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| Aufgabe | Sei [mm] X:=(l^2,\parallel.\parallel_2) [/mm] und A:X->X mit [mm] Ax:=(Ax_n)_{n\in\IN}:=(\bruch{x_n}{n})_{n\in\IN}
[/mm]
Ist A stetig? Bestimmen Sie die Operatornorm und A, die Eigenwere und Eigenvekoren von A und das Spektrum von A |
Hallo!
A ist stetig bzw. beschränkt, denn [mm] \parallel\bruch{x_n}{n} \parallel_2=\bruch{|x_n|}{|n|} \le |x_n|
[/mm]
Operatornorm ist 1, denn für [mm] X=(x_1,x_2,....,1(n-te [/mm] Stelle),....) gilt [mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_2=\parallel [/mm] x [mm] \parallel_2
[/mm]
Für die Eigenwerte muss gelten: [mm] \bruch{x_n}{n}=\lambda*x_n [/mm] => [mm] \bruch{1}{n}=\lambda [/mm] Eigenwert mit Eigenvektor [mm] x_n=(x_1,x_2,...) [/mm] und ein [mm] x_i [/mm] muss ungleich 0 sein.
Das Spektrum muss ich noch machen, aber ist bis hierhin alles richtig?
Gruß und vielen Dank schonmal
TheBozz-mismo
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Guten Abend,
> Sei [mm]X:=(l^2,\parallel.\parallel_2)[/mm] und A:X->X mit
> [mm]Ax:=(Ax_n)_{n\in\IN}:=(\bruch{x_n}{n})_{n\in\IN}[/mm]
> Ist A stetig? Bestimmen Sie die Operatornorm und A, die
> Eigenwere und Eigenvekoren von A und das Spektrum von A
> Hallo!
> A ist stetig bzw. beschränkt, denn [mm]\parallel\bruch{x_n}{n} \parallel_2=\bruch{|x_n|}{|n|} \le |x_n|[/mm]
Das kann man so nicht stehen lassen.
Schreib hin: Für jedes [mm] $x\in l^2$ [/mm] gilt
[mm] $\|Ax\|_2=\left(\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{x_n}{n}\right)^2\right)^{1/2}\le \left(\sum_{n=1}^\infty x_n^2\right)^{1/2} =\|x\|_2$
[/mm]
Damit folgt [mm] \|A\|\le1.
[/mm]
>
> Operatornorm ist 1, denn für [mm]X=(x_1,x_2,....,1(n-te[/mm]
> Stelle),....) gilt [mm]\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_2=\parallel[/mm] x [mm]\parallel_2[/mm]
Du setzt den Folgenraum X mit einer Folge gleich? Aus dem Beispiel kann ich mir leider keinen Reim machen.
Wie sieht es mit [mm] x=(1,0,0,\ldots) [/mm] aus?
>
> Für die Eigenwerte muss gelten: [mm]\bruch{x_n}{n}=\lambda*x_n[/mm] => [mm]\bruch{1}{n}=\lambda[/mm] Eigenwert mit Eigenvektor
> [mm]x_n=(x_1,x_2,...)[/mm] und ein [mm]x_i[/mm] muss ungleich 0 sein.
Der Eigenwert darf nicht von n abhängig sein!
LG
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Hallo und vielen Dank für deine Antwort.
Die Beschränktheit ist ja nun abgearbeitet. Ich wollte es so schreiben wie du, aber ich dachte, es geht auch kürzer.
Ich habe allgemein eine Frage zur Berechnung der Operatornorm: Zuerst zeigt man, dass der Operator O beschränkt ist und dann muss man diese Ungleichung benutzen und durch Wahl von einen Funktionenfolge die Gleichheit zeigen. Ist das richtig? Wenn ja, dann hab ich trotzdem noch ne Frage: Warum reicht es aus, eine Funktionenfolge zu finden, damit die Gleichheit gilt? Ich mein, mir kommt das so vor, das wenn man ein Beispiel wählt, aber ein Beispiel reicht ja nicht für einen Beweis. Vielleicht kann mir das einer erklären.
