Optimierungs Aufgabe < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 19.05.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
ich komme bei folgender Optimierungsaufgabe nicht weiter:
Ein offener Kanal hat einen rechteckigen Querschnitt. Welche Form muss das Rechteck bei konstantem Flächeninhalt haben, damit die Betonarbeiten möglichst geringe Kosten verursachen? Die Kosten werden proportional zu der zu betonierenden Fläche angesetzt.
Vielen Dank im Vorraus.
Tobi
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Do 19.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo,
>
> ich komme bei folgender Optimierungsaufgabe nicht weiter:
>
> Ein offener Kanal hat einen rechteckigen Querschnitt.
> Welche Form muss das Rechteck bei konstantem Flächeninhalt
> haben, damit die Betonarbeiten möglichst geringe Kosten
> verursachen? Die Kosten werden proportional zu der zu
> betonierenden Fläche angesetzt.
>
> Vielen Dank im Vorraus.
>
> Tobi
Hallo Tobi,
sind das alle Informationen die du hast?
Oder gibt es eine Skizze?
Liebe Grüße
Fugre
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Do 19.05.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
das sind alle Angaben, die wir zur der Aufgabe bekommen haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 19.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> ich komme bei folgender Optimierungsaufgabe nicht weiter:
>
> Ein offener Kanal hat einen rechteckigen Querschnitt.
> Welche Form muss das Rechteck bei konstantem Flächeninhalt
> haben, damit die Betonarbeiten möglichst geringe Kosten
> verursachen? Die Kosten werden proportional zu der zu
> betonierenden Fläche angesetzt.
feste Querschnittsfläche bedeutet bei fester Länge l festes Volumen V
Die Oberfläche O des U's soll minimiert werden. also den Seiten namen geben, O daraus hinschreiben, V hinschreiben (festes l benutzen) eine Sete aus V bestimmen, in O einsetzen Minimum von O bestimmen.
es folgt ein Verhltnis der 2 Seitenlängen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 19.05.2005 | | Autor: | Tobi15 |
der Text ist von unserem Mathelehrer wörtlich übernommen.
Das mit den Sietenverhätnissen versteh ich leider nicht ganz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Do 19.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Tobi,
angenommen wir nennen die Seiten des Rechtecks $h$ (Höhe) und $b$ (Breite), der Kanal sei $l$ lang. Wir wollen ja, dass der Querschnitt immer einen konstanten Wert $A$ hat, wegen $A=b [mm] \cdot [/mm] h [mm] \gdw h=\frac{A}{b}$.
[/mm]
Die Kosten für den Kanal entsprechen der Oberfläche (besser Mantelfläche) des Quaders, also: [mm] $M=2\cdot (h\cdot [/mm] l + b [mm] \cdot [/mm] l)=2l [mm] \cdot (h+b)=2l\cdot \left(\frac{A}{b}+b\right)$. [/mm] Bestimmt man jetzt das Minimum von $M(b)$, kennt man die Breite die man für den Kanal wählen muss. Damit kann man dann auch die Höhe $h$ bestimmen.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
Hi, Tobi,
Dein Rechteck habe die konstante Fläche F.
Die Fläche berechnet sich nach der Formel:
F = x*y, wobei x die Breite und y die Höhe ist.
Da F konstant isz, können wir das z.B. nach y auflösen:
y = [mm] \bruch{F}{x} [/mm] (***)
Da der Kanal oben offen ist, besteht der Querschnitt der Fläche nur aus einer Breite + 2 mal die Höhe:
Q = x + 2*y
Mit (***) ergibt sich:
Q(x) = x + [mm] 2*\bruch{F}{x} [/mm] = x + [mm] \bruch{2F}{x}
[/mm]
Um das Minumum zu finden, musst Du diese Funktion ableiten und die Ableitung =0 setzen. Den Rest weißt Du vermutlich selbst.
(Lösung - ohne Gewähr: x = [mm] \wurzel{2F}; [/mm] y=0,5* [mm] \wurzel{2F}
[/mm]
D.h.: Der Kanal ist doppelt so breit wie hoch.)
|
|
|
|
