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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe, H [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe.
Beweisen Sie, dass die Linksmultiplikation von G auf G/H eine Operation defi niert.
Ist die Operation transitiv?
Gibt es Fixpunkte?
Welche sind die Standgruppen? |
Hallo!
Ich bin insgesamt noch sehr unsicher, was ich hier vor mir habe.
Daher breite ich mal aus, wie ich das alles verstehe:
Wir sollen beweisen, dass es diese Operation gibt:
G x G/H [mm] \to [/mm] G/H
(g,m) [mm] \mapsto [/mm] gm
mit [mm] m\in [/mm] G/H
sd. gilt:
1.: em=m [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] G/H
2.: g(hm)=(gh)m [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G, m [mm] \in [/mm] G/H
Hierbei ist G/H dann wohl die Menge der Linksnebenklassen, dh. m ist eine Linksnebenklasse von H in G: m=nH= [mm] \{nh|h \in H \} \forall n\in [/mm] G
und g, h sind Elemente aus der Gruppe G, wobei e das neutrale Element dieser Gruppe ist.
Stimmt das so weit?
Um zu zeigen, dass dies eine Operation ist, müssen 1. und 2. nachgeprüft werden.
1.: zz: em=m
dh.: e(nH)=nH
da eine Menge mit dem neutralen Element multipliziert immer wieder die Menge ist, ist dies erfüllt.
2. zz: g(hm)=(gh)m
dh.: g(h(nH))=(gh)(nH)
auch dies sollte kein Problem sein, da nH einfach eine Menge ist und ob ich die Elemente in der Menge zuerst mit h und dann mit g oder gleich mit g*h multipliziere macht keinen Unterschied.
Ist das so richtig?
Wäre super dankbar, wenn mir jemand hier helfen kann
damit ich mir langsam besser vorstellen kann, was das eigentlich bedeutet.
Grüßle, Lily 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Di 19.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Sei G eine Gruppe, H [mm]\subset[/mm] G eine Untergruppe.
> Beweisen Sie, dass die Linksmultiplikation von G auf G/H
> eine Operation defi niert.
> Ist die Operation transitiv?
> Gibt es Fixpunkte?
> Welche sind die Standgruppen?
> Hallo!
> Ich bin insgesamt noch sehr unsicher, was ich hier vor mir
> habe.
> Daher breite ich mal aus, wie ich das alles verstehe:
>
> Wir sollen beweisen, dass es diese Operation gibt:
> G x G/H [mm]\to[/mm] G/H
> (g,m) [mm]\mapsto[/mm] gm
> mit [mm]m\in[/mm] G/H
> sd. gilt:
> 1.: em=m [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] G/H
> 2.: g(hm)=(gh)m [mm]\forall[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G, m [mm]\in[/mm] G/H
>
> Hierbei ist G/H dann wohl die Menge der Linksnebenklassen,
> dh. m ist eine Linksnebenklasse von H in G: m=nH= [mm]\{nh|h \in H \} \forall n\in[/mm]
> G
>
> und g, h sind Elemente aus der Gruppe G, wobei e das
> neutrale Element dieser Gruppe ist.
>
> Stimmt das so weit?
Ja.
>
> Um zu zeigen, dass dies eine Operation ist, müssen 1. und
> 2. nachgeprüft werden.
> 1.: zz: em=m
> dh.: e(nH)=nH
> da eine Menge mit dem neutralen Element multipliziert
> immer wieder die Menge ist, ist dies erfüllt.
>
> 2. zz: g(hm)=(gh)m
> dh.: g(h(nH))=(gh)(nH)
> auch dies sollte kein Problem sein, da nH einfach eine
> Menge ist und ob ich die Elemente in der Menge zuerst mit h
> und dann mit g oder gleich mit g*h multipliziere macht
> keinen Unterschied.
>
> Ist das so richtig?
Ja. Du benutzt das Assoziativgesetz. Man koennte, wie immer beim Arbeiten mit Faktorstrukturen, die Unabhaengigkeit des Repraesentanten ueberpruefen, aber das ist hier ziemlich offensichtlich.
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> Wäre super dankbar, wenn mir jemand hier helfen kann
> damit ich mir langsam besser vorstellen kann, was das
> eigentlich bedeutet.
> Grüßle, Lily
Weiter so!
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Super, danke
Nun geht es weiter: Ist die Operation transitiv?
