Offene Mengen, Bild, Urbild < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Di 01.05.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es seien $(X,d)$ ein metrischer Raum und $A, C$ abgeschlossene Teilmengen von $X$ mit [mm] $A\cap C=\emptyset$. [/mm] Des Weiteren sei die Funktion [mm] $g\colon X\to\mathbb{R}$, [/mm]
[mm] $g(x)=\frac{d_A(x)}{d_A(x)+d_C(x)}$ [/mm]
gegeben, wobei [mm] $d_M$ [/mm] die Distanzfunktion zu einer gegebenen Menge $M$ bezeichne.
b) Weisen Sie nach, dass es offene Mengen [mm] $U,V\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $U\supseteq [/mm] A$, [mm] $V\supseteq [/mm] C$ und [mm] $U\cap V=\emptyset$ [/mm] gibt.
Hinweis: Verwenden Sie Satz XY b) aus der Vorlesung. |
Ergänzung zur Aufgabenstellung:
Es sei $(X,d)$ metrischer Raum und [mm] $M\subseteq [/mm] X$. Definiere [mm] $d_M(x):=\inf\{d(x,m):m\in M\}$, [/mm] die Abstandsfunktion zur Menge $M$.
In a) wurden vorher folgende Eigenschaften von $g$ bewiesen:
1. $g [mm] \in C(X,\mathbb{R})$, $0\leqslant g(x)\leqslant [/mm] 1$
2. [mm] $g(x)=0\Leftrightarrow x\in [/mm] A$
3. [mm] $g(x)=1\Leftrightarrow x\in [/mm] C$
Satz XY:
Es seien [mm] $(X,d_1)$ [/mm] und [mm] $(Y,d_2)$ [/mm] metrische Räume und [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$. Dann sind äquivalent:
a) $f$ ist stetig
b) Für jede offene Menge [mm] $V\subseteq [/mm] Y$ ist das Urbild [mm] $f^{-1}(V)$ [/mm] eine offene Teilmenge des metrischen Raumes $X$.
-----------------------------------------------------------------------------------------
Hallo,
ich habe irgendwie ziemliche Probleme mit sämtlichen Aufgaben, in denen es irgendwie um solche Geschichten geht, wie hier, aber ich habe zumindest schon mal einen Ansatz:
Ich hatte folgendes vor: Es gilt ja [mm] $g\colon A\to g(A)=0\subseteq \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $g\colon C\to g(C)=1\subseteq \mathbb{R}$. [/mm] $g(A)$ und $g(C)$ sind also beides nur Punkte, also abgeschlossene Mengen. Ich habe mir dann gedacht, ich lege einfach Bälle um diese Punkte, und erhalte so offene Mengen: [mm] $g(A)\subseteq B_\varepsilon(0)$ [/mm] und [mm] $g(C)\subseteq B_\delta(1)$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon,\delta>0$. [/mm] Da ja $g$ stetig ist, sind dann auch [mm] $g^{-1}(B_\varepsilon(0))$ [/mm] und [mm] $g^{-1}(B_\delta(1))$ [/mm] offen, und es müsste ja dann eigentlich auch [mm] $A\subseteq g^{-1}(B_\varepsilon(0))=:U$ [/mm] und $C [mm] \subseteq g^{-1}(B_\delta(1))=:V$ [/mm] gelten. Aber jetzt gibt es ja noch zwei Sachen, die mir fehlen:
1. Sind $U, [mm] V\subseteq [/mm] X$? (Keine Ahnung, ob da überhaupt noch was zu zeigen ist, ehrlich gesagt...)
2. Gilt [mm] $U\cap V=\emptyset$? [/mm] (Das wollte ich eigentlich irgendwie mit der Hausdorff'schen Trennungseigenschaft erledigen, und dann, sozusagen, einfach [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] klein genug wählen, so dass es gilt...)
Könntet ihr mir hier vielleicht behilflich sein? Ist mein Ansatz in Ordnung?
Und noch eine Frage: Kennt ihr irgendein einfaches Topologie-Buch, bei dem Metriken, Abgeschlossenheit, Kompaktheit, Bestimmen von Rand, Innerem, etc. leicht verständlich, also so, dass es jemand ohne sonderlich große Begabung (*hust*) und nur mit Kenntnissen aus Analysis I und den ersten paar Wochen aus Analysis II (also nur metrische Räume, nicht allgemein Topologien oder Ähnliches), erklärt werden? Ich verstehe zwar, oder glaube es zumindest, immer alle Beweise, die auch in der Vorlesung kommen, und kann auch Musterlösungen von Aufgaben nachvollziehen, aber wenn ich das Ganze dann selber anwenden soll, haperts immer gewaltig...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lustique,
> Ich hatte folgendes vor: Es gilt ja [mm]g\colon A\to g(A)=0\subseteq \mathbb{R}[/mm]
> und [mm]g\colon C\to g(C)=1\subseteq \mathbb{R}[/mm]. [mm]g(A)[/mm] und [mm]g(C)[/mm]
> sind also beides nur Punkte, also abgeschlossene Mengen.
