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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Mi 12.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Die multiplikative Gruppe [mm] (\IR^x,*) [/mm] operiere auf [mm] \IR^2 [/mm] vermöge (t,(x,y))-> (tx,y/t). Beschreibe die Bahnen dieser Aktion sowie die zugehörigen Stabilisatoren. |
Hallo Leute,
habe mal ein paar Fragen zu der Aufgabe, ob ich das richtig verstehe.
Ich nehme als [mm] t\in \IR^x [/mm] und (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] und bilde die auf (tx,y/t) ab und erhalte damit wieder ein Gebilde in [mm] \IR^2, [/mm] richtig?
Sprich ich habe die Bahn:
[mm] Bahn(\IR^2)=(a\IR^2|a \in \IR^x)
[/mm]
Das sind einfach die Skalarprodukte mit einem 2er-Vektor oder?
[mm] Stab(\IR^2)=(a \in \IR^x, [/mm] a*b=a für b [mm] \in \IR^2)
[/mm]
Also ist a=1 und somit der einzige Stabilisator oder?
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moin,
> Ich nehme als [mm]t\in \IR^x[/mm] und (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm] und bilde die
> auf (tx,y/t) ab und erhalte damit wieder ein Gebilde in
> [mm]\IR^2,[/mm] richtig?
Stimmt.
> Sprich ich habe die Bahn:
>
> [mm]Bahn(\IR^2)=(a\IR^2|a \in \IR^x)[/mm]
>
> Das sind einfach die Skalarprodukte mit einem 2er-Vektor
> oder?
Moment, hier verstehst du was falsch.
Es ist [mm] $t\*(x,y) [/mm] = (tx,y/t)$ wobei * für die Operation steht.
Skalarmultiplikation wäre aber $t*(x,y) = (tx,ty)$, also es ist nicht dasselbe.
> [mm]Stab(\IR^2)=(a \in \IR^x,[/mm] a*b=a für b [mm]\in \IR^2)[/mm]
>
> Also ist a=1 und somit der einzige Stabilisator oder?
Nein, wenn dann $a*b=b$.
Als Beispiel haben wir etwa $(0,0) [mm] \in \IR^2$.
[/mm]
Dies bildet eine eigene Bahn, hat also ganz [mm] $\IR^\*$ [/mm] als Stabilisator.
Dann können wir uns die Bahn von $(1,0)$ angucken, diese hat die Form $(t,0)$ für beliebiges $0 [mm] \neq [/mm] t [mm] \in \IR$, [/mm] damit hast du eine zweite, unendlich große Bahn - was ist der Stabilisator dieser Bahn?
Als Tipp: Es gibt unendlich viele Bahnen, du kannst sie aber mit ein wenig Überlegung alle angeben.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Do 13.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Das heißt doch, dass die [mm] Bahn(\IR^2)=a*(x,y)=(ax,y/a) [/mm] für a [mm] \in \IR^x
[/mm]
Das ist doch dann einfach ein Vektor:
[mm] \begin{pmatrix} ax \\ \bruch{y}{a} \end{pmatrix}
[/mm]
Oder?
Hat das irgendeine spezielle geometriche Bedeutung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 Do 13.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielleicht kennst du aus der Schule, wie man Ortskurven berechnet hat. Also man immer wieder Funktionsscharen hatte und die Kurve ausrechnen sollte, auf der die Hochpunkte liegen oder so etwas. ;)
So ähnlich kannst du das hier machen, du hast [mm] v=\vektor{v_1\\v_2}=\vektor{ax\\\frac{y}{a}}. [/mm] Sei nun $x [mm] \not= [/mm] 0$. Dann folgt aus der oberen Komponente [mm] a=\frac{v_1}{x}. [/mm] Setzt man das unten ein und eliminiert das a, erhält man [mm] v_2=\frac{yx}{v_1}, [/mm] wobei hier x und y konstant sind. Damit ist die Bahn in diesem Fall eine Hyperbel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 13.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Verstehe nicht ganz, wie du auf:
$ [mm] a=\frac{v_1}{x}. [/mm] $
kommst, was vllt auch daran liegt, dass der eine Ausdruck nicht ordentlich angezeigt wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Ah, sorry. Hab es berichtigt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 14.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke!
Ok, das sehe ich ein, wenn ich nun der Stabilisator anschaue, muss ja gelten:
[mm] Stab(R^2)=(a*(x,y)=(x,y)|a \in \IR^x)
[/mm]
[mm] a*(x,y)=\begin{pmatrix} ax \\ \bruch{y}{a} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
[/mm]
Somit muss der Stabilisator gleich 1 sein oder?
[mm] Stab(R^2)=1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Den Stabilisator musst du für jedes Element einzeln berechnen! Also der Stabilisator von einem Element [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] besteht ja aus allen Elementen a, für die [mm] a\cdot\vektor{x \\ y}=\vektor{x \\ y} [/mm] gilt. Ist [mm] \vektor{x \\ y}\not=0, [/mm] so hast du Recht. Was ist aber der Stabilisator von [mm] \vektor{0 \\ 0}? [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 14.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Für den Nullvektor ist jedes Element a [mm] \in R^x [/mm] der Stabilisator oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Fr 14.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Super, ich danke dir, habe ich verstanden!
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