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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 Di 25.11.2008 | | Autor: | Merle23 |
| Aufgabe | Let [mm]p \in (1,\infty)[/mm] and [mm]1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}[/mm].
For [mm]x \in l^p[/mm] and [mm]y \in l^q[/mm] we set [mm]\langle y,x \rangle := \sum_{n \in \IN}{y_n x_n}[/mm].
Show that [mm]\|T\| = \sup_{0 \not= y \in l^q \atop 0 \not= x \in l^p}\frac{|\langle y,Tx \rangle |}{\|q\|_q \|x\|_p}[/mm] for every bounded linear operator [mm]T : l^p \to l^p[/mm]. |
In der anderen Teilaufgabe habe ich schon [mm]\|x\|_p = \sup_{0 \not= y \in l^q}\frac{| \langle y,x \rangle |}{\|y\|_q}[/mm] gezeigt.
Damit komme ich auf die Gleichung [mm]\sup_{0 \not= y \in l^q \atop 0 \not= x \in l^p}\frac{|\langle y,Tx \rangle |}{\|q\|_q \|x\|_p} = \sup_{0 \not= y \in l^q \atop 0 \not= x \in l^p}\frac{|\langle y,Tx \rangle|}{|\langle y,x \rangle|}[/mm].
Wenn ich [mm]y_n^1 := (Tx)_n^{p-1} \sgn((Tx)_n)[/mm] und [mm]y_n^2 := x_n^{p-1} \sgn(x_n)[/mm] setze, dann erhalte ich [mm]|\langle y^1,Tx \rangle| = \|Tx\|_p^p[/mm] und [mm]|\langle y^2,x \rangle | = \|x\|_p^p[/mm] und somit [mm]\sup_{0 \not= y \in l^q \atop 0 \not= x \in l^p}\frac{|\langle y,Tx \rangle |}{\|q\|_q \|x\|_p} = \sup_{0 \not= y \in l^q \atop 0 \not= x \in l^p}\frac{|\langle y,Tx \rangle|}{|\langle y,x \rangle|} \ge \sup_{0 \not= x \in l^p}\frac{\|Tx\|_p^p}{\|x\|_p^p} = \|T\|^p \ge \|T\|[/mm].
Aber leider kriege ich die andere Abschätzung nicht hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Do 27.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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