Optimierung von 2 konvexen Fkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:44 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Econis |
Hallo allerseits,
Ich bin gerade dabei ein kleines Modell zu basteln und bin sehr unsicher ob dass was ich mir denke stimmt. Falls jemand mir dass bestätigen könnte (oder mich darauf hinweisen was ich falsch mache) währe ich sehr dankbar dafür. Das Model ist folgendes:
Es gibt eine konvexe Produktionsfunktion mit Nullstellen an beiden Axen:
(1) f (x,y) = x + y + [mm] x^a*x^b [/mm] |a,b € [0,1]
und eine Kostenfunktion mit steigenden Kosten bei erhöhter Mischung der Inputs, ausserdem eine Variable c um diese "Mischkosten" später anzupassen und den Effekt zu sehen:
(2) g(x,y) = x + y + (x*y)*(1+c)
Ich würde jetzt gerne zeigen dass es ein inneres Optimum gibt wenn c relativ niedrig ist. Dass sich also beide Funktion im R+ Bereich schneiden (aber nicht auf der Axe)
Die erste Hauptdiagonale meiner Hesse Matrix ist:
(3) [mm] -a²*x^{a-2}*y^b [/mm] und somit negativ wenn a € [0,1]
Die zweite Hauptidagonale ist:
(4) [mm] (-a²*x^{a-2}*y^b)*(-b²*x^a*x^{b-2}) [/mm] - (a*b*x^(a-1)*y^(b-1)-c)²
und somit tendenziell positiv (in Abhängikeit der Funktion) für kleine c ! (?)
Also gibt es ein Maximum der Funktion, sprich die beiden Funktionen schneiden sich innerhalb von R+ ohne die Axen zu berühren (in diesem Punkt) für kleine c.
Meine Annahme bei der ich mir ziemlich unsicher ist nun die folgende:
Für große c wird (4) negativ (soweit so gut), damit währe die Hesse Matrix positiv semi definit und damit gäbe es ein Minimum. Da beide Funktionen die Axen berühren währe dieser Minimalpunkt auf einer der beiden Achsen. Es würde sich also eine Randlösung ergeben. Spricht da mein Wunschdenken oder ist das tatsächlich so?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
