Operator Existenz? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X = [mm] l^{2}( \IN) [/mm] und betrachte den Operator
T:X [mm] \to [/mm] X, x = [mm] (x_{n}) \mapsto [/mm] Tx := [mm] (\bruch{x_{n}}{n})
[/mm]
Zeige, dass T kompakt ist.
Für welche [mm] \lambda \in \IC [/mm] existiert der Operator [mm] (T-\lambda)^{-1} [/mm] nicht?
Zeige, dass für diese [mm] \lambda [/mm] the Dimension vom [mm] ker(T-\lambda) [/mm] endlich ist.
Was ist mit [mm] \lambda [/mm] = 0 ?
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Ich meine, dass es kompakt ist, ist ja ziemlich offensichtlich, wenn man sich überlegt
T kompakt [mm] \gdw T(B_{X}) [/mm] rel. kompakt [mm] \gdw \overline{T(B_{X})} [/mm] kompakt
was gilt, wenn jede beschränkte Menge aus X durch T auf eine rel. kompakte Menge abgebildet wird, bzw.
wenn für jede beschränkte Folge [mm] (x_{n}) [/mm] in X die Folge [mm] (Tx_{n}) [/mm] eine konvergente Teilfolge besitzt.
Also:
Sei [mm] (x_{n}) [/mm] beschränkte Folge in X [mm] \Rightarrow Tx_{n} [/mm] = [mm] \bruch{x_{n}}{n} [/mm] besitzt konvergente Teilfolge ?
Was offensichtlich wahr ist, oder?
Aber mit dem Operator [mm] (T-\lambda)^{-1} [/mm] kann ich nicht so viel anfangen?
Ein Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Mi 04.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Beachte:
X ist ein Folgenraum, El. von X sind also Folgen.
Eine Folge in X, ist also eine Folge,deren Glieder El. von X , also Folgen sind.
Dein Beweis für die Kompaktheit von T ist so nicht richtig.
Versuche zu zeigen. T kann in der Operatorennorm durch stetige endlichdimensionale Operatoren approximiert werden.
Schau mal in Deinen Aufzeichnungen was Du zu $ [mm] (T-\lambda)^{-1} [/mm] $ findest.
FRED
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