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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Cliri |
| Aufgabe | a) In ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis c=10cm und dem Basiswinkel alpha=50° soll ein Reckteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Bestimme die Seitenlänge des größtmöglichen Recktecks. Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man den Basiswinkel alpha verändert?
b) In einen Kegel mit Grundkreisradius r=5cm und Höhe h=10cm soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden. Bestimme die Maße dieses Zylinder. |
zu a)
Ich verstehe wie man den Flächeninhalt (A) des Dreiecks berechnet:
1/2 g*h wobei h= tan(50)*5 ist.
Jedoch verstehe ich nicht, wie ich den Flächeninhalt A des größtmöglichen Recktecks darin berechnen soll.
Ich meine mich zu erinnern, dass die Ecken dieses größtmöglichen Dreiecks, die Schenkel b und a in der Hälfte (in diesem Fall also 5 cm) schneiden.
Stimmt diese Aussage?
Wie soll ich diese Aufgabe rechnen?
zu b)
Weiß ich leider garnicht, wie ich anfangen soll.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) In ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis c=10cm
> und dem Basiswinkel alpha=50° soll ein Reckteck mit
> möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.
> Bestimme die Seitenlänge des größtmöglichen Recktecks.
> Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man den Basiswinkel
> alpha verändert?
>
> b) In einen Kegel mit Grundkreisradius r=5cm und Höhe
> h=10cm soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen
> einbeschrieben werden. Bestimme die Maße dieses Zylinder.
> zu a)
> Ich verstehe wie man den Flächeninhalt (A) des Dreiecks
> berechnet:
> 1/2 g*h wobei h= tan(50)*5 ist.
> Jedoch verstehe ich nicht, wie ich den Flächeninhalt A des
> größtmöglichen Recktecks darin berechnen soll.
> Ich meine mich zu erinnern, dass die Ecken dieses
> größtmöglichen Dreiecks, die Schenkel b und a in der
> Hälfte (in diesem Fall also 5 cm) schneiden.
> Stimmt diese Aussage?
> Wie soll ich diese Aufgabe rechnen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nochmal die Situation:
Du hast ein Dreieck (skizzieren!), dessen Basis c=10cm ist, die beiden anderen Seiten sind gleichlang und die an der Basis anliegenden Winkel 50°.
Der Flächeninhalt dieses Dreieckes interessiert gar nicht besonders.
In dieses Dreieck soll nun ein möglichst flächengroßes Rechteck eingezeichnet werden.
Zeichnen wir erstmal irgendein Rechteck ein, etwa eines, dessen untere Seite x 4 cm lang ist. Diese Rechteckseite würde man ja wohl mittig auf der Dreiecksbasis plazieren, denn man will, daß das Rechteck schön groß wird.
Wenn man das getan hat, wie hoch (y) kann das Rechteck dann höchstens sein?
Wie groß ist sein Flächeninhalt?
Mach das Spielchen nochmal mit x=6cm.
Dann schreib auf, wie groß die Rechteckfläche ist, wenn die untere Seite die Länge x hat. A(x)=...
Wie Du jetzt weitermachst, hängt davon ab, was Du kannst und sollst.
Da Du im Mittelstufenforum postest: bring A(x) in Scheitelpunktsform und lies den Scheitel ab.
(Falls es eine Aufgabe aus der Oberstufe ist und Du Extremwertaufgaben üben sollst, kannst Du auch das übliche Procedere einschlagen mit Ableiten etc.)
> zu b)
> Weiß ich leider garnicht, wie ich anfangen soll.
Wenn Du a) gelöst hast, wird dies einfach sein, denn es geht sehr ähnlich.
Erstelle erstmal eine Skizze, welche den Querschnitt zeigt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Sa 19.06.2010 | | Autor: | Cliri |
Ich habe die obengenanten Tipps versucht umzustetzten. Leider komme ich nur duch ausprobieren auf die Lösung jedoch finde ich die algemein gültige Formel nicht!
Kann mir jemand helfen?
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> Ich habe die obengenanten Tipps versucht umzustetzten.
> Leider komme ich nur duch ausprobieren auf die Lösung
> jedoch finde ich die algemein gültige Formel nicht!
> Kann mir jemand helfen?
>
Wenn ihr euch bereits mit Differenzialrechnung und Extremwertproblemen auseinandergesetzt habt, hilft dir vielleicht folgendes:
Zeichne dein Dreieck in ein Koordinatensystem, sodass die y-achse als Symmetrie-Achse betrachtet werden kann.