Transitiv bedeutet, dass es nur eine Bahn gibt.
Da wir wissen, dass die Menge in der Operation die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, bedeutet dies, dass die Operation transitiv ist, wenn die Menge eine Bahn ist.
Hier bedeutet das also:
Die Operation ist genau dann transitiv, wenn [mm] G/H=Gm=\{gm \in G/H | g \in G\} [/mm] wobei [mm] m\in [/mm] G/H.
Dies ist hier der Fall, da unsere Abbildung in G/H abbildet, das heißt, per Definition der Operation ist gm in G/H.
Stimmt das oder mache ich mir das gerade zu einfach?
Wir haben im Skript als Beispiel für eine nichttransitive Bahn folgendes:
Operation von [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IR^{2} [/mm] durch Drehung um 0.
Dh.: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}
[/mm]
Die Bahn eines Elementes (x,y) ist der Kreis um 0 mit dem Radius [mm] |(x,y)|=\wurzel{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Da so eine Bahn ja nicht ganz [mm] \IR^2 [/mm] ist, ist diese operation also nicht transitiv.
Stimmt das?
Dann weiter: Gibt es Fixpunkte? Und welche sind die Standgruppen?
Das gehört ja zusammen, denn ein Fixpunkt ist ein [mm] m\in [/mm] M mit Standgruppe [mm] G_{m}=G
[/mm]
Hier also:
Fixpunkte sind die Linksnebenklassen aus G/H, die eine Standgruppe haben, die gleich der Gruppe ist.
Das heißt für die Standgruppen müsste dann gelten:
[mm] G=G_{nH}=\{g\in G | g(nH)=nH\}
[/mm]
Oder?
Wie komme ich aber nun zu den Fixpunkten bzw. Standgruppen?
Gibt es da einen Trick? Oder kann mir jemand einen Ansatz geben?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Mi 20.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Super, danke
>
> Nun geht es weiter: Ist die Operation transitiv?
>
> Transitiv bedeutet, dass es nur eine Bahn gibt.
> Da wir wissen, dass die Menge in der Operation die
> disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, bedeutet dies, dass
> die Operation transitiv ist, wenn die Menge eine Bahn ist.
>
> Hier bedeutet das also:
> Die Operation ist genau dann transitiv, wenn [mm]G/H=Gm=\{gm \in G/H | g \in G\}[/mm]
> wobei [mm]m\in[/mm] G/H.
Ja.
>
> Dies ist hier der Fall, da unsere Abbildung in G/H
> abbildet, das heißt, per Definition der Operation ist gm
> in G/H.
>
> Stimmt das oder mache ich mir das gerade zu einfach?
Das sieht mir nicht vernuenftig begruendet aus: nur weil [mm] $gm\in [/mm] G/H$ ist, folgt nicht die Transitivitaet. Sie ist hier aber nicht schwer nachzuweisen - und vielleicht meintest Du das ja schon: Seien [mm] $m,m'\in [/mm] G/H$, etwa $m= xH$ und $m'= yH$. Welches [mm] $g\in [/mm] G$ erfuellt $gm= m'$? Da $m$ und $m'$ beliebig sind, hat $G$ nur eine Bahn.
>
> Wir haben im Skript als Beispiel für eine nichttransitive
> Bahn folgendes:
> Operation von [mm]\IR[/mm] auf [mm]\IR^{2}[/mm] durch Drehung um 0.
> Dh.: [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
> Die Bahn eines Elementes
> (x,y) ist der Kreis um 0 mit dem Radius
> [mm]|(x,y)|=\wurzel{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> Da so eine Bahn ja nicht ganz [mm]\IR^2[/mm] ist, ist diese
> operation also nicht transitiv.
>
> Stimmt das?
Natuerlich. Weshalb sollte es nicht?
>
> Dann weiter: Gibt es Fixpunkte? Und welche sind die
> Standgruppen?
> Das gehört ja zusammen, denn ein Fixpunkt ist ein [mm]m\in[/mm] M
> mit Standgruppe [mm]G_{m}=G[/mm]
> Hier also:
> Fixpunkte sind die Linksnebenklassen aus G/H, die eine
> Standgruppe haben, die gleich der Gruppe ist.
> Das heißt für die Standgruppen müsste dann gelten:
> [mm]G=G_{nH}=\{g\in G | g(nH)=nH\}[/mm]
>
> Oder?
