Offene und abgeschlossene Meng < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (1) {(u,v) : [mm] u^{2}+2v^{2}-uv>3 [/mm] }
(2) {(u,v) : [mm] u^{2}+|v|\le [/mm] 1 } |
Ich möchte wissen ob die Mengen offen oder abgeschlossen sind. Die Definitionen für die Abgeschlossen- Offenheit kenne ich.
Eine Menge A ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge [mm] (x_{n}), x_{n} \in [/mm] A, selbst in A liegt.
Eine Menge heißt offen, wenn [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \exists\epsilon [/mm] > 0, sodass [mm] U_{\epsilon}(x)\subseteq [/mm] U
Außerdem ist eine Menge ja auch dann abgeschlossen wenn f stetig ist, und damit komme ich gleich zur ersten Menge. Die müsste demnach abgeschlossen sein weil [mm] u^{2}+2v^{2}-uv [/mm] stetig ist oder?
Bei der 2. Menge bin ich mir ein wenig unsicher.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Omikron123 |
Kann mir niemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu
$M:= [mm] \{(u,v) : u^{2}+2v^{2}-uv>3 \} [/mm] $
Def. die Folge [mm] ((u_n,v_n)) [/mm] durch: [mm] u_n:=0 [/mm] , [mm] v_n:= \wurzel{\bruch{3}{2}+\bruch{1}{n}}
[/mm]
Dann ist [mm] ((u_n,v_n)) [/mm] eine konvergente Folge in M, ihr Limes gehört aber nicht zu M.
Setze f(u,v):= $ [mm] u^{2}+2v^{2}-uv [/mm] $ und A:=(3, [mm] \infty). [/mm] Dann ist A offen und f ist stetig, also ist [mm] M=f^{-1}(A) [/mm] was ?
Mit der zweiten Menge verfahre ähnlich.
FRED
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Wie genau kommst du auf die beiden Folgen [mm] v_n:= \wurzel{\bruch{3}{2}+\bruch{1}{n}} [/mm] und [mm] u_n:=0 [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich hab mal u=0 gesetzt und mir überlegt, wann (0,v) zu M gehört.
Herausgekommen ist: (0,v) [mm] \in [/mm] M [mm] \gdw v^2>3/2
[/mm]
Dann ist z.B. für jedes v mit v> [mm] \wurzel{3/2} [/mm] das Paar (0,v) ein Element von M
Das Paar (0, [mm] \wurzel{3/2}) [/mm] aber nicht.
FRED
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Ok, bei dem 2 Beispiel kann ich jetzt also sagen, ich setze v=0.
[mm] v_{n}=0, u_{n}=1+\bruch{1}{\wurzel{n}}. [/mm] Der Grenzwert von [mm] u_{n} [/mm] ist 1. Da 1 in M liegt wäre die 2.Menge abgeschlossen.
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> Ok, bei dem 2 Beispiel kann ich jetzt also sagen, ich setze
> v=0.
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> [mm]v_{n}=0, u_{n}=1+\bruch{1}{\wurzel{n}}.[/mm] Der Grenzwert von
> [mm]u_{n}[/mm] ist 1. Da [mm] \red{1} [/mm] in M liegt wäre die 2.Menge
> abgeschlossen.
Und was ist mit [mm] u_n:=0 [/mm] sowie [mm] v_n:=1-\frac{1}{n} [/mm] ?
Aus der Konvergenz einer Folge in [mm] $M:=\{(u,v) :u^{2}+|v|<1\}$ [/mm] mit Grenzwert in M folgt nicht, dass die Menge abgeschlossen ist.
LG
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Ja, aber wenn [mm] u_n:=0 [/mm] und [mm] v_n:=1-\frac{1}{n}, [/mm] dann liegt der Grenzwert von [mm] v_n [/mm] (=1) ebenso in M. [mm] M:=\{(u,v) :u^{2}+|v|\le 1\} [/mm] nicht [mm] M:=\{(u,v) :u^{2}+|v| < 1\}
[/mm]
Aber wie kann ich den allgemeinen Fall zeigen?
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> Ja, aber wenn [mm]u_n:=0[/mm] und [mm]v_n:=1-\frac{1}{n},[/mm] dann liegt der
> Grenzwert von [mm]v_n[/mm] (=1) ebenso in M. [mm]M:=\{(u,v) :u^{2}+|v|\le 1\}[/mm]
> nicht [mm]M:=\{(u,v) :u^{2}+|v| < 1\}[/mm]
Das liest sich in deiner Aufgabenstellung anders.
>
> Aber wie kann ich den allgemeinen Fall zeigen?
Eine Möglichkeit:
Zeige, dass das Komplement [mm] M^c=\{(u,v) :u^{2}+|v|> 1\} [/mm] von M offen ist.
Setze dann analog zur ersten Teilaufgabe die stetige Funktion f
[mm] f(u,v):=u^{2}+|v|
[/mm]
und betrachte das Urbild [mm] f^{-1}(A) [/mm] vom offenen Intervall [mm] A:=(1,\infty)
[/mm]
LG
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Nunja, zu zeigen das dass Komplement [mm] M^c [/mm] offen ist, ist leicht. Dazu muss ich ja nur irgendeine konvergente Folge in [mm] M^c [/mm] angeben, bei der der Grenzwert nicht in [mm] M^c [/mm] liegt. Beispielsweise die Folge von vorher, oder?
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> Nunja, zu zeigen das dass Komplement [mm]M^c[/mm] offen ist, ist
> leicht. Dazu muss ich ja nur irgendeine konvergente Folge
> in [mm]M^c[/mm] angeben, bei der der Grenzwert nicht in [mm]M^c[/mm] liegt.
> Beispielsweise die Folge von vorher, oder?
Nein.
Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, Beispiel das Intervall [mm] (0,1]\subset\IR.
[/mm]
Durch Angabe einer konvergenten Folge in [mm] M^c [/mm] mit Grenzwert außerhalb [mm] M^c [/mm] ist lediglich gezeigt, dass die Menge [mm] M^c [/mm] nicht abgeschlossen ist. Daraus folgt nicht, dass sie offen ist.
LG
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Ok, das letzte was mir dazu einfällt ist, die Menge ist nicht endlich. Endliche Mengen sind ja immer abg., diese ist es aber offensichtlich nicht.
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> Ok, das letzte was mir dazu einfällt ist, die Menge ist
> nicht endlich. Endliche Mengen sind ja immer abg., diese
> ist es aber offensichtlich nicht.
Es gibt auch unendliche abgeschlossene Mengen. [mm] [0,1]\subset\IR [/mm] zum Beispiel.
Warum willst du es nicht wie hier unten machen?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Mo 16.05.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Sorry, Doppelpost aufgrund eines Problems beim Absenden der Antwort.
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