Da du die Höhe h bereits errechnet hast, kannst du nun eine Geradengleichung für einen der beiden Schenkel ermitteln.
Jetzt markiere auf diesem Schenkel einen unbestimmten Punkt P, dessen Koordinaten du durch die Geradengleichung in Abhängigkeit von x angeben kannst.
Mithilfe dieses Punktes hast du nun die Längen der Seiten deines noch unbekannten Rechtecks in Abhängigkeit zu x. Das heißt, du kannst nun eine Gleichung für A(x) aufstellen.
Dieses A soll nun möglichst groß sein, also gilt es, für A(x) ein Maximum zu finden. Falls ihr die Berechnung von Maxima mithilfe der Differenzialrechnung bereits gemacht habt, sollte es nun kein Problem mehr sein, diese Aufgabe zu lösen.
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> Ich habe die obengenanten Tipps versucht umzustetzten.
Hallo,
dann mach' vor, was Du genau getan und überlegt hast.
Wenn Du nicht konkret wirst, kann man nicht konkret helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 20.06.2010 | | Autor: | Cliri |
Hallo,
ich hab nochmal nachgedacht, ALSO:
A= 1/2 a* (10-a) * tan(50°)
nach Eingeben in den GTR: a= 5cm
b= 1/2* (10-a) * tan(50°)
b= 2,5* tan(50°)
b= 2,98cm
" Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man den Basiswinkel alpha verändert? "
Durch Ausprobieren habe ich festgestellt, dass bei a= 5cm immer die max. Fläche herauskommt.
Also habe ich mir überlegt, dass a immer die Hälfte von der Basislänge c sein muss (in der Mitte), damit das Rechteck die max. Fläche hat.
Wie sieht man das an der Formel?
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> Hallo,
> ich hab nochmal nachgedacht, ALSO:
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> A= 1/2 a* (10-a) * tan(50°)
Hallo,
genau.
Du hast hier jetzt die Rechteckfläche in Abhängigkeit von der Seite a.
> " Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man den
> Basiswinkel alpha verändert? "
>
> Durch Ausprobieren habe ich festgestellt, dass bei a= 5cm
> immer die max. Fläche herauskommt.
> Also habe ich mir überlegt, dass a immer die Hälfte von
> der Basislänge c sein muss (in der Mitte), damit das
> Rechteck die max. Fläche hat.
>
> Wie sieht man das an der Formel?
Du hast nun immer noch nicht gesagt, ob Du die Aufgabe mithilfe von Kenntnissen über Parabeln lösen sollst/mußt, oder ob Dir Differentialrechnung zur Verfügung steht und verwendet werden soll. Da Du angibtst "9.Klasse" vermute ich ersteres, wundere mich aber, daß Ihr die Winkelfunktionen schon hattet.
Wie ich bereits in einer Antwort schrieb:
Bring die Gleichung A(a)=1/2 a* (10-a) * tan(50°) in Scheitelpunktform. Bedenke, daß tan(50°) eine normale Zahl ist, wenn dort stattdessen 7 stünde, wär's auch nicht anders.
An der Scheitelpunktform kannst Du das Max. der Funktion ablesen. Du wirst sehen, daß es bei x=5 liegt.
Um der Sache mit dem Winkel auf den Grund zu gehen, rechne dieselbe Aufgabe mal für 30°, 40° und dann für [mm] \alpha.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 22.06.2010 | | Autor: | Cliri |
| Aufgabe | | In einen Kegel mit Grundkreisradius r=5cm und Höhe h=10cm soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden, Bestimme die Maße dieses Zylinders. |
Hallo,
die Aufgabe 2a mit dem Dreieck habe ich inzwischen hinbekommen.
Ich kann nur mit der Parabelfunktion rechnen. Die Differentialrechnung haben wir noch nicht gehabt.
Bei der obigen Aufgabe habe ich einen Querschnitt gezeichnet, Ich denke, dass ich den Basiswinkel des Kegels berechnen sollte. Dafür habe ich den Radius und die Höhe des Kegels. Aber wie?
mit Grüßen v. Cliri
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> Ich kann nur mit der Parabelfunktion rechnen. Die
> Differentialrechnung haben wir noch nicht gehabt.
Hallo,
alles klar.
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> Bei der obigen Aufgabe habe ich einen Querschnitt
> gezeichnet, Ich denke, dass ich den Basiswinkel des Kegels
> berechnen sollte. Dafür habe ich den Radius und die Höhe
> des Kegels. Aber wie?
