Offenheit Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mi 13.05.2009 | | Autor: | gossyk |
| Aufgabe | | M = [mm] \{ (x,y) \in \IR^{2} : x\not=0, y\not=0 \} [/mm] |
Hallo, ich soll die obige Menge auf Offenheit untersuchen.
Eine Menge ist offen, wenn jede Epsilon Umgebung um einen Punkt der Menge auch komplett in der Menge liegt.
Dies ist hier offensichtlich der Fall, die Menge ist also offen.
Ich habe die Lösung der Aufgabe schon, habe dazu jedoch eine Verständnisfrage.
Und zwar ist in der Lösung diese Umgebung folgendermaßen beschrieben:
[mm] (x_{0}, y_{0}) \in [/mm] M
U = [mm] \{ (x,y) \in \IR^{2} : (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} \le \vektor { \bruch{ min(x_{0}, y_{0})}{2} }^{2} \}
[/mm]
die linke Seite konnte ich nach Pythagoras als Abstand zwischen dem Punkt (x,y) und [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm] identifizieren, aber welche geometrische Bedeutung hat die rechte Seite?
Vielen Dank im voraus,
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mi 13.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> M = [mm]\{ (x,y) \in \IR^{2} : x\not=0, y\not=0 \}[/mm]
> Hallo, ich
> soll die obige Menge auf Offenheit untersuchen.
>
> Eine Menge ist offen, wenn jede Epsilon Umgebung um einen
> Punkt der Menge auch komplett in der Menge liegt.
Das ist Unfug. Mach Dich nochmal schlau !
FRED
>
> Dies ist hier offensichtlich der Fall, die Menge ist also
> offen.
> Ich habe die Lösung der Aufgabe schon, habe dazu jedoch
> eine Verständnisfrage.
> Und zwar ist in der Lösung diese Umgebung folgendermaßen
> beschrieben:
>
> [mm](x_{0}, y_{0}) \in[/mm] M
>
> U = [mm]\{ (x,y) \in \IR^{2} : (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} \le \vektor { \bruch{ min(x_{0}, y_{0})}{2} }^{2} \}[/mm]
>
> die linke Seite konnte ich nach Pythagoras als Abstand
> zwischen dem Punkt (x,y) und [mm](x_{0}, y_{0})[/mm] identifizieren,
> aber welche geometrische Bedeutung hat die rechte Seite?
>
> Vielen Dank im voraus,
>
> MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 13.05.2009 | | Autor: | gossyk |
Eine Menge U [mm] \subset \IR^{p} [/mm] heisst offen, wenn zu jedem x [mm] \in [/mm] U eine [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung existiert die zur Gänze in U liegt.
hatte ich das falsch wiedergegeben ?;D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Eine Menge U [mm]\subset \IR^{p}[/mm] heisst offen, wenn zu jedem x
> [mm]\in[/mm] U eine [mm]\varepsilon[/mm] -Umgebung existiert die zur Gänze in
> U liegt.
>
> hatte ich das falsch wiedergegeben ?;D
Ja, Du hattest gesagt:
"Eine Menge ist offen, wenn jede Epsilon Umgebung um einen
Punkt der Menge auch komplett in der Menge liegt."
Siehst Du den Unterschied ?
FRED
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> M = [mm]\{ (x,y) \in \IR^{2} : x\not=0, y\not=0 \}[/mm]
> Hallo, ich
> soll die obige Menge auf Offenheit untersuchen.
>
> Eine Menge ist offen, wenn jede Epsilon Umgebung um einen
> Punkt der Menge auch komplett in der Menge liegt.
>
> Dies ist hier offensichtlich der Fall, die Menge ist also
> offen.
Hallo,
darauf, daß Du hier groben Unfug schreibst, bist Du ja schon ingewiesen wurden, und es ist äußerst wichtig, daß Du Dir den inhaltlichen Unterschied zwischen der echten Definition und Deiner Nacherzählung wirklich klarmachst.
Die auf Offenheit zu untersuchende Menge ist also der [mm] \IR^2 [/mm] , aus dem der Punkt (0/0) herausgenommen wurde.
Anschaulich: ein Blatt Papier, welches Du an der Stelle (0/0) mit einer Nadel durchstochen hast.
Wenn Du nun irgendeinen Punkt (x,y) in Deiner Ebene markierst, dann wird es Dir nicht schwerfallen, einen Kreis drumherumzuziehen, so daß die punktierte Stelle (0/0) außerhalb liegt. Man darf den Kreis halt nicht zu groß machen, sonst hat man nämlich doch (0/0) in der Umgebung - aber so dämlich sind wir ja auch nicht.
Und genau so schlau sind ist auch der Ersteller Deiner Lösung: er hat einen Kreis um den Punkt [mm] (x_0, y_0) [/mm] gezogen mit dem Radius [mm] |\bruch{ min(x_{0}, y_{0})}{2}|, [/mm] und dies ist einer der vielen Radien, bei denen der Punkt (0/0) außerhalb des Kreises liegt.
Könnte es vielleicht sein, daß Du nicht weißt, daß [mm] (x-x_{0})^{2} [/mm] + [mm] (y-y_{0})^{2}=r^2 [/mm] die Gleichung eines Kreises um [mm] (x_0, y_0) [/mm] mit dem Radius r ist?
Gruß v. Angela
> Ich habe die Lösung der Aufgabe schon, habe dazu jedoch
> eine Verständnisfrage.
> Und zwar ist in der Lösung diese Umgebung folgendermaßen
> beschrieben:
>
> [mm](x_{0}, y_{0}) \in[/mm] M
>
> U = [mm]\{ (x,y) \in \IR^{2} : (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} \le \vektor { \bruch{ min(x_{0}, y_{0})}{2} }^{2} \}[/mm]
>
> die linke Seite konnte ich nach Pythagoras als Abstand
> zwischen dem Punkt (x,y) und [mm](x_{0}, y_{0})[/mm] identifizieren,
> aber welche geometrische Bedeutung hat die rechte Seite?
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