> Ich habe mir dann gedacht, ich lege einfach Bälle um diese
> Punkte, und erhalte so offene Mengen: [mm]g(A)\subseteq B_\varepsilon(0)[/mm]
> und [mm]g(C)\subseteq B_\delta(1)[/mm] mit [mm]\varepsilon,\delta>0[/mm]. Da
> ja [mm]g[/mm] stetig ist, sind dann auch [mm]g^{-1}(B_\varepsilon(0))[/mm]
> und [mm]g^{-1}(B_\delta(1))[/mm] offen, und es müsste ja dann
> eigentlich auch [mm]A\subseteq g^{-1}(B_\varepsilon(0))=:U[/mm] und
> [mm]C \subseteq g^{-1}(B_\delta(1))=:V[/mm] gelten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sieht sehr gut aus!
> Aber jetzt gibt
> es ja noch zwei Sachen, die mir fehlen:
> 1. Sind [mm]U, V\subseteq X[/mm]? (Keine Ahnung, ob da überhaupt
> noch was zu zeigen ist, ehrlich gesagt...)
Völlig richtig, das ist nach Definition von [mm] $g^{-1}(\ldots)$ [/mm] trivial.
> 2. Gilt [mm]U\cap V=\emptyset[/mm]? (Das wollte ich eigentlich
> irgendwie mit der Hausdorff'schen Trennungseigenschaft
> erledigen,
(Die Behauptung, die du zeigen sollst ist übrigens eine Verallgemeinerung der Hausdorffschen Trennungseigenschaft.)
> und dann, sozusagen, einfach [mm]\varepsilon[/mm] und
> [mm]\delta[/mm] klein genug wählen, so dass es gilt...)
Gute Idee! Nimm mal [mm] $\varepsilon=\delta=\frac12$.
[/mm]
> Ist mein Ansatz in Ordnung?
Aber 100%ig!
> Und noch eine Frage: Kennt ihr irgendein einfaches [/i]
> Topologie-Buch ...
Leider nein. Stelle diese Frage am besten noch einmal in einem neuen Thread. Dann hast du größere Chancen, eine Antwort darauf zu erhalten.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Di 01.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Hallo Tobias,
ich danke dir mal wieder für deine Hilfe, habe aber noch ein paar Fragen:
> Völlig richtig, das ist nach Definition von [mm]g^{-1}(\ldots)[/mm]
> trivial.
Da frage ich mich gerade, warum man überhaupt einfach die Umkehrfunktion von $g$ benutzen darf. Das wurde bei mir in der Vorlesung auch eigentlich immer einfach so gemacht (und ich habs dann einfach mal "unkritisch" übernommen), aber $g$ müsste doch dafür überhaupt erst mal bijektiv sein, oder nicht? Zumindest kenne ich aus Analysis I Umkehrabbildungen nur für bijektive Abbildungen.
> Gute Idee! Nimm mal [mm]\varepsilon=\delta=\frac12[/mm].
Alles klar! Dann wäre ja zumindest schon mal [mm] $\left(B_{\frac{1}{2}}(0)=B_\varepsilon(0)\right)\cap\left(B_{\frac{1}{2}}(1)=B_\delta(1)\right) [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Folgt daraus dann schon direkt [mm] $\left( V:= g^{-1}(B_\delta(1))\right)\cap\left(U:=g^{-1}(B_\varepsilon(0))\right)=\emptyset$, [/mm] oder benötige ich dafür die Eigenschaften von $g$? Im ersten Fall wüsste ich ehrlich gesagt nicht wieso, und im zweiten Fall nicht, welche Eigenschaft dafür nötig wäre... Hättest du da vielleicht noch einen Tipp?
> Leider nein. Stelle diese Frage am besten noch einmal in
> einem neuen Thread. Dann hast du größere Chancen, eine
> Antwort darauf zu erhalten.
Hast du eine Ahnung, was dafür der richtige Bereich wäre? Und sind eigentlich solche Fragen, wie ich sie hier gestellt habe, in "Analysis - Sonstiges" richtig aufgehoben, oder sollten die lieber in den Bereich "Topologie"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Völlig richtig, das ist nach Definition von [mm]g^{-1}(\ldots)[/mm]
> > trivial.
>
> Da frage ich mich gerade, warum man überhaupt einfach die
> Umkehrfunktion von [mm]g[/mm] benutzen darf. Das wurde bei mir in
> der Vorlesung auch eigentlich immer einfach so gemacht (und
> ich habs dann einfach mal "unkritisch" übernommen), aber [mm]g[/mm]
> müsste doch dafür überhaupt erst mal bijektiv sein, oder
> nicht? Zumindest kenne ich aus Analysis I
> Umkehrabbildungen nur für bijektive Abbildungen.