Ja. Du kannst die Fixpunkte berechnen, indem Du untersuchst fuer welche [mm] $n\in [/mm] G$ gilt, dass $gnH= nH$ (oder [mm] $n^{-1}gn\in [/mm] H$) fuer alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt. Oder Du ziehst eine clevere Schlussfolgerung aus der Transitivitaet.
>
> Wie komme ich aber nun zu den Fixpunkten bzw.
> Standgruppen?
> Gibt es da einen Trick? Oder kann mir jemand einen Ansatz
> geben?
Standgruppe zu $m= xH$: [mm] $g\in G\iff [/mm] gxH= [mm] xH\iff g^{x}\in H\iff g\in \ldots$.
[/mm]
> Das wäre super!
>
> Grüßle, Lily
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> Das sieht mir nicht vernuenftig begruendet aus: nur weil
> [mm]gm\in G/H[/mm] ist, folgt nicht die Transitivitaet. Sie ist hier
> aber nicht schwer nachzuweisen - und vielleicht meintest Du
> das ja schon: Seien [mm]m,m'\in G/H[/mm], etwa [mm]m= xH[/mm] und [mm]m'= yH[/mm].
> Welches [mm]g\in G[/mm] erfuellt [mm]gm= m'[/mm]? Da [mm]m[/mm] und [mm]m'[/mm] beliebig sind,
> hat [mm]G[/mm] nur eine Bahn.
Kann ich das so machen:
gxH=yH (soll gelten)
[mm] \gdw [/mm] gx=y (Koeffizientenvergleich)
[mm] \gdw g=yx^{-1} [/mm] (Multifikation von rechts mit [mm] x^{-1})
[/mm]
Da [mm] x,y\in [/mm] G gilt: [mm] yx^{-1} \in [/mm] G, und daraus folgt, dass auch [mm] g\in [/mm] G.
Das heißt, es existiert für alle [mm] m,m'\in [/mm] G/H ein g [mm] \in [/mm] G für das gilt: gm=m'
Da m,m' beliebig, folgt daraus, dass G nur eine Bahn hat.
?
>>Oder Du ziehst eine
> clevere Schlussfolgerung aus der Transitivitaet.
ääähm...
Also ein Fixpunkt ist ein m [mm] \in [/mm] G/H, für das gilt: gm=m [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G.
Durch die Transitivität wissen wir, dass für alle m, m' [mm] \in [/mm] G/H ein g [mm] \in [/mm] G existiert sodass gm=m'
Aber die Verbindung bekomme ich nicht hin...
> Standgruppe zu [mm]m= xH[/mm]: [mm]g\in G\iff gxH= xH\iff g^{x}\in H\iff g\in \ldots[/mm].
was meinst du hier mit [mm] g^{x} [/mm] ?
ich bin vollkommen verwirrt :-D
Ich fang nochmal an:
Unsere Definition eines Fixpunktes:
"Ein Fixpunkt ist ein m [mm] \in [/mm] M mit Standgruppe [mm] G_{m}=G."
[/mm]
Das heißt: [mm] G_{m} [/mm] besteht aus allen g [mm] \in [/mm] G, da gm=m für den Fixpunkt m für alle g gilt.
Daher müssen wir ein m finden, für das gm=m gilt (in unserem Fall ein n für das gnH=nH).
[mm] \gdw [/mm] gn=n [mm] \gdw g=nn^{-1}=e
[/mm]
ich bekomme aus dieser Gleichung immer nur eine Bedingung für g, keine für n!
Kannst du mir nochmal weiter helfen?
Das wäre klasse!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:23 Do 21.11.2013 | | Autor: | hippias |
> > Das sieht mir nicht vernuenftig begruendet aus: nur weil
> > [mm]gm\in G/H[/mm] ist, folgt nicht die Transitivitaet. Sie ist hier
> > aber nicht schwer nachzuweisen - und vielleicht meintest Du
> > das ja schon: Seien [mm]m,m'\in G/H[/mm], etwa [mm]m= xH[/mm] und [mm]m'= yH[/mm].
> > Welches [mm]g\in G[/mm] erfuellt [mm]gm= m'[/mm]? Da [mm]m[/mm] und [mm]m'[/mm] beliebig sind,
> > hat [mm]G[/mm] nur eine Bahn.
