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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Do 06.08.2009 | | Autor: | Apeiron |
| Aufgabe | | [mm]y''''-2y''+y=3x^3*e^{-x}[/mm] |
Hallo!
Eine spezielle Lösung ergibt sich durch:
[mm] y=[p(\frac{d}{dx})]^{-1}[3x^3*e^{-x}]=e^{-x}[p(\frac{d}{dx}-1)]^{-1}3x^3
[/mm]
Komme erstmal auf:
[mm] y=e^{-x}*\frac{1}{(\frac{d}{dx})^4-4(\frac{d}{dx})^3+4(\frac{d}{dx})^2+(\frac{d}{dx})-2}*3x^3=-\frac{1}{2}*\frac{1}{1-[\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})^4-2(\frac{d}{dx})^3+2(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})]}*3x^3
[/mm]
An dieser Stelle kann man zur unendlichen geometrischen Reihe übergehen und ich erhalte:
[mm] -\frac{1}{2}[1-2(\frac{d}{dx})^3+2(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})+(\frac{d}{dx})^3+\frac{1}{4}(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{8}(\frac{d}{dx})^3]*3x^3=\frac{-3}{2}x^3+18-18x-\frac{9}{4}x^2-9-\frac{18}{8}x-\frac{18}{16}=...
[/mm]
was aber laut Lösungsbuch nicht zu stimmen scheint.
Vielen Dank!
Gruß
Rishi
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Hallo Apeiron,
> [mm]y''''-2y''+y=3x^3*e^{-x}[/mm]
> Hallo!
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> Eine spezielle Lösung ergibt sich durch:
>
> [mm]y=[p(\frac{d}{dx})]^{-1}[3x^3*e^{-x}]=e^{-x}[p(\frac{d}{dx}-1)]^{-1}3x^3[/mm]
>
> Komme erstmal auf:
>
> [mm]y=e^{-x}*\frac{1}{(\frac{d}{dx})^4-4(\frac{d}{dx})^3+4(\frac{d}{dx})^2+(\frac{d}{dx})-2}*3x^3=-\frac{1}{2}*\frac{1}{1-[\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})^4-2(\frac{d}{dx})^3+2(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})]}*3x^3[/mm]
>
> An dieser Stelle kann man zur unendlichen geometrischen
> Reihe übergehen und ich erhalte:
>
> [mm]-\frac{1}{2}[1-2(\frac{d}{dx})^3+2(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{2}(\frac{d}{dx})+(\frac{d}{dx})^3+\frac{1}{4}(\frac{d}{dx})^2+\frac{1}{8}(\frac{d}{dx})^3]*3x^3=\frac{-3}{2}x^3+18-18x-\frac{9}{4}x^2-9-\frac{18}{8}x-\frac{18}{16}=...[/mm]
>
> was aber laut Lösungsbuch nicht zu stimmen scheint.
Nun, die DGL
[mm]y''''-2y''+y=3x^3*e^{-x}[/mm]
schreibt sich in Operatorenschreibweise so:
[mm]\left(D^{4}-2*D^{2}+1\right)y=\left(D-1\right)^{2}*\left(D+1\right)^{2}y[/mm]
Ersetzen wir jetzt D durch D-1 so steht dann da:
[mm]\left(D-2\right)^{2}*D^{2}y[/mm]
Daraus ergibt sich dann
[mm]y_{p}=3*e^{-x}*\bruch{1}{D^{2}}*\bruch{1}{\left(D-2\right)^{2}}x^{3}[/mm]
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> Vielen Dank!
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> Gruß
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> Rishi
Gruß
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