[mm] $g^{-1}$ [/mm] kann zwei verschiedene Bedeutungen haben. Zum einen die Umkehrabbildung (wenn $g$ bijektiv ist), zum anderen (wie hier)
[mm] $g^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;g(x)\in B\}$
[/mm]
für [mm] $B\subseteq\IR$.
[/mm]
> > Gute Idee! Nimm mal [mm]\varepsilon=\delta=\frac12[/mm].
>
> Alles klar! Dann wäre ja zumindest schon mal
> [mm]\left(B_{\frac{1}{2}}(0)=B_\varepsilon(0)\right)\cap\left(B_{\frac{1}{2}}(1)=B_\delta(1)\right) = \emptyset[/mm].
> Folgt daraus dann schon direkt [mm]\left( V:= g^{-1}(B_\delta(1))\right)\cap\left(U:=g^{-1}(B_\varepsilon(0))\right)=\emptyset[/mm],
> oder benötige ich dafür die Eigenschaften von [mm]g[/mm]?
Ja, das folgt, ohne dass Eigenschaften von g benötigt werden:
Denn angenommen [mm] $x\in g^{-1}(B_\delta(1))\cap g^{-1}(B_\varepsilon(0))$, [/mm] das heißt ...
Leite einen Widerspruch zu [mm] $B_\delta(1)\cap B_\varepsilon(0)=\emptyset$ [/mm] her.
> > Leider nein. Stelle diese Frage am besten noch einmal in
> > einem neuen Thread. Dann hast du größere Chancen, eine
> > Antwort darauf zu erhalten.
>
> Hast du eine Ahnung, was dafür der richtige Bereich wäre?
> Und sind eigentlich solche Fragen, wie ich sie hier
> gestellt habe, in "Analysis - Sonstiges" richtig
> aufgehoben, oder sollten die lieber in den Bereich
> "Topologie"?
Gute Frage... Ich denke, für beide Entscheidungen gibt es gute Gründe. Letztlich hängt die Frage, wer das dann liest, ohnehin mehr am Titel als an der Kategorie (glaube ich zumindest).
Was meinen andere?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Di 01.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Ich schreibe das Ganze hier jetzt mal nur als Mitteilung, da die eigentliche Frage ja schon (wie immer vorbildlich :O) beantwortet wurde.
> [mm]g^{-1}[/mm] kann zwei verschiedene Bedeutungen haben. Zum einen
> die Umkehrabbildung (wenn [mm]g[/mm] bijektiv ist), zum anderen (wie
> hier)
>
> [mm]g^{-1}(B):=\{x\in X\;|\;g(x)\in B\}[/mm]
>
> für [mm]B\subseteq\IR[/mm].
Ist das eine Definition aus der linearen Algebra, oder ist das einfach eine Sache, die man so hinnimmt, sozusagen eine "intuitive" Angelegenheit? Bei der Definition ist es ja dann auf jeden Fall klar. Ich kannte die Definition so allerdings nicht, obwohl ich sie so wahrscheinlich auch schon mehr als einmal benutzt habe. Ich weiß auch ehrlich gesagt gar nicht, warum ich mich jetzt erst daran gestört habe. 
> Ja, das folgt, ohne dass Eigenschaften von g benötigt
> werden:
>
> Denn angenommen [mm]x\in g^{-1}(B_\delta(1))\cap g^{-1}(B_\varepsilon(0))[/mm],
> das heißt ...
>
> Leite einen Widerspruch zu [mm]B_\delta(1)\cap B_\varepsilon(0)=\emptyset[/mm]
> her.
Jetzt verstehe ich gerade nicht mehr, warum ich da nicht selbst draufgekommen bin...
[mm] $x\in g^{-1}(B_\delta(1))\cap g^{-1}(B_\varepsilon(0)) \iff x\in g^{-1}(B_\delta(1)) \wedge x\in g^{-1}(B_\varepsilon(0)) \Longrightarrow g(x)\in B_\delta(1) \wedge g(x)\in B_\varepsilon(0) \Longrightarrow [/mm] g(x) [mm] \in B_\delta(1) \cap B_\varepsilon(0)$, [/mm] was natürlich ein Widerspruch ist, da ja [mm] $B_\delta(1) \cap B_\varepsilon(0)=\emptyset$. [/mm] Das ist dann ja tatsächlich trivial. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
(Gibt es hier eigentlich den "Blitz" als Widerspruchszeichen?)
> Gute Frage... Ich denke, für beide Entscheidungen gibt es
> gute Gründe. Letztlich hängt die Frage, wer das dann
> liest, ohnehin mehr am Titel als an der Kategorie (glaube
> ich zumindest).
>
> Was meinen andere?
Meine Beweggründe für den Bereich hier waren zumindest die folgenden: 1. Der Bereich passt zur Vorlesung, die ich besuche. 2. Ich gehe davon aus, dass man intuitiv im Topologie-Bereich als Fragenbeantworter mehr Wissen voraussetzt, als hier.
EDIT: Fast vergessen: Danke für deine Mühen! Ihr rettet mir hier echt immer wieder, Woche für Woche, den Arsch.
|
|
|
|
