Operator stetig < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien X,Y,Z Banachräume, A ein linearer,stetiger Operator von X nach Y und T ein abgeschlossener,linearer Operator von Y nach Z mit [mm] R(A)\subset [/mm] D(T). Zeige, dass TA:X->Z stetig ist. |
Hallo!
Also TA ist ja die Verknüpfung von 2 Operatoren. Von X nach Y ist A nach Vor. stetig, d. h. man muss im Prinzip zeigen, dass der Operator T stetig bzw. beschränkt ist(da die Komposition von 2 stetigen Operatoren wieder stetig ist).
Zum Operator T wissen wir, dass er abgeschlossen ist, d. h. [mm] G(T)=\{(u,T(u)); u\in D(T)\} [/mm] ist abgeschlossen.
Da T abgeschlossen und Y,Z Banachräume, ist G(T) Banachraum.
Mehr fällt mir grad nicht ein.
Kann mir einer helfen?
Vielen Dank schonmal
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Sa 02.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien X,Y,Z Banachräume, A ein linearer,stetiger Operator
> von X nach Y und T ein abgeschlossener,linearer Operator
> von Y nach Z mit [mm]R(A)\subset[/mm] D(T). Zeige, dass TA:X->Z
> stetig ist.
> Hallo!
> Also TA ist ja die Verknüpfung von 2 Operatoren. Von X
> nach Y ist A nach Vor. stetig, d. h. man muss im Prinzip
> zeigen, dass der Operator T stetig bzw. beschränkt ist(da
> die Komposition von 2 stetigen Operatoren wieder stetig
> ist).
> Zum Operator T wissen wir, dass er abgeschlossen ist, d.
> h. [mm]G(T)=\{(u,T(u)); u\in D(T)\}[/mm] ist abgeschlossen.
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> Da T abgeschlossen und Y,Z Banachräume, ist G(T)
> Banachraum.
> Mehr fällt mir grad nicht ein.
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> Kann mir einer helfen?
Zeige, dass TA abgeschlossen ist. Da TA auf ganz X def. ist, folgt die Stetigkeit Von TA aus dem Satz vom abgeschlossenen Graphen.
FRED
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> Vielen Dank schonmal
> TheBozz-mismo
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