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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:37 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Lilium |
| Aufgabe | Es bezeichne L : [mm] \IR^{n} \to \IR^{m} [/mm] eine lineare Abbildung und A [mm] \in [/mm] M(n, m) deren Darstellung bzgl. der kanonischen Basen in [mm] \IR^{n} [/mm] und [mm] \IR^{m}. [/mm] Berechnen Sie die Operatornorm A von A jeweils für die Vektornormen
i) [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} [/mm] und
ii) [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] (in der Aufgabenstellung ist es ein großer punkt) |
Hallo. Ich hab hier eine Aufgabe und möchte fragen ob diese Lösung richtig ist. Würd mich über Hilfe freuen.
Es wird im Bild- und Urbildraum die 1-Norm [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1}:= \summe_{i=1}^{n} [/mm] | [mm] x_{i} [/mm] | verwendet. Es gilt:
[mm] \parallel [/mm] L [mm] \parallel_{1}={1} [/mm] = [mm] \sup_{ \parallel x \parallel=1} \bruch{ \parallel Ax \parallel_{1}}{ \parallel x \parallel_{1}} [/mm] = [mm] \sup_{ \parallel x \parallel=1} \bruch{\summe_{i=1}^{n} | a_{ij} x_{i} |}{\summe_{i=1}^{n} | x_{i} |} [/mm] = [mm] \sup_{ \parallel x \parallel=1} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij} x_{i}| [/mm] = [mm] \sup_{\parallel x \parallel=1} \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1}
[/mm]
Mit der Spaltensummennorm [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1} [/mm] := [mm] \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm] gilt für [mm] A=(a_{ij})_{i=1,...,n}/_{j=1,...,m} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} [/mm] =1 und x [mm] \in [/mm] X:
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1} [/mm] = [mm] \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij} x_{i}| \le \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}|| x_{i}| \le \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm]
zur letzten Ungleichung : [mm] |x_{i}| \le1, [/mm] da [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}| [/mm] =1
Damit folgt sup [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1} \le \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm] , da sup [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1} [/mm] die kleinste obere Schranke ist und [mm] \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm] die obere Schranke von [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1} [/mm] .
Zu zeigen ist noch, dass die Abschätzung "scharf" ist. Es soll gelten:
[mm] \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij} x_{i}| [/mm] = [mm] \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm] , also [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1} [/mm] = [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{1} \underbrace{\parallel x \parallel_{1}}_{=1} [/mm] .
Nun finde [mm] j_{0}= \arg max_{1 \le j \le m} \summe_{i=1}^{n} [/mm] | [mm] a_{ij} [/mm] | , d.h.
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] | [mm] a_{ij}_{0} [/mm] | = [mm] \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm] und setze [mm] x_{i} [/mm] := sign [mm] (a_{ijo}) [/mm] mit i=1,...,n. Dann gilt mit [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} [/mm] =1 :
[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{1} [/mm] = [mm] \max_{1 \le j \le m} \summe_{i=1}^{n} [/mm] | [mm] a_{ij} [/mm] sign [mm] (a_{ij}_{0}) [/mm] | = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] | [mm] a_{ij}_{0} [/mm] | = [mm] \max_{j} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm] = [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{1} \underbrace{\parallel x \parallel_{1}}_{=1} [/mm] .
Somit ist die Operatornorm [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] für die Vektornorm [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{1} [/mm] die Spaltensummennorm [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{1} [/mm] := [mm] \max_{1 \le j \le m} \summe_{i=1}^{n} |a_{ij}| [/mm] .
zu ii) hab ich noch nichts.
Würde mich über jede Rückmeldung freuen.
Lg Lilium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 16.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo nocheinmal!
Ich bin noch zu keiner endgültigen Lösung von dieser Aufgabe gekommen, bzw. bin mir noch immer ncht so ganz sicher, ob meine Lösungsideen richtig sind.
Deshalb bin ich auch weiterhin an Hilfestellungen interessiert und würde mich freuen, euer Statement zu meinen Ideen zu bekommen
LG
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