Optimierungsaufgabe Pyramide < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aus einem quadratischen Stück Karton von 10cm Seitenlänge werden vier kongruente gleichschenkelige Dreiecke, deren Grundlinie die Quadratseiten sind, so herausgeschnitten, dass das netz einer quadratischen Pyramide übrig bleibt. Wie lag ist die Grundkante der Pyramide zu wählen, damit ihr Volumen ein Maximum wird? Berechne ihr Volumen und ihre Oberfläche! Wie viel Prozent der Kartonfläche werden weggeschnitten? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich hab schon ziemlich viele Möglichkeiten durchprobiert und komme einfach nicht auf eine Lösung. Hier mein Ansatz:
Ich nehme die Volumsformel der Pyramide aus Hauptbedienung. Diese ist von zwei Unbekannten abhängig: h (=Höhe der Pyramide) und x (= Grundkante der Grundfläche der Pyramide). Nun suche ich einen Zusammenhang von h und x und versuche x durch h auszudrücken. Um die Volumsformel auf eine Variable auszudrücken um sie ableiten zu können.
Der Zusammenhang zwischen h und x: h lässt sich mit Pythagoras durch die Höhe eines Seitendreieckes sowie durch eine Seitenkante ausdrücken. Aber all dies Ausdrücke und Ersetzungen führen zu keiner Lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 So 01.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Du musst natürlich auch noch die Angabe bezüglich des "Schnittmusters"  beachten!
Um erst mal nicht zu viel zu verraten:
Versuche Dir aufzuzeichnen, wie das Netz der Pyramide im gegebenen Quadrat liegen muss.
Was findest Du dann für einen Zusammenhang zwischen der Höhe des Seitendreiecks und der Kantenlänge der Grundfläche?
Wenn Du damit noch nicht weiterkommst: einfach nochmal nachfragen!
Gruß
piet
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Hallo!
erstmals danke für die schnelle Antwort. Ich hab mir natürlich eine Skizze der Aufgabenstellung gemacht. Allerdings hilft mir deine Antwort noch nicht weiter. Aus einem Seitendreieck kann ich x, bzw. x/2 durch die Höhe der Kantenseite und durch eine Seitenkante der Pyramide ausdrücken (mit Pythagoras) - aber so komme ich auch nicht wirklich weiter.
lg Ninchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 01.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Ninchen,
hier also mal das Quadrat, aus dem das Pyramidennetz ausgeschnitten wird:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ist x die Seitenlänge des inneren Quadrats und [mm] h_s [/mm] die Höhe eines Seitendreiecks, dann gilt doch:
[mm]x + 2\cdot h_s = 10 \sqrt{2}[/mm](Diagonale des äußeren Quadrats)
Damit habe ich einen Zusammenhang zwischen [mm] h_s [/mm] und x. Und aus [mm] h_s [/mm] und x kann man doch durch Betrachung des Querschnitts der Pyramide mittels Pythagoras auch die Höhe der Pyramide bestimmen.
Gruß
piet
P.S.: ich hab jetzt auch mal das Volumen ausgerechnet - wenn ich mich nicht vertan habe sieht das ziemlich scheußlich aus.....
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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