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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 So 10.11.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | | Sei [mm] D = \{(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y \geqslant 0 \medspace \} [/mm] |
Hallo,
für das o.g. Skriptbeispiel gibt es folgende Angaben.
1) D ist nicht offen [mm] [(0,0) \in D [/mm] und [mm] U_\epsilon (0,0) \notin D \medspace \forall \epsilon > 0 \medspace ][/mm]
Frage: D ist nicht offen. Ich schreib das dem Prof in mathematisch korrekter Form. Für den schnellen Blick ist D doch aber nicht offen, da [mm] \ge [/mm] D abschließt?
2) D ist abgeschlossen, denn [mm] \IR^2 \medspace \textbackslash \medspace D [/mm] ist offen.
Wenn D nicht offen, ist das Komplement [mm] \IR \medspace \textbackslash \medspace D [/mm] offen? Ist D immer abgeschlossen, wenn es nicht offen ist?
3) D ist nicht beschränkt, denn [mm] (x,0) \in D \medspace \forall x \ge 0 [/mm]
D ist nicht beschränkt, da x unendlich große Werte annehmen kann? Ist das für euch nachvollziehbar, weshalb statt y null angegeben wurde?
4) D ist nicht kompakt, weil nicht beschränkt.
Kompakt = beschränkt und abgeschlossen, ist klar.
Viele Grüße,
bondi
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Hiho,
> Sei [mm]D = \{(x,y) \in \IR^2 \medspace | \medspace x+y \geqslant 0 \medspace \}[/mm]
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> Hallo,
> für das o.g. Skriptbeispiel gibt es folgende Angaben.
>
> 1) D ist nicht offen [mm][(0,0) \in D[/mm] und [mm]U_\epsilon (0,0) \notin D \medspace \forall \epsilon > 0 \medspace ][/mm]
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> Frage: D ist nicht offen. Ich schreib das dem Prof in mathematisch korrekter Form.
Wieso möchtest du ihm das schreiben, wenn es doch schon im Skript steht?
> Für den schnellen Blick ist D doch aber nicht offen, da [mm]\ge[/mm] D abschließt?
Der schnelle Blick kann manchmal aber auch trüben.
Wäre bspw: [mm]D = \{(x,y) \in [0,\infty)^2 \medspace | \medspace x+y \geqslant 0 \medspace \}[/mm] so wäre D sehr wohl offen.
> 2) D ist abgeschlossen, denn [mm]\IR^2 \medspace \textbackslash \medspace D[/mm]
> ist offen.
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> Wenn D nicht offen, ist das Komplement [mm]\IR \medspace \textbackslash \medspace D[/mm] offen? Ist D immer abgeschlossen, wenn es nicht offen ist?
Nein, D könnte weder offen noch abgeschlossen sein.
Hier müsste man erst zeigen, dass [mm] $\IR^2\setminus{D}$ [/mm] wirklich offen ist.
> 3) D ist nicht beschränkt, denn [mm](x,0) \in D \medspace \forall x \ge 0[/mm]
> D ist nicht beschränkt, da x unendlich große Werte
> annehmen kann? Ist das für euch nachvollziehbar, weshalb
> statt y null angegeben wurde?
Wenn D beschränkt wäre, müsste [mm] $\parallel(x,0)\parallel$ [/mm] beschränkt sein.
Nun berechne mal [mm] $\parallel(x,0)\parallel$. [/mm] Da dies eine sehr einfache Form hat, hat man sich wohl dafür entschieden.
> 4) D ist nicht kompakt, weil nicht beschränkt.
>
> Kompakt = beschränkt und abgeschlossen, ist klar.
Ok.
Gruß,
Gono
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