Offenbar hattet Ihr doch den tangens bereits besprochen.
[mm] tan\alpha=Gegenkathete: Ankathete=\bruch{h}{r}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 22.06.2010 | | Autor: | Cliri |
Hallo,
das war jetzt etwas peinlich. So nah an der Lösung und nicht drauf kommen, ich steh wohl auf der Leitung.
Aber ich krieg den Rest auch nicht alleine hin.
Ich habe ausgerechnet, dass alpha=63° ist.
So ergibt sich für b (=Höhe des Innenzylinders) = 1/2 (10-a) * tan (63)
Also:
V (Zylinder) = [mm] \pi [/mm] *a²*tan(63)*1/2 (10-a)
Nach Eingabe in den GTR war die Lösung 1, das kann nicht sein.
Was ist falsch? Wie geht es richtig weiter?
mit Grüßen Cliri
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Hast dud as vll flasch in den TR eingegeben?
a=die halbe Grundseite vom Dreieck, oder?
tan 63 = 1,96
V (Zylinder) = $ [mm] \pi [/mm] $ *a²*tan(63)*1/2 (10-a)
V = 3,1415 * 25 * 1,96 * 0,5 * 5
V = 385,36 VE
Aber auch das kann irgendwie nicht, oder?
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> Hallo,
> das war jetzt etwas peinlich. So nah an der Lösung und
> nicht drauf kommen, ich steh wohl auf der Leitung.
>
> Aber ich krieg den Rest auch nicht alleine hin.
>
> Ich habe ausgerechnet, dass alpha=63° ist.
Hallo,
er ist ungefähr 63°.
Im Grunde brauchst Du den Winkel ja überhaupt nicht. An b kommst Du mit dem Strahlensatz bzw. ähnlichen Dreiecken:
Es ist [mm] \bruch{b}{\bruch{1}{2}(10-a)}=\bruch{10}{5}
[/mm]
==> b=(10-a)
>
> So ergibt sich für b (=Höhe des Innenzylinders) = 1/2
> (10-a) * tan (63)
= (10-a)
> Also:
> V (Zylinder) = [mm]\pi[/mm] *a²*tan(63)*1/2 (10-a)
[mm] =\pi a^2(10-a)
[/mm]
>
> Nach Eingabe in den GTR war die Lösung 1,
Für das a, für das das Volumen des Zylinders maximal wird?
Das ist in der Tat nicht richtig.
Tippfehler? Bedienfehler?
Herauskommen sollte [mm] a=\bruch{20}{3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
das kann nicht
> sein.
> Was ist falsch? Wie geht es richtig weiter?
>
> mit Grüßen Cliri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 27.06.2010 | | Autor: | Cliri |
| Aufgabe | | 2b) In einen Kegel mit Grundkreisradius r=5cm und Höhe h=10cm soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden. Bestimme die Maße dieses Zylinders. |
Vielen Dank für die bisherige Hilfe.
Ich habe jetzt also für
V(größtmöglicher Zylinder) = [mm] \pi [/mm] a² * (10-a)
daraus erbegen sich cm³, also gibt es keine Parabel, wie soll ich dann a bestimmen?
Grüße Cliri
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> 2b) In einen Kegel mit Grundkreisradius r=5cm und Höhe
> h=10cm soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen
> einbeschrieben werden. Bestimme die Maße dieses
> Zylinders.
> Vielen Dank für die bisherige Hilfe.
>
> Ich habe jetzt also für
> V(größtmöglicher Zylinder) = [mm]\pi[/mm] a² * (10-a)
>
> daraus erbegen sich cm³, also gibt es keine Parabel, wie
> soll ich dann a bestimmen?
Hallo,
das kommt halt auf Euren Kenntnisstand an.
Mit der Differentialrechneung ist das Bestimmen des a, für welches das Volumen maximal wird, eine schnelle Sache, offenbar steht Dir diese aber nicht zur Verfügung.
Du könntest das a, für welches V maximal wird, aus den Graohen der Funktion ablesen, daß es zwischen 0 und 10 liegt, dürfte ja klar sein.
Du schriebst aber doch aus etwas vom GTR, der hat doch eine Funktion, welche einem Maxima von Funktionen liefert - ich hatte es in einem Beitrag von Dir so verstanden, daß Ihr diese verwendet.
Gruß v. Angela
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