Optimierung stochast. Prozesse < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Tyrnan |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei dem folgenden Problem handelt es sich nicht um eine Aufgabenstellung aus einem Buch oder Kurs. Deshalb beschreibe ich es hier. Es handelt sich um eine Abstraktion vom eigentlichen Problem, die aber das Wesentliche erfasst:
Sei [mm] n \in \IN [/mm] fest aber beliebig. Gegeben sei eine Menge von n Lampen, die initial alle ausgeschaltet sind. Innerhalb einer gegebenen Zeit schaltet sich jede Lampe mit der unabhängigen Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{p}{q}[/mm] mit [mm] p < q; p,q\in\IN [/mm] ein. Für welche Werte von p und q wird die Wahrscheinlichkeit, dass sich genau eine Lampe einschaltet maximal?
Meine Überlegungen dazu:
Sei A das Ereignis, dass sich genau eine Lampe einschaltet.
Da die Ereignisse unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt gegeben durch:
[mm] \begin{matrix}
P(A) &=& \bruch{p}{q} \left (\bruch{q-p}{q}\right )^{n-1}\\
\ & =& \bruch{p(q-p)^{n-1}}{q^n}\\
\end{matrix}[/mm]
[mm] q^n [/mm] muss möglichst klein sein, damit der gesamte Ausdruck größer wird. Da [mm] p < q [/mm], ist der kleinstmögliche Wert für q gegeben durch [mm] q = p+1[/mm]. Setzt man diesen Wert für q ein erhält man:
[mm] P(A) = \bruch{p}{(p+1)^n}[/mm]
Demnach wird P(A) maximal bei minimalem p also [mm] p = 1[/mm] und somit [mm] P(A) = \bruch{1}{2^n}[/mm].
Sind meine Überlegungen soweit korrekt? Kann ich P(A) verbessern, wenn ich als Wahrscheinlichkeit für das Einschalten einer Lampe statt [mm]\bruch{p}{q}[/mm] ein [mm] r \in \IR ; 0 < r < 1[/mm] zulasse?
Gibt es bessere(genauere, einfachere) Methoden solche Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen? Kann mir jemand gute Einführungsliteratur zu dem Thema empfehlen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Do 17.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Tyrnan,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Meine Überlegungen dazu:
> Sei A das Ereignis, dass sich genau eine Lampe
> einschaltet.
> Da die Ereignisse unabhängig sind, ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt gegeben durch:
> [mm]\begin{matrix}
P(A) &=& \bruch{p}{q} \left (\bruch{q-p}{q}\right )^{n-1}\\
\ & =& \bruch{p(q-p)^{n-1}}{q^n}\\
\end{matrix}[/mm]
>
> [mm]q^n[/mm] muss möglichst klein sein, damit der gesamte Ausdruck
> größer wird.
Diese Argumnentation ist nicht korrekt, und deswegen wird dein Ergebnis
falsch, s.u.
> Da [mm]p < q [/mm], ist der kleinstmögliche Wert für q
> gegeben durch [mm]q = p+1[/mm]. Setzt man diesen Wert für q ein
> erhält man:
> [mm]P(A) = \bruch{p}{(p+1)^n}[/mm]
> Demnach wird P(A) maximal bei
> minimalem p also [mm]p = 1[/mm] und somit [mm]P(A) = \bruch{1}{2^n}[/mm].
Gegenbeispiel: Betrachte $n=3$. Dann ist [mm] $1/2^3=1/8=0.125$. [/mm] Sei $r$ die
Wsk dafuer, dass sich eine Lampe einschaltet. Setze ich $r=1/3$, so
erhalte ich [mm] $P(A)=(1/3)(2/3)^2=0.148$.
[/mm]
>
> Sind meine Überlegungen soweit korrekt? Kann ich P(A)
> verbessern, wenn ich als Wahrscheinlichkeit für das
> Einschalten einer Lampe statt [mm]\bruch{p}{q}[/mm] ein [mm]r \in \IR ; 0 < r < 1[/mm]
> zulasse?
*Viel* besser. Maximiere [mm] $P(A)=r(1-r)^{n-1}$ [/mm] bezueglich [mm] $r\in(0,1)$.
[/mm]
*Ich* erhalte $r=1/n$.
>
> Gibt es bessere(genauere, einfachere) Methoden solche
> Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen? Kann mir jemand gute
> Einführungsliteratur zu dem Thema empfehlen?
In die Optimierung? In die Wsk-Rechnung?
vg Luis
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