Operatornorm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Sei A: X--> Y linear, stetig und (X, [mm] \parallel.\parallel [x]),(Y,\parallel.\parallel [/mm] [y]) normierte Vektorräume
zeige:
[mm] sup\{\parallel Ax \parallel [y] , x \in X \parallel x \parallel [x] \le 1 \} [/mm] = [mm] sup\{\parallel Ax \parallel[ y]: \parallel x \parallel [x] , x \in X\} [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe hab ich mir selbst gestellt, über direkte Lösungen würde ich mich also freuen ;).
Meine erste Idee war zu zeigen, dass
[mm] \{\parallel Ax \parallel [y] , x \in X \parallel x \parallel [x] \le 1 \} [/mm] = [mm] \{\parallel Ax \parallel[ y]: \parallel x \parallel [x] , x \in X\} [/mm] woraus die Aussage auch sofort Folgen würde. Das gilt aber nicht, da die Null nur in der linken Menge enthalten ist. Was mir klar ist, ist das [mm] \{\parallel Ax \parallel [y] , x \in X \parallel x \parallel [x] \le 1 \} \supset \{\parallel Ax \parallel[ y]: \parallel x \parallel [x] , x \in X\}
[/mm]
gilt.
Mir fehlt nur noch der Schritt zu zeigen, das für jedes Element aus der linken Menge ein element in der rechten existiert, das größer/gleich ist. Aber wie mach ich das?
Hoffe auf Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei A: X--> Y linear, stetig und (X, [mm]\parallel.\parallel [x]),(Y,\parallel.\parallel[/mm]
> [y]) normierte Vektorräume
>
Meinst du [mm](X, \parallel * \parallel _x)[/mm]? Weil ich versteh das [mm]"'[x]"'[/mm] nicht.
> zeige:
>
> [mm]sup\{\parallel Ax \parallel [y] , x \in X \parallel x \parallel [x] \le 1 \}[/mm]
Und sollte das [mm]\sup \{ \parallel Ax \parallel _y : x \in X \ und \ \parallel x \parallel _x \le 1 \}[/mm] sein?
> = [mm]sup\{\parallel Ax \parallel[ y]: \parallel x \parallel [x] , x \in X\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> die Aufgabe hab ich mir selbst gestellt, über direkte
> Lösungen würde ich mich also freuen ;).
>
> Meine erste Idee war zu zeigen, dass
> [mm]\{\parallel Ax \parallel [y] , x \in X \parallel x \parallel [x] \le 1 \}[/mm]
> = [mm]\{\parallel Ax \parallel[ y]: \parallel x \parallel [x] , x \in X\}[/mm]
> woraus die Aussage auch sofort Folgen würde. Das gilt aber
> nicht, da die Null nur in der linken Menge enthalten ist.
Wenn meine Interpretation deiner Schreibweise richtig ist, dann ist doch die Bedingung in der rechten Menge wesentlich schwächer als in der linken, denn in der rechten Menge betrachteste alle x, in der linken alle x mit Norm kleinergleich 1.
Dadurch wäre auch die Mengeninklusion weiter unten falsch rum.
> Was mir klar ist, ist das [mm]\{\parallel Ax \parallel [y] , x \in X \parallel x \parallel [x] \le 1 \} \supset \{\parallel Ax \parallel[ y]: \parallel x \parallel [x] , x \in X\}[/mm]
>
> gilt.
>
> Mir fehlt nur noch der Schritt zu zeigen, das für jedes
> Element aus der linken Menge ein element in der rechten
> existiert, das größer/gleich ist. Aber wie mach ich das?
>
> Hoffe auf Hilfe!
|
|
|
|
