sehe: für didaktische Verbesserungen
bin ich immer ansprechbar! 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:29 Fr 28.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Hallo Marcel,
ich meinte folgendes: mit $ [mm] a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2) [/mm] $ hast Du das n-te Folgenglied von [mm] (a_n) [/mm] bez. und mit [mm] (a_1,a_2) [/mm] ihren Limes.
Mit diesen Bez. ist einerseits
[mm] a_1=(a^{(1)}_1,a^{(1)}_2) [/mm] und andererseits [mm] a_1 [/mm] die erste Koordinate des Grenzwertes.
Enenso ist die Bez. [mm] a_2 [/mm] doppelt belegt.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:04 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Hallo Marcel,
>
> ich meinte folgendes: mit [mm]a_n=(a^{(n)}_1,a^{(n)}_2)[/mm] hast
> Du das n-te Folgenglied von [mm](a_n)[/mm] bez. und mit [mm](a_1,a_2)[/mm]
> ihren Limes.
>
> Mit diesen Bez. ist einerseits
>
> [mm]a_1=(a^{(1)}_1,a^{(1)}_2)[/mm] und andererseits [mm]a_1[/mm] die erste
> Koordinate des Grenzwertes.
>
> Enenso ist die Bez. [mm]a_2[/mm] doppelt belegt.
uh, und das ist mir schon seit Jahren gar nicht aufgefallen ^^
In Zukunft schreibe ich sowas wie [mm] $a=(a_{1}^{(\infty)}, a_2^{(\infty)})$
[/mm]
oder [mm] $(a^{(1)},a^{(2)})$ [/mm] für den Grenzwert - was dann aber auch
ein wenig komisch aussieht. Oder übersehe ich wieder eine
Doppelbezeichnung? Wenn ja, dann schreibe ich [mm] $(_1a,\;_2a)$ [/mm]
Danke!!
Gruß,
Marcel
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