>
> Kann ich das so machen:
> gxH=yH (soll gelten)
> [mm]\gdw[/mm] gx=y (Koeffizientenvergleich)
> [mm]\gdw g=yx^{-1}[/mm] (Multifikation von rechts mit [mm]x^{-1})[/mm]
> Da [mm]x,y\in[/mm] G gilt: [mm]yx^{-1} \in[/mm] G, und daraus folgt, dass
> auch [mm]g\in[/mm] G.
> Das heißt, es existiert für alle [mm]m,m'\in[/mm] G/H ein g [mm]\in[/mm] G
> für das gilt: gm=m'
> Da m,m' beliebig, folgt daraus, dass G nur eine Bahn hat.
> ?
Alles klar.
>
> >>Oder Du ziehst eine
> > clevere Schlussfolgerung aus der Transitivitaet.
> ääähm...
> Also ein Fixpunkt ist ein m [mm]\in[/mm] G/H, für das gilt: gm=m
> [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G.
> Durch die Transitivität wissen wir, dass für alle m, m'
> [mm]\in[/mm] G/H ein g [mm]\in[/mm] G existiert sodass gm=m'
> Aber die Verbindung bekomme ich nicht hin...
Naja, wenn $m$ nun ein Fixpunkt ist, besteht die einzige Bahn $G/H$ aus wieviel Elementen? Was bedeutet das fuer $H$?
>
> > Standgruppe zu [mm]m= xH[/mm]: [mm]g\in G\iff gxH= xH\iff g^{x}\in H\iff g\in \ldots[/mm].
>
> was meinst du hier mit [mm]g^{x}[/mm] ?
[mm] $g^{x}= x^{-1}gx$; [/mm] eine Kurzschreibweise fuer die Konjugation.
>
> ich bin vollkommen verwirrt :-D
> Ich fang nochmal an:
> Unsere Definition eines Fixpunktes:
> "Ein Fixpunkt ist ein m [mm]\in[/mm] M mit Standgruppe [mm]G_{m}=G."[/mm]
> Das heißt: [mm]G_{m}[/mm] besteht aus allen g [mm]\in[/mm] G, da gm=m für
> den Fixpunkt m für alle g gilt.
> Daher müssen wir ein m finden, für das gm=m gilt (in
> unserem Fall ein n für das gnH=nH).
> [mm]\gdw[/mm] gn=n [mm]\gdw g=nn^{-1}=e[/mm]
Der Schluss $gnH= nH [mm] \iff [/mm] gn= n$ ist falsch; es gilt $gnH= [mm] nH\iff n^{-1}gnH= H\iff n^{-1}gn\in [/mm] H$.
> ich bekomme aus dieser
> Gleichung immer nur eine Bedingung für g, keine für n!
>
> Kannst du mir nochmal weiter helfen?
> Das wäre klasse!
> Grüßle, Lily
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> >
> > > Standgruppe zu [mm]m= xH[/mm]: [mm]g\in G\iff gxH= xH\iff g^{x}\in H\iff g\in \ldots[/mm].
man kann also schließen:
gnH=nH [mm] \gdw n^{-1}gn \in [/mm] H [mm] \gdw [/mm] g [mm] \in [/mm] H
Also ist die Standgruppe [mm] G_{nH}=H \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] G
oder?
> > > clevere Schlussfolgerung aus der Transitivitaet.
> Naja, wenn [mm]m[/mm] nun ein Fixpunkt ist, besteht die einzige
> Bahn [mm]G/H[/mm] aus wieviel Elementen? Was bedeutet das fuer [mm]H[/mm]?
ähm... H=G?
Das würde bedeuten, dass alle g [mm] \in [/mm] G Fixpunkte sind!?
> Der Schluss [mm]gnH= nH \iff gn= n[/mm]
> ist falsch; es gilt [mm]gnH= nH\iff n^{-1}gnH= H\iff n^{-1}gn\in H[/mm].
aber ich habe das doch oben auch verwendet:
aus gxH=yH folgere ich durch Koeffizientenvergleich, dass gx=y:
> > gxH=yH (soll gelten)
> > [mm]\gdw[/mm] gx=y (Koeffizientenvergleich)
> > [mm]\gdw g=yx^{-1}[/mm] (Multifikation von rechts mit [mm]x^{-1})[/mm]
> > Da [mm]x,y\in[/mm] G gilt: [mm]yx^{-1} \in[/mm] G, und daraus folgt, dass
> > auch [mm]g\in[/mm] G.
> > Das heißt, es existiert für alle [mm]m,m'\in[/mm] G/H ein g
> [mm]\in[/mm] G
> > für das gilt: gm=m'
> > Da m,m' beliebig, folgt daraus, dass G nur eine Bahn
> hat.
> > ?
> Alles klar.
Danke für deine Hilfe und Geduld!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Fr 22.11.2013 | | Autor: | hippias |
> > >
> > > > Standgruppe zu [mm]m= xH[/mm]: [mm]g\in G\iff gxH= xH\iff g^{x}\in H\iff g\in \ldots[/mm].
>
> man kann also schließen:
> gnH=nH [mm]\gdw n^{-1}gn \in[/mm] H [mm]\gdw[/mm] g [mm]\in[/mm] H
>
> Also ist die Standgruppe [mm]G_{nH}=H \forall[/mm] n [mm]\in[/mm] G
>
> oder?
Siehe unten beim Fixpunkt.
>
> > > > clevere Schlussfolgerung aus der Transitivitaet.
>
> > Naja, wenn [mm]m[/mm] nun ein Fixpunkt ist, besteht die einzige
> > Bahn [mm]G/H[/mm] aus wieviel Elementen? Was bedeutet das fuer [mm]H[/mm]?
> ähm... H=G?
Jawoll.
> Das würde bedeuten, dass alle g [mm]\in[/mm] G Fixpunkte sind!?
Nicht ganz: Die Fixpunkte sind die Elemente aus $G/H$, wenn ueberhaupt. Versuche Dein Ergebnis vielleicht so aehnlich in Worte zu formulieren: Wenn $H< G$ ist, dann besitzt die Operation von $G$ auf $G/H$ [mm] $\ldots$ [/mm] Fixpunkte. Nur wenn $H= G$ ist, dann besitzt $G$ [mm] $\ldots$ [/mm] Fixpunkt; das ist aber einigermassen trivial, weil in diesem Fall $G/H$ sowieso nur aus [mm] $\ldots$ [/mm] Elementen besteht.
>
> > Der Schluss [mm]gnH= nH \iff gn= n[/mm]
> > ist falsch; es gilt [mm]gnH= nH\iff n^{-1}gnH= H\iff n^{-1}gn\in H[/mm].
>
> aber ich habe das doch oben auch verwendet:
> aus gxH=yH folgere ich durch Koeffizientenvergleich, dass
> gx=y:
Dieser Schluss ist falsch. Zwei Nebenklassen $aH$ und $bH$ sind genau dann gleich, wenn [mm] $b^{-1}a\in [/mm] H$ ist; nicht nur wenn $a= b$ ist. Wenn etwa $H= [mm] \{-1,1\}$ [/mm] ist, dann ist $1H= (-1)H$.
Auf diesem Sachverhalt basiert die ganze Nebenklassenrechnerei: man definiert eine Aequivalenzrelation mit [mm] $a\sim_{H} b\iff b^{-1}a\in [/mm] H$.
Also wir waren bei der Berechnung der Standgruppe so weit gekommen, dass Du sagen konntest, dass [mm] $g\in G_{nH}\iff n^{-1}gn\in [/mm] H$. Wenn Du jetzt noch die "$n$ auf die andere Seite bringst", hast Du den Stabilisator vollstaendig beschrieben.
>
> > > gxH=yH (soll gelten)
> > > [mm]\gdw[/mm] gx=y (Koeffizientenvergleich)
> > > [mm]\gdw g=yx^{-1}[/mm] (Multifikation von rechts mit
> [mm]x^{-1})[/mm]
> > > Da [mm]x,y\in[/mm] G gilt: [mm]yx^{-1} \in[/mm] G, und daraus folgt,
> dass
> > > auch [mm]g\in[/mm] G.
> > > Das heißt, es existiert für alle [mm]m,m'\in[/mm] G/H ein g
> > [mm]\in[/mm] G
> > > für das gilt: gm=m'
> > > Da m,m' beliebig, folgt daraus, dass G nur eine Bahn
> > hat.
> > > ?
> > Alles klar.
>
> Danke für deine Hilfe und Geduld!
> Grüßle, Lily
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