Zurück zur Aufgabe:
Ich habe noch eine Frage bezüglich der Notation:
$ [mm] Ax:=(Ax_n)_{n\in\IN}:=(\bruch{x_n}{n})_{n\in\IN} [/mm] $ Bedeutet [mm] (\bruch{x_n}{n})_{n\in\IN}=(x_1,\bruch{x_2}{2},\bruch{x_3}{3},...)?
[/mm]
Wenn ich jetzt deine angegebene Funktionenfolge nehme, also x=(1,0,...), dann kommt man auf
[mm] \|Ax\|_2=\left(\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{x_n}{n}\right)^2\right)^{1/2}=(\bruch{x_1}{1}^2)^{\bruch{1}{2}}=x_1
[/mm]
[mm] \|x\|_2=\left(\sum_{n=1}^\infty x_n^2\right)^{1/2} =x_1
[/mm]
=> Operatornorm ist 1
Nun zu dem Eigenwerten:
[mm] \lambda=0 [/mm] kann kein Eigenwert sein, denn dann kann die Gleichung [mm] (x_1,\bruch{x_2}{2},...)=O [/mm] nicht stimmen, außer wenn jedes [mm] x_n [/mm] gleich 0 ist, aber dies darf nicht sein nach Definition des Eigenvektors.
[mm] \lambda=1 [/mm] ist Eigenwert mit [mm] x_n=(1,0,...), [/mm] denn (1,0,..)=1*(1,0,...)
Für [mm] \lambda=2 [/mm] müsste gelten: [mm] (x_1,\bruch{x_2}{2},...)=2(x_1,x_2,...). [/mm] Daraus folgt: [mm] x_1=2x_1 [/mm] und [mm] \bruch{x_2}{2}=2x_2 [/mm] und dies geht nur, wenn [mm] x_1,x_2 [/mm] =0 und dies geht nicht.
Wie argumentiert man jetzt für die anderen mög. [mm] \lambda [/mm] 's? Mit Induktion?
Man muss ja noch das Spektrum berechnen und 1 wäre demnach im Spektrum, aber was ist sonst noch im Spektrum?
Für das Spektrum brauch man die Resolventenmenge. Für welche [mm] \lambda [/mm] existiert [mm] (\lambda*Id-a)^{-1}?
[/mm]
Wie geht man da vor?
Vielen lieben Dank fü jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Sa 09.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Seien X und Y normierte Räume und T:X [mm] \to [/mm] Y linear.
Gibt es ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit: ||Tx|| [mm] \le [/mm] c||x|| für alle x [mm] \in [/mm] X, so ist T beschränkt und
||T||= sup [mm] \{\bruch{||Tx||}{||x||}: x \ne 0 \} \le [/mm] c.
Gibt es nun in X ein [mm] x_0 \ne [/mm] 0 mit [mm] ||Tx_0|| =c||x_0|| [/mm] , so muß matürlich ||T||=c sein.
(ein solches [mm] x_0 [/mm] kann existieren muß aber nicht !)
Zu Deinem A:
Sei [mm] e_j [/mm] die Folge, die an der j-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur Nullen.
Dann ist [mm] Ae_j [/mm] = [mm] \bruch{1}{j}e_j.
[/mm]
Fazit: Die Zahlen [mm] \bruch{1}{j} [/mm] (jn [mm] \in \IN) [/mm] sind Eigenwerte von A.
Diese Zahlen gehören schon mal zum Spektrum von A.
Da das Spektrum abgeschlossen ist, gehört auch 0 zum Spektrum.
So, nun nimm mal ein [mm] \lambda_0 [/mm] her , mit [mm] \lambda_0 \ne [/mm] 0 und [mm] \lambda_0 \ne [/mm] 1/n für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Zeige, dass [mm] \lambda_0I-A [/mm] bijektiv ist.
FRED
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