Offene Abbildung & Borelmenge < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Do 21.06.2007 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich habe folgendes Problem: Es sei [mm] (R^n, [/mm] B) der uebliche messbare Raum, wobei B die s-Algebra der Borelschen Mengen ist. Angenommen ~ ist eine Aequivalenzrelation auf [mm] R^n [/mm] und X = [mm] R^n [/mm] / ~ der zugehoerige Quotientenraum. Ausserdem gelte f: [mm] R^n [/mm] -> X ist stetig und offen. Das heisst also die offenen und abgeschlossenen Mengen von X entsprechen den offenen und abgeschlossenen Mengen von [mm] R^n [/mm] via f. Es bezeichen B' die s-Algebra der Borelschen Mengen auf X.
1. Wie kann ich mir denn eine Borelsche Menge eines metrischen topologischen Raums vorstellen? Als Vereinigung einer unendlichen Folge von offenen und abgeschlossenen Mengen?
2. Ist dann f eine messbare Abbildung? Kann es passieren, dass ich eine Borelsche Menge U in X habe, so dass [mm] f^{-1}(U) [/mm] keine Borelsche Menge in [mm] R^n [/mm] ist?
Vielen Dank und beste Gruesse
bjj
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Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier:
Für einen gegebenen topologischen Raum Ω ist die borelsche σ-Algebra definiert als die kleinste σ-Algebra, die die offenen Mengen von Ω enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra heißen Borelmengen.
Ich glaube, es gibt einen Satz, dass stetige Abbildungen immer auch borel-meßbar sind (liegt daran, dass die σ-Algebra schon durch die offenen Mengen bestimmt ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Fr 22.06.2007 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
vielen Dank fuer Deine Hilfe. Genau nach so einem Satz such ich schon die ganze Zeit.
Beste Gruesse
bjj
> Ich glaube, es gibt einen Satz, dass stetige Abbildungen
> immer auch borel-meßbar sind (liegt daran, dass die
> σ-Algebra schon durch die offenen Mengen bestimmt
> ist).
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> Hallo,
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> vielen Dank fuer Deine Hilfe.
> > Ich glaube, es gibt einen Satz, dass stetige Abbildungen
> > immer auch borel-meßbar sind (liegt daran, dass die
> > σ-Algebra schon durch die offenen Mengen bestimmt
> > ist).
> Genau nach so einem Satz such ich schon die ganze Zeit.
Du musst im Prinzip nur zeigen, dass die inversen Bilder von messbaren Mengen bezüglich einer stetigen Funktion [mm]f[/mm] messbare Mengen sind.
Wenn also [mm]f[/mm] stetig ist, so sind die inversen Bilder offener Mengen bezüglich [mm]f[/mm] offene Mengen und daher messbar (bezüglich der Borelschen [mm]\sigma[/mm]-Algebra).
Nun musst Du noch zeigen, dass die Gesamtheit aller Mengen, deren inverse Bilder bezüglich [mm]f[/mm] messbar sind, eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra bilden (die, wie wir soeben gesehen haben, auch alle offenen Mengen enhält). Dies ist aber simpel, den die inversen Bilder von Durchschnitten, Vereinigungen und Differenzen sind die Durchschnitte, Vereinigungen bzw. Differenzen der inversen Bilder der betreffenden Mengen.
Da die Borelsche [mm]\sigma[/mm]-Algebra die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, die die offenen Mengen enhält, muss daher das inverse Bild jeder, bezüglich der Borelschen [mm]\sigma[/mm]-Algebra messbaren Menge messbar sein.
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Schau mal in den Bauer "Maß- und Integrationstheorie". Ich hab die 2. Auflage, da findet man es in Kapitel 7 "Meßbare Abbildungen und Bildmaße" als Beispiel 2 mit Anwendung des Satzes 7.2.
Wie vermutet nutzt man, dass die offenen Mengen die Borel- [mm] \sigma-Algebra [/mm] erzeugen. Der Satz sagt dann, dass man Meßbarkeit immer nur für einen Erzeuger der [mm] \sigma-Algebra [/mm] nachweisen muss, und sie dann schon für die ganze [mm] \sigma-Algebra [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mo 25.06.2007 | | Autor: | BJJ |
Vielen Dank an Beide! Es hat mir weiter geholfen.
Gruss